应对一元二次方程试题的四种方法

摘要：一元二次方程是初中数学教学和中考考查的重点内容之一.文章结合例题分析了配方法、公式法、因式分解法、换元法四种方法的适用情形，对相关试题进行评析，并得出了解题思路.

关键词：初中数学；一元二次方程；试题解法

1 配方法

例1 （2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程x2－2x－2 023=0时，将它转化为（x+a）2=b的形式，则ab的值为（" ）.

A.－2 024

B.2 024

C.－1

D.1

分析：本题主要考查用配方法解一元二次方程.熟练掌握配方法的步骤，是解决本题的关键.用配方法把x2－2x－2 023=0移项、配方，化为（x－1）2=2 024，即可.

解：因为x2－2x－2 023=0，移项得x2－2x=2 023，配方得x2－2x+1=2 023+1，即（x－1）2=2 024，所以a=－1，b=2 024，所以ab=（－1）2 024=1.

故选：D.

评析：该题考查解一元二次方程的配方法，要求将方程x2－2x－2 023=0转化为（x+a）2=b的形式.配方法的优势在于通过构造完全平方形式，将复杂的二次方程简化为相对简单的平方形式，便于求解.这种方法对学生的逻辑思维能力和代数技巧要求较高.具体到本题，首先将常数项移到方程右侧，再通过配方补全平方，得出（x－1）2=2 024，因此a=－1，b=2 024.最终，求出ab=（－1）2 024=1.本题旨在考查学生对配方法的掌握，以及对运算细节的关注，体现了代数中的推理与计算能力.

适用情形：配方法用于解一元二次方程时，方程的二次项系数为1，或可以通过简单变换化为1，此时使用配方法尤为高效.尤其在某些情况下，方程的根不是整数或无法直接因式分解，配方法可以将方程转化为完全平方形式，使解题过程简洁明了.配方法适用于系数较简单的方程，或当因式分解无法直接实施时，是一种灵活且实用的工具.此外，配方法广泛用于推导二次方程求根公式，能帮助学生理解方程结构和变形过程，进一步提升解题技巧和代数思维.

解题思路：使用配方法解一元二次方程时，首先确保二次项系数为1.如果不是，需先将方程各项除以二次项系数，使二次项系数为1.接下来将常数项移到方程右侧，并对二次项与一次项进行配方，即找到补全平方的数，使左侧表达式变为一个完全平方式.具体步骤是，将一次项的系数除以2并平方，然后将所得值加到方程的两边，确保方程保持平衡.这样，方程左侧成为一个平方形式，右侧为调整后的常数.最后，通过开平方法求解未知数.配方法将复杂的二次方程简化为容易处理的平方形式，帮助学生快速求解.

2 公式法

例2 （2024·河北石家庄·一模）若x=2±4－4×3×（－1）2×3是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则a+b+c=（" ）.

A.－2

B.4

C.2

D.0

分析：本题主要考查解一元二次方程——公式法，利用求根公式判断即可.

解：因为x=2±4－4×3×（－1）2×3是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，所以a=3，b=－2，c=－1，所以a+c+c=3－2－1=0.

故选：D.

评析：公式法的优势在于普适性，无论二次方程的系数是整式还是分式，均可通过该方法精确求解.本题中由根式可以推导出方程各项的系数分别为3，-2和-1，即可得到结果.这类试题不仅要求学生掌握公式法的基础运用，还要灵活运用逆向思维进行推理和判断.

适用情形：公式法是解一元二次方程的常用方法，适用于各种情况下的二次方程求解，尤其是在无法通过因式分解或配方法解题时，公式法提供了通用的解题思路.无论方程有无实根、重根还是虚根，公式法都能通过判别式分析并得出精确结果.该方法适用于任何系数形式，包括小数、分数等复杂情况.因此，当方程的结构较为复杂，无法通过常规方法迅速求解时，公式法成为最可靠和简便的途径.此外，公式法不仅适用于求解方程，也适合用来分析根的性质，帮助学生全面理解方程.

解题思路：在运用公式法解一元二次方程时，首先要识别出方程的三个重要系数，接着计算出判别式Δ=b2－4ac，再通过求根公式求出x=－b±Δ2a.判别式能够帮助判断方程是否有解及解的性质.解题过程中，通过合理运用根式中的信息，可以直接得到方程的解，并从根式中推导出方程的系数.最后，依据问题的要求进行后续推理，例如，本题中通过系数相加得到结果，帮助学生形成系统的解题思路.

3 因式分解法

例3 （2024河南洛阳一模）方程2x（x－3）+5（3－x）=3－x的根是（" ）.

A.x=2

B.x=3

C.x1=2，x2=3

D.x1=－2，x2=3

分析：本题考查解一元二次方程，熟练掌握利用因式分解法解一元二次方程是解题的关键.本题根据因式分解法解方程即可.

解：由2x（x－3）－5（x－3）+（x－3）=0，整理得（x－3）（2x－4）=0，则x1=2，x2=3.

故选：C.

评析：本题要求解方程2x（x－3）+5（3－x）=3－x，可以通过因式分解法来解决.首先整理方程的结构，化简各项，通常先转化为标准的一元二次方程形式，再通过因式分解法求解.因式分解法的优势在于可以将二次项分解为两个简单的因式，从而快速找到方程的解.特别是在因式分解较为简单的情况下，该方法效率高、思路清晰.本题通过因式分解法得出x1=2，x2=3，因此正确答案为选项C.利用因式分解法可以帮助学生训练方程的结构识别和解的直观寻找能力.

适用情形：因式分解法适用于那些可以化简为标准二次方程并具备简单因式结构的方程.当方程中的二次项和一次项之间存在明显的共同因子，或者二次项的系数较为简单时，因式分解法特别有效.此外，在可以直接观察到因式分解规律的方程中，利用该方法不仅可以快速解出根，还能帮助学生更好地理解方程的内部结构.例如，完全平方形式的方程和简单可拆解的多项式形式，都非常适合利用因式分解法.这种方法的另一优点在于其过程较为直观，学生能够通过逐步分解的形式找到方程的解.

解题思路：解题的第一步是将方程展开并化简所有项，使方程转化为标准形式.例如，本题中的方程首先通过化简括号和同类项整理成2x2-（6+5-1）x+（15－3）=0，接下来整理成标准的二次方程形式.然后，通过因式分解法，将方程的左边分解为两个一次因式的乘积.找到这些因式后，分别令每个因式为0，从而得到方程的两个解.因式分解法的关键在于熟练识别常见的分解模式，如提取公因式、平方差和完全平方公式等，利用这些技巧能有效简化复杂方程，有利于快速求解.

4 换元法

例4 （2024江苏联考试题）关于x的方程（x2+x）2+2x2+2x－3=0，则x2+x的值是（" ）.

A.－3

B.1

C.－3或1

D.3或－1

分析：本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键.设x2+x=t，则此方程可化为t2+2t－3=0，然后用因式分解法求解即可.

解：设x2+x=t，则此方程可化为t2+2t－3=0，所以（t－1）（t+3）=0，所以t－1=0或t+3=0，解得t1=1，t2=－3，所以x2+x的值是1或－3.当x2+x=－3时，x2+x+3=0，因为Δ=1－12=－11lt;0，所以此方程无解，所以x2+x的值是1.

故选：B.

评析：本题用换元法处理方程（x2+x）2+2x2+2x－3=0，是一个非常典型的应用实例.换元法的主要优势在于简化复杂方程的求解过程.通过引入一个新的变量，将方程的复杂度降低，使其转化为更易处理的形式.在这个过程中，换元法不仅能帮助考生分解问题，厘清方程的结构，还可以有效降低计算难度，提升解题效率.在实际考试中，换元法能够帮助考生更快速地找到解决方案，特别是在处理形式复杂的方程时，显著提高了问题的可操作性和解题的准确性.

适用情形：在教学中，换元法适用于处理那些结构复杂的方程，特别是当方程中出现了多次幂的变量或具有复杂的代数表达时.它能够将方程转化为更简单、更标准的形式，从而使解题过程更加清晰和直接.换元法也适用于方程中变量之间存在复杂关系的情况，通过合理选择替代变量，能够显著简化分析和计算.在教学中，应用换元法能够帮助学生掌握如何将复杂问题简化，并增强他们的思维能力和解题技巧.

解题思路：解决这类问题的基本思路是先将复杂的方程转化为一个形式更简单的方程.首先，选择一个合适的变量来替代原方程中复杂的部分，这样可以将原本复杂的表达式简化为一个单一的变量.其次，将替代变量代入原方程中，得到一个新的方程，这个方程通常比原方程简单易解.最后，通过求解这个简化后的方程，得到替代变量的值，再代回原方程中，求出原变量的解.换元法的核心在于通过换元来降低问题的复杂性，使得解决过程更加直接和高效.