转化与化归思想在高中数学试题中的应用特征分析及教学启示

摘要：转化与化归思想是高中数学试题考查的重要思想之一，文章以一道典型例题为研究对象，分析试题是如何体现转化与化归思想的考查的，结合教学实际，总结出转化与化归思想在高中数学试题中的应用特征，并提出教学策略.

关键词：高中数学；转化与划归思想；教学策略

转化与化归思想是高中数学中重要的数学思想方法，是指通过将复杂问题转化为已知或更简单的形式，或者将问题归结为已掌握的数学模型或方法进行解决的过程［1］.在高中数学培养目标体系中，转化与化归思想占据着核心地位.它不仅是培养学生逻辑思维能力、创新意识的重要途径，还能帮助学生深入理解数学概念，提高解决实际问题的能力.因此，转化与化归思想的培养贯穿数学教学的各个环节，帮助学生逐步掌握由浅入深、由易到难的学习方法，从而提升数学素养.

1 典型例题呈现

图1

（多选）如图1所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AB上的动点，DF⊥平面D1EC，F为垂足，下列结论正确的是（" ）.

A.FD1=FC

B.三棱锥C-DED1的体积为定值

C.ED1⊥A1D

D.BC1与AC所成的角为45°

分析：取D1C的中点O，运用已知条件证得FO⊥D1C，可得点F在线段D1C的垂直平分线上，于是可判断选项A正确.因为三棱锥C-DED1即为三棱锥E-DCD1，三棱锥E-DCD1的底面积和高都为定值，所以可判断选项B正确.利用线面垂直证明判断选项C正确，利用平移法可判断选项D错误.

解：对于选项A，如图2，取D1C的中点O，连接DO，FO.因为四边形DD1C1C为正方形，所以DO⊥D1C.因为DF⊥平面D1EC，D1C平面D1EC，所以DF⊥D1C.又因为DO∩DF=D，DO，DF平面DOF，所以D1C⊥平面DOF.又FO平面DOF，所以FO⊥D1C.又因为O为D1C的中点，所以FD1=FC.故选项A正确.

图2

对于选项B，三棱锥C-DED1即为三棱锥E-DCD1.因为△DCD1的面积为定值，点E到平面DCD1的距离为定值，所以三棱锥E-DCD1的体积为定值，即三棱锥C-DED1的体积为定值.故选项B正确.

对于选项C，因为A1D⊥AD1，A1D⊥AB，AD1∩AB=A，AD1，AB平面ABC1D1，所以A1D⊥平面ABC1D1.又ED1平面ABC1D1，所以ED1⊥A1D.故选项C正确.

对于选项D，将BC1平移到AD1，易知BC1与AC所成的角为60°.故选项D错误.

点评：在这道高中数学题中，正方体与三棱锥体积的综合考查清晰地体现了转化与化归这一重要的数学思想.题目通过设定E为棱AB上的动点，以及DF⊥平面D1EC的条件，巧妙地引导学生将三维几何问题转化为更易处理的二维几何问题.

具体来说，选项A要求学生判断FD1是否等于FC，这涉及学生通过转化，将空间中斜线之间的关系转化为利用勾股定理或三角形相似进行分析.选项B要判断三棱锥的体积是否为定值，考查学生对体积计算公式的理解，并引导学生通过点E的运动分析体积是否发生变化，这也是通过转化来简化体积问题的典型应用.选项C要求判断ED1是否垂直于A1D，考查学生将三维问题转化为平面几何问题的能力，体现了几何关系的转化.选项D涉及两条异面直线所成角度的计算，要求学生能够通过转化与归化，将复杂的空间角度问题转化为平面内角度的计算.

总之，这道题要求学生对空间中的几何关系进行合理的转化与化归，在较复杂的空间几何中寻找到简化问题的方法和途径，充分体现了数学中的转化思想.学生需要通过这种思想将空间中的复杂问题转化为熟悉的二维问题，进而利用已有知识求解，这一过程深刻考查了学生的逻辑思维和几何推理能力.

2 应用特征分析

结合教学实践和高中数学试题，笔者总结转化与划归思想在高中数学试题中的三点应用特征，为教学改进提供保障.

2.1 化繁为简，聚焦核心问题

在高中数学试题中，转化思想的应用特征首先体现在化繁为简的过程中，即通过转化操作将复杂问题简化为基本问题，从而聚焦核心问题.这种特征在函数、数列及立体几何等试题中尤为突出.例如，在解决复杂的函数问题时，常常通过代换或引入新的变量，将原问题转化为更易处理的形式，使解题过程更简洁.在立体几何中，也可以通过转化视角，将空间问题平面化或简化为已知几何模型，从而突出问题中的核心关系.这一应用特征强调了转化思想在复杂问题的求解、突出数学本质方面的重要性，使学生能够更直观地把握解题关键.

2.2 化难为易，寻求通用策略

化归思想在高中数学试题中的应用特征之一是化难为易，通过将复杂问题归类到某种熟悉的数学模型或解题方法中，寻求通用策略.这种特征在解综合性题目时表现得尤为明显.例如，在面对综合函数题时，学生可以通过将问题转化为研究特定函数的性质或利用某种通用解法，如构造辅助函数或归纳同类项，从而使问题变得易于处理.化归思想通过将不同的问题归结为具有共性或相似结构的已知问题，使解题过程得以简化，并有效减少了思维阻碍.这一特征突出强调了转化与化归思想在复杂问题处理中的广泛应用，使学生能够在多样化的题目中寻找到有效的解决策略.

2.3 化整为零，分步突破难点

转化与化归思想的另一重要应用特征是化整为零，即通过将一个复杂的整体问题分解为若干子问题，从而逐步突破各个难点.这一特征在高难度试题的求解中尤为重要，特别是在解答多步骤问题或需要综合运用多个知识点的题目时.例如，在解析几何问题中，学生可能需要通过划分区域或分解几何条件，将整体问题分解为多个可以独立处理的小问题，再分别求解这些子问题，最终合并结果.这一特征体现了转化与化归思想在解决复杂数学问题时的实用性，使学生能够通过分步思考、逐层推进的方式，有条不紊地解决具有挑战性的数学问题.

3 教学启示

3.1 逐步引导转化，培养解题能力

教师应通过逐步引导的方式培养学生的转化思维能力.这种策略包括从简单到复杂的题目设计，逐步引导学生在解决数学问题时运用转化思想［2］.例如，针对高次方程的解法，教师可以先从基础的代数操作题入手，逐渐引入需要多步转化的复杂问题.通过系统的练习和讲解，教师可以帮助学生掌握将复杂问题转化为简化问题的技巧，并通过逐步递进的练习提高学生的解题能力.具体操作中，可以在每节课结束时布置一些需要转化的习题，并通过详细的讲解和讨论，帮助学生理解每一步转化的原因和方法，从而逐渐提升运用转化思想解决问题的能力.

3.2 系统分类归纳，强化知识整合能力

教师应系统地进行问题分类和归纳训练，以强化学生的化归思维和知识整合能力.具体策略包括将课堂上涉及的数学问题进行系统性归类，如函数题、几何题、数列题等，并通过分类练习帮助学生理解每类问题的共性特征及解题方法.例如，在讲解函数问题时，教师可以通过归纳不同类型函数题的解法技巧，帮助学生总结出通用的解题策略.课堂上，可以设置专题讨论和分类演练环节，鼓励学生在解决问题时将其归纳到已知的数学模型中，提升知识整合和应用能力.这种方法能够使学生在面对各种题型时，迅速找到合适的解决策略，并在考试中提高答题效率和准确率.

3.3 设计综合问题，锻炼综合应用能力

教师应设计综合性的数学问题，锻炼学生的综合应用能力.这一策略包括在课堂上引入多步骤、多知识点的综合题目，要求学生综合运用所学知识进行解答.例如，在讲解立体几何和解析几何时，教师可以设计一些综合题，要求学生将几何图形问题转化为代数问题，然后运用相关的数学知识求解.通过这种综合训练，学生不仅可以提高解题的综合能力，还能够学会在处理复杂问题时将问题分解为若干部分逐步解决.这种训练能够增强学生在面对复杂问题时的自信心和解决能力，同时培养其将不同知识点融合应用的能力，对提高整体数学水平具有重要意义［3］.

参考文献：

［1］王新锋.转化与化归思想方法在高中物理教学中的应用研究［D］.苏州：苏州大学，2016.

［2］王亚琴.依托化归思想高效解决高中数学试题［J］.数理天地（高中版），2024（15）：50-51.

［3］尚豪杰.借助转化思想助推高中生高效解答数学试题［J］.数理天地（高中版），2023（13）：33-35.