立足基础，抓住本质，重点突破

“坐标系内直角三角形的存在性探究”问题综合性较强、知识点较多、数学思想方法较广，可以很好地考查学生的综合知识运用能力，从而受到了中考命题者的青睐，成为了中考的热门考点.不过，在解决此类问题时，很多学生因为其综合性强、难度较大而常常望而却步.在中考复习教学中，教师有必要将相关内容进行整合和重组，通过专题复习帮助学生突破这一重点和难点内容，进而提高学生的数学成绩，发展学生的数学能力和思维能力.

1 教学过程

1.1 立足基础，提炼方法

例1 如图1，△ABC的三个顶点分别为A（1，1），B（3，2），C（5，－2）.

（1）△ABC是什么三角形？

（2）在y轴上能否找到这样的点P，使得△PAB是直角三角形？若能，请求出点P的坐标.

师生活动：教师让学生独立解决，然后展示学生的思考过程，并及时地进行点评与反馈.对于第（1）问，因为这里的三角形放在网格中，所以学生在求AB，BC，AC的长度时，最易于想到的是构造直角三角形，从而利用勾股定理求出△ABC三边的长.在此过程中，教师应引导学生从全局视角进行分析，让学生体会对于此类问题，直接求出三条边的平方可以优化计算过程，提高解题效率.值得注意的是，教师还要启发学生思考这样一个问题：已知两点的坐标，如何求两点间的距离？由此引出两点间的距离公式，从而为研究第（2）问中的动点问题提供依据.当然，在此过程中，教师还可以引导学生对比

不同的解题方法，以此培养学生的最优意识，使其体会特殊与一般的数学思想方法.第（2）问具有一定难度，可能会对一些基础较为薄弱的学生造成困扰.面对学生的困惑，教师或适时指导，或引导学生合作探究，以此通过师生、生生的有效互动形成解题突破口，增强学生解题的信心.在教师的启发和指导下，学生通过思考与交流给出如下两种解题思路：其一，利用几何法，尝试构造直角三角形，利用几何直观解决问题，但是利用该方法不易求解，可以作为拓展内容让学生课后继续探索，本课教学重点是引导学生利用代数方法来研究几何问题.这里可以假设点P存在，不妨设点P的坐标为（0，t）.又点A（1，1），B（3，2），由此利用两点间的距离公式及勾股定理可以得到关于t的方程，利用方程思想解决问题.不过，从题设信息来看，这里并未指明哪个点为直角顶点，所以需要分三种情况讨论：（1）点P为直角顶点；（2）点B为直角顶点；（3）点A为直角顶点.以点P为直角顶点为例，此时PA2+PB2=AB2，结合这一等式，根据两点间的距离公式得到一个关于t的方程.若该方程有解，则说明这样的点P存在，将t代入即可得到点P的坐标；若该方程无解，则说明找不到符合条件的点P.形成解题思路后，教师让学生以小组为单位，将问题进行到底，然后交流展示.

教学说明：例1难度虽然不大，但是其中蕴含着丰富的数学思想方法，如数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、转化思想等.教学中不仅要关注问题的解决，更要关注学生的思考过程，引导学生掌握解题的通法，领悟知识背后的数学思想方法.这样通过低起点的问题唤醒学生的已有知识和经验，提高学生的参与度，促进全员全面发展这一教学目标的落实.另外，在此过程中，形成解题思路后，教师要鼓励学生将问题进行到底.一方面，可以锻炼学生的运算能力；另一方面，可以调整教学节奏，让基础相对薄弱的学生也能跟上教学节奏，体验数学学习的乐趣.

1.2 变式探究，领会本质

变式1 如图2，已知抛物线l经过A（1，0），B，C（0，3）三点，其中点B在x轴上.已知点P在抛物线l的对称轴x=－1上移动，是否存在这样的点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

变式2 如图3，已知点A，B的坐标分别为（1，1），（5，-2），在直线y=－2x+1上是否能够找到这样的点P，使得△PBC是直角三角形？

师生活动：以上变式题目难度不大，符合学生的最近发展区水平.教师让学生独立求解，然后交流展示学生的解题过程，并引导学生提炼总结，让学生发现无论动点在何位置，都可以将问题转化为方程问题，以此让学生认清问题的本质，掌握解题的通法.

教学说明：变式1是例1的直接变形，适合基础较为薄弱的学生；变式2难度略有提升，适合基础较好的学生.这样通过小坡度的题目不仅可以达到检测和巩固的目的，而且可以让学生获得成功的体验，增强学习信心，从而为深层次的探究作铺垫.另外，在此过程中，将同一问题放置于不同背景中，让学生在变化的情境中体验不变的本质，有利于提升学生的探究欲，促进学生数学能力和思维品质的提升[1].

1.3 构建模型，提升素养

例2 如图4，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过B（3，0），C（0，3）两点，与x轴交于点A（点A在点B的左侧），且抛物线的对称轴为x=1.

（1）求抛物线的解析式；

（2）Q是直线x=－3上一动点，点P在抛物线上，且位于x轴上方.是否存在这样的点P，使得∠BPQ=90°，且PB=PQ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

师生活动：第（1）问难度不大，学生可以独立求解.第（2）问由一个动点变为两个动点，难度有所提升.解题时若直接从数的角度出发，显然过于抽象，不易找到解题的突破口.基于此，教师可以启发学生构造直观的三角形，从而借助“形”发现解决问题的方向.教学过程中，教师首先鼓励学生动手画，然后利用几何画板演示，通过调整点P的位置让学生体会PQ，PB长度的变化，感受动静关系，体会符合条件的点P是存在的.

不过如何求点P的坐标是一个难点问题，求解过程中，教师让学生思考这样两个问题：①如图5，分别过点P作垂直于x轴和y轴的垂线，使之与x轴交于点M，交直线x=－3于点N，此时PM，PN满足怎样的关系？②设点P（t，－t2+2t+3），PM，PN是否可以用含t的代数式表示？这样通过适时的启发和指导将隐藏在题设中的信息显现出来，有利于降低问题的难度，提升学生解题的信心.在问题的驱动下，学生发现：若PB=PQ，则结合已知条件易证△PNQ≌△PMB，所以PM=PN.同理，当PM=PN时，同样可以证明△PNQ≌△PMB，所以PB=PQ.显然问题可以转化为当PM=PN时，△PBQ是等腰直角三角形.这样借助PM=PN这一等量关系，同样可以将问题转化为方程问题，问题即可迎刃而解.

教学说明：题目主要考查二次函数的图象与性质、三角形全等、一元二次方程等知识点，让学生体会数形结合、函数与方程思想方法的重要应用.随着动点个数的增加，难度也有所提升，这样通过问题的解决，有利于培养学生思维的严谨性和缜密性，让学生分析和解决问题的能力获得更高层次的提升.

1.4 课堂小结，融会贯通

课堂小结是内化知识、提升能力的重要途径.在本课教学中，教师预留时间让学生思考解题路径，从而明确解决此类问题的策略，积累解题经验，实现知识的融会贯通.

2 教学思考

在本专题教学中，教师从学生最近发展区出发，精心挑选题目，通过“低起点、小坡度”的问题逐渐唤醒学生的已有知识和经验，让学生在变与不变中形成解题策略，掌握解题通法，充分体验成功的喜悦，促进学生数学能力和思维能力获得质的提升.

同时，在本专题教学中，教师重视激发学生的主体作用，给学生以充足的时间思考、探索、交流，从而通过切身体验获得解题的方法，增强学生解题的信心.同时，在此过程中，教师充分发挥启发者和引导者的作用，通过创设问题链为学生的思维搭建进阶的梯子，让学生在由浅入深、由易到难的探究中有所收获、有所发展，实现知识从“树木”走向“森林”.

总之，在中考专题复习教学中，教师要立足基础，关注学生基础知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验的积累，合理运用“低起点、小坡度”的问题将知识与方法进行串联与梳理，逐步优化个体知识结构，提高学生分析和解决问题的能力.

参考文献：

［1］周发勇.初中数学变式教学策略探讨[J].数理天地（初中版），2024（3）：83-85.