加强数学建模,增强应用意识

摘要：一次函数是初中数学函数中的一个重要知识点，在最近几年各地的中考中，考查的分值越来越高，考查的主要内容是有关一次函数的定义与图象、解析式和方程，以及一次函数的最值在实际中的综合应用.本文中以2024年青岛的中考和2024年江苏的初三检测题为例，通过对这两个题目的深度剖析、深入探究，探讨有关一次函数在中考、统考中的题型特点，让学生熟知热点题型，明确问题的求解策略以及数形结合思想在该类问题中的应用，不断培养学生的数学建模及数学抽象思维，提升学生的数学核心素养.

关键词：一次函数；实际应用；最值

一次函数在实际生活中的应用问题，已经成为各地最近几年初三统考和中考的热点题型，尤其是有关一次函数两类最值题型，即利用一次函数的性质解决的最值问题与几何图形中的最值问题.下面就利用具体题型来分析该类问题的特征和命题方向，通过两个具体题目的剖析，培养学生利用一次函数解决实际问题的能力，加深对该类问题的解题思路和方向的规律探索，引导学生找到合理的求解策略，掌握用一次函数性质和图象来解决实际问题中的有关最值问题，不断提高学生利用所学知识分析问题和解决实际问题的能力.

例1 （2024年山东青岛初三数学中考）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型.已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2 000元购买航空模型的数量是用1 800元购买航海模型数量的45.

（1）求航空模型和航海模型的单价；

（2）学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠.若购买航空模型、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的12，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？

思路分析：对于第（1）问，首先要根据已知设航空模型的单价，由此得到航海模型的单价，根据购买航空模型的数量与购买航海模型数量之间的关系，列出方程求解即可.对于第（2）问，可以设出购买航空模型的个数，然后根据航空模型的数量与航海模型的数量之间的关系，列出不等式求出自变量的取值范围，再列出关于自变量的函数式，最后利用一次函数的性质求解即可.

解析：（1）根据已知，设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为（x－35）元.

由题意，可得2 000x=45×1 800x－35.

解得x=125.

经检验，当x=125时，x（x－35）≠0，故x=125是原方程的解，且符合题意.

所以航海模型的单价为x－35=90（元）.

综上所述，航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元.

（2）根据题意，设购买航空模型m个，花费为y元，则

购买航海模型（120－m）个.

由题意，可得m≥12（120－m）.

解得m≥40.

故y=125×0.8m+90（120－m）=10m+10 800.

因为10gt;0，所以y随m增大而增大.

故当m=40时，y有最小值，y的最小值为10×40+10 800=11 200.

此时120－m=80.

综上所述，当购买40个航空模型和80个航海模型时，学校花费最少.

此题是以一次函数的实际应用为背景，结合分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用问题，需要确定自变量的取值范围，然后利用一次函数的性质求解最值问题.

解决这类实际应用的最值问题时，首先要根据已知条件审清题意，然后提取这些信息中的核心信息，为后续解答本题做好铺垫.比如，本题中利用已知条件建立一次函数关系式，以及确定自变量的取值范围及单调性.这类问题往往需要在掌握好函数的基础知识的基础上，理解题意，建立数学模型，然后通过数形结合法，找到解题的突破口，最后利用一次函数的性质求解最值问题.

例2 （2024年江苏苏州初三数学检测）随着新能源汽车的发展，江苏某市某公交公司计划用新能源公交车，对于“尾气超标”的燃油公交车，计划更换新的车型.新能源生产的新型公交车有A型和B型两种车型，若公交公司购买A型3辆，B型1辆，共需花费260万元；若公交公司购买A型2辆，B型3辆，共需花费360万元.

（1）试求公交公司购买每辆A型和B型的花费分别是多少万元？

（2）某条市区路线上的每辆A型公交车和B型公交车年均载客量分别为70万人次和100万人次.若公交公司计划购买10辆A型、B型两种新能源公交车，且规定总费用不超过650万元.为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值.

思路分析：对于第（1）问，根据题意，可以分别设出购买每辆A型和B型公交车辆的费用，然后根据“购买A型公交车3辆、B型公交车1辆，共需260万元；购买A型公交车2辆、B型公交车3辆，共需360万元”，列出有关的一次函数等式系解决问题即可.对于第（2）问，可以考虑先设购买A型公交车的数量，由此得出购买B型公交车的数量，然后利用已知“公司准备购买10辆A型、B型两种新能源公交车，总费用不超过650万元”，这样可以列出不等式求得参数a的取值，再求出线路的年均载客总量w与a的关系式，最后根据一次函数的性质进行求解.

解析：（1）根据题意，设购买A型新能源公交车需花费x万元，购买每辆B型新能源公交车需花费y万元.

由题意，可得3x+y=260，2x+3y=360.

解得x=60，y=80.

综上所述，购买每辆A型新能源公交车需60万元，购买每辆B型新能源公交车需80万元.

（2）设购买A型新能源公交车a辆，则购买B型新能源公交车（10－a）辆，该线路的年均载客总量为w万人次.

由题意，可得60a+80（10－a）≤650.

解得a≥7.5.

因为a≤10，所以7.5≤a≤10.

又因为a是整数，

所以a=8，9，10.

依题知线路的年均载客总量w与a的关系式为w=70a+100（10－a）=－30a+1 000.

因为－30lt;0，所以w随a的增大而减小.

故当a=8时，线路的年均载客总量最大，最大载客量为－30×8+1 000=760（万人次）.

故购买方案为购买A型新能源公交车8辆，B型新能源公交车2辆，此时线路的年均载客总量最大，最大值为760万人次.

此题是用函数、方程及不等式来求解有关实际问题中的变量与变量之间规律的重点题型.本题主要考查二元一次方程组、一元一次不等式及一次函数的应用.解答本题时，要注意在理解题意的基础上，找出题目中各个量之间蕴含的数量关系，然后列出有关的不等式求出变量的范围，判断出有关函数的单调性，最后利用一次函数知识来求解.通过本题的学习，要让学生知晓函数、方程及不等式三者之间的内在联系，让学生学会根据题意提取题目中的数量之间的关系，通过题目给出的文字描述，转化为简单的函数变化规律，然后利用函数的性质，结合函数、方程与不等式三者之间的内在联系和不同的作用，在准确理解函数与方程之间关系的基础上，学会利用数形结合及一次函数的性质求解有关实际问题中的最值问题.

一次函数在实际最值问题中的应用，涉及初中数学中较多的基础知识点，比如一次函数、方程、不等式等，而且该类题型很多时候对数形结合的要求比较高，不过考查的一般是比较基础的问题，但其中往往蕴含着方程思想、函数思想、参数范围求解等，且作为基础题出现在各地中考或初三统考试卷中，综合考查学生的数学运算能力、数学建模、逻辑推理能力、函数与方程及思维能力等.

因此，在日常教学和复习过程中，要提高学生对基础知识的熟练记忆，以及利用所学知识解决有关实际问题中的最值问题的能力，同时要注意基础知识的综合应用.在学习好基础知识的同时，提高运用所学习知识分析问题和解决实际问题的能力.通过利用所学知识解决实际问题的强化训练，不仅仅提高了学生的数学运算能力，还培养了学生良好的思考问题的品质，以及良好的学习态度.