例析反比例函数与几何图形结合类习题

摘要：反比例函数是初中数学中非常重要的函数类型，习题情境千变万化.部分习题与几何图形结合起来设问，综合性较强.学习的过程中，不仅需要牢记反比例函数的性质及图象，更要注重运用所学推导一般的结论，以更好地解答反比例函数与几何图形结合类习题，提高解题效率.文章选取反比例函数与三角形、平行四边形、正方形、圆结合类习题，展示解题过程，供参考.

关键词：反比例函数；结合图形；例析

反比例函数学习的过程中，可以按照反比例系数k值的正负，结合函数图象进行对比记忆，辅助理解，切实夯实基础[1].考虑到反比例函数与几何图形结合类习题在日常测试及中考中屡见不鲜，因此，学习的过程中应进行针对性的训练、总结，进一步挖掘反比例函数的性质，积累相关的解题经验.

1 与三角形结合

反比例函数与三角形相结合的习题主要考查反比例函数的性质、三角形的性质等内容.部分习题情境新颖，考查的内容是一些比较常用但不容易被关注的知识点，如反比例函数的图象关于直线y=x对称等.

例1 如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=－x+5和反比例函数y=4x（xgt;0）的图象交于A，B两点，其中在反比例函数图象上有一动点P，连接PA，PB，若△PAB的面积为定值，且对应的点有且只有3个，则点P到直线AB的距离为（" ）.

A.22

B.32

C.2

D.3

解析：深入理解△PAB面积为定值的点P有且只有3个是解题的关键，这表明在点A的上方和点B的下方且在反比例函数y=4x（xgt;0）的图象上各有1个满足题意的点P（如图2中的P2和P3）.在线段AB下方，有且只有一个满足题意的点P（如图2中的P1）.

此时点P1距离原点最近.由反比例函数图象的特点可知，P1是直线y=x和反比例函数y=4x（xgt;0）的图象的交点.由y=x，y=4x，解得x1=2或x2=－2（舍去），则点P1（2，2）.

设直线y=x和直线y=－x+5的交点为C.由y=x，y=－x+5，解得x=52，y=52，则点C52，52，所以点P1和点C之间的距离即为所求.

而|P1C|=52－22+52－22=22，则点P到直线AB的距离为22，故选：A.

2 与平行四边形结合

解答反比例函数与平行四边形结合的习题时，应注重平行四边形性质的活用，尤其需借助反比例函数确定对应的点，并通过数形结合理顺解题思路.

例2 如图3，直线AB和反比例函数y=kx（xgt;0）的图象交于点A（2，3），直线AB和x轴交于点B（4，0）.过点B作x轴的垂线BC，交反比例函数的图象于点C.若在平面直角坐标系中存在一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为.

解析：

根据题意，将点A的坐标代入反比例函数的解析式中，可以得到k=2×3=6，则反比例函数的解析式为y=6x（xgt;0）.点C的横坐标为4，将其代入y=6x中，得到y=32，则点C4，32.

①当点D在点A正下方时，由平行四边形的判定定理可知，此时只需AD=CB.由CB=32，得yD=3－32=32，此时点D的坐标为2，32.

②当点D在点A正上方时，yD=3+32=92，此时点D的坐标为2，92.

③当点D在线段BC的右侧时，要想满足题意，应有xD－xB=xC-xA，yB－yD=yA－yC，解得xD=6，yD=－32，此时点D的坐标为6，－32.

综上，可知点D为2，32或2，92或6，－32.

3 与正方形结合

解答反比例函数与正方形结合的习题时，除了灵活运用反比例函数及正方形的性质外，还应根据需要通过添加辅助线构造图形[2].

例3 如图4，在x轴上方作正方形OABC，其对角线的交点P（m，2）在第一象限，其中双曲线y=kx（xgt;0）经过点P和点C，则m2+2m的值为.

解析：

过点A，P，C分别向x轴作垂线，垂足分别为D，F，E，连接PD，PE，如图5所示.

由四边形OABC为正方形，可知∠AOC=90°，则∠DAO+∠AOD=∠EOC+∠AOD=90°，所以∠DAO=∠EOC.又∠ADO=∠OEC=90°，AO=OC，则△DAO≌△EOC（AAS），所以DO=EC，∠AOD=∠OCE.

又∠AOP=∠OCP=45°，则∠AOD+∠AOP=∠OCE+∠OCP，即∠POD=∠PCE.又OP=CP，OD=CE，则△POD≌△PCE（SAS），则PD=PE，∠DPO=∠EPC；又∠OPE+∠EPC=∠OPC=90°，则∠OPE+∠DPO=∠DPE=90°.所以△DPE为等腰直角三角形，则PF=DF=FE.

由点P（m，2），得DO=CE=2-m，OE=2+m，则点C（2+m，2-m）.由双曲线y=kx（xgt;0）经过点P和点C，得2m=（2+m）（2－m），则2m=4－m2，即m2+2m=4，故m2+2m的值为4.

4 与圆结合

解答部分反比例函数与圆结合的习题时，既需要对习题有感性的认识，确定思考问题的大致方向，又需要通过计算、分析，做出理性的判断.

例4 在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1－x2=y1－y2，则称点A和点B互为“等距点”.点M是以O为圆心，2为半径的圆上一点.若反比例函数y=kx（k≠0）的图象上存在点M的等距点N，则k的取值范围为.

解析：

设点A（x1，y1），B（x2，y2）所在直线和x轴的夹角为α，容易得到tan α=y1－y2x1－x2=1，则该直线和x轴的夹角为45°，可设该直线为y=x+b.

当k＞0时，如图6所示，k无论怎么变化，均存在直线y=x+b分别和圆及反比例函数的图象有两个交点的情况，满足题意.

当k＜0时，反比例函数的图象和圆只有一个交点时，如图7所示，容易得出在第二象限交点的坐标为（-1，1），代入到反比例函数的解析式可知k=-1，随着k值的变小，反比例函数图象会远离圆，因此，要想满足题意，应有-1＜k＜0.

综上所述，满足题意的k的取值范围为-1＜k＜0或k＞0.

5 总结

反比例函数与几何图形结合类的问题情境多变，考查的知识点多而零碎.为更好地解答该类问题，既需要牢记、深入理解相关的性质，又需要进行自主探索，发现、积累一些新的知识，不断扩充知识储备，为更高效、正确地解题提供指引.

参考文献：

[1]黄琳珊.反比例函数与几何图形结合的动点问题探究[J].中学教学参考，2024（29）：31-33.

[2]崔涛.反比例函数与几何图形的演绎[J].数理天地（初中版），2022（19）：25-26，28.