图形翻折问题求解分类例析

翻折是四种图形变换之一，属于全等变换，任何一个图形都可以翻折，但是不同图形，不同的翻折方式，所得的图形之间的相互关系是不相同的.下面以平行四边形、正方形、直角三角形、菱形的翻折为例，说明翻折后图形位置关系及数量关系的变化，旨在加强学生对轴对称性质及相关特殊图形性质的理解和认识，以提高学生分析问题和解决问题的能力，发展学生的核心素养.

1 平行四边形的翻折

平行四边形有对边平行且相等、对角线互相平分的性质.当平行四边形按对角重合实现翻折时，一定有全等三角形，在此类问题中求线段的长，应通过作垂线构造直角三角形，将题中数据集中在这个直角三角形中，利用勾股定理求解.

例1 如图1，将ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若∠A＝60°，AD＝4，AB＝6，则DF的长为.

解析：如图2，过点C作CG⊥AB交延长线于点G，在ABCD中，∠D＝∠EBC，AD＝BC，∠A＝∠DCB，由于ABCD是沿EF对折，于是可得∠D′＝∠D＝∠EBC，∠D′CE＝∠A＝∠DCB，D′C＝AD＝BC，所以∠D′CF+∠FCE＝∠FCE+∠ECB，即∠D′CF＝∠ECB.在△D′CF与△ECB中，∠D′=∠EBC，D′C=BC，∠D′CF=∠ECB，所以△D′CF≌△BCE（ASA），所以D′F＝EB，CF＝CE.因为DF＝D′F，所以DF＝EB，从而AE＝CF.设AE＝x，则EB＝6-x，CF＝x.因为BC＝4，∠CBG＝60°，所以BG＝12BC＝2，CG＝23，则EG＝EB+BG＝6-x+2＝8-x.在Rt△CEG中，由勾股定理可知（8-x）2+（23）2＝x2，解得x＝194，即CF=194，从而DF=6-194=54.故答案为54.

点评：翻折前后的两个图形是全等形，即对应角相等，对应边相等，与图形中已有的条件结合，可以得到新的等量关系，如等角∠D′CF＝∠ECB，等边D′F＝EB，CF＝CE等.

2 正方形的翻折

正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等.当将正方形一个角翻折时，折痕就是翻折前后两个图形的对称轴，可以得到另一个直角.在这种图形中，有更多的直角三角形及全等三角形可以利用.

例2 如图3所示，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE＝5，则GE的长为.

解析：如图4所示，因为四边形ABCD为正方形，所以AB＝AD＝12，∠BAD＝∠D＝90°.根据折叠及轴对称的性质，可知△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，则BF⊥AE，AH＝GH，所以∠BAH+∠ABH＝90°.又因为∠FAH+∠BAH＝90°，所以∠ABH＝∠FAH，从而△ABF≌△DAE（ASA），则有AF＝DE＝5.在Rt△ABF中，BF＝AB2+AF2＝122+52＝13.由S△ABF＝12AB＼5AF＝12BF＼5AH，得12×5＝13AH，所以AH＝6013，从而AG＝2AH＝12013.因为AE＝BF＝13，所以GE＝AE-AG＝13-12013＝4913.故答案为4913.

点评：本题利用了轴对称的一条重要性质，即对应点的连线被对称轴垂直平分；利用了直角三角形一条容易被忽略的性质，即直角三角形两条直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.

3 直角三角形的翻折

直角三角形与勾股定理、两锐角互余、锐角三角函数等知识有关.当将直角三角形翻折时，可以得到新的直角三角形或等腰三角形，但不同的翻折会对应不同的情况，下面的实例探究了翻折后所得锐角的正切值随翻折变化而变化的规律.

例3 如图5，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF.

如图5（1），当CD＝12AC时，tan α1＝34；

如图5（2），当CD＝13AC时，tan α2＝512；

如图5（3），当CD＝14AC时，tan α3＝724；

…………

依此类推，当CD＝1n+1AC（n为正整数）时，tan αn＝.

解析：观察可知，正切值的分子依次是3，5，7，9，……，2n+1；

分母与勾股数有关系，分别是勾股数（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），……，2n+1，（2n+1）2－12，（2n+1）2+12中的中间一个.

所以tan αn＝2n+1（2n+1）2－12＝2n+12n2+2n.

故填答案：2n+12n2+2n.

点评：如果一组正整数，符合两个数的平方和等于第三个数的平方，那么这组整数称之为勾股数，如（6，8，10），（7，24，25），（8，15，17），（9，40，41），（10，24，26），（11，60，61），（12，16，20），（12，35，37），（20，21，29），（20，99，101），（48，55，73），（60，91，109）等.要得到勾股数组，可以根据需要采用以下两种方式，一是套用公式（2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1），二是套用公式（2n，n2-1，n2+1）.

4 菱形的翻折

菱形有四条边相等、对角线互相垂直平分的性质，将菱形的一个角翻折求线段的最小值，是较常见的一类问题，要根据“两点之间，线段最短”原理去解答，即将一条固定长度的线段与所求线段放在同一直线上，此时所求线段有最小值.

例4 如图6所示，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM＝13AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是.

解析：如图7，过点M作MH⊥CD交CD延长线于点H，连接CM.因为AM＝13AD，AD＝CD＝3，所以AM＝1，MD＝2.

因为CD∥AB，所以∠HDM＝∠A＝60°.

所以HD＝12MD＝1，HM＝3，则CH＝4，

从而MC＝MH2+CH2＝19.

因为将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，所以AM＝A′M＝1，则点A′在以M为圆心，AM为半径的圆上，所以当点A′在线段MC上时，A′C长度有最小值，且A′C长度的最小值为MC-MA′＝19-1.

故填答案：19-1.

点评：本题求A′C长度的最小值，也可以理解为从圆M外一点C到圆上各点的所有线段中，求长度最短的线段，其基本方法是过圆外一点C与圆心M作直线，与圆有两个交点，则这两个交点与圆外一点形成的两条线段中，一条是长度最短的线段，另一条是长度最长的线段.

魏尔德说：“数学是一种不断进化的文化.”学数学就要不断地研究与发现，以上通过平行四边形、正方形、直角三角形、菱形的翻折，进一步研究了翻折的性质，看到了这些特殊图形与图形变换之间的联系，有助于提高学生思维的灵活性，拓展学生思维的广阔性，发展学生的核心素养.