基于动手“做”数学的启发式教学实践

摘要：以“拼图·公式”为例，将动手“做”数学与课堂教学相融合，展开启发式数学教学实践.通过拼图操作，建立“数”与“形”的桥梁，旨在提高学生的主观能动性和学习积极性，激发想象力和创造力，引发思考，启迪思维.

关键词：动手“做”数学；启发式教学；拼图

“启发”一词最早出现在孔子巨著《论语》中：不愤不启，不悱不发.“启”意味着教师帮助学生开启思路、引导点拨，“发”可以理解为学生思维的发生和生长，其核心理念都是紧紧围绕学生主体，让学生经历数学知识发生、发展的过程，完善数学学习的体验.启发式数学教学是指教师从学生已有知识和经验出发，力求创设“愤悱”的数学教学情境，启迪学生主动积极思考，数学思维得以发生和发展，数学知识、经验和能力得以生长，并从中领悟数学本质，达到和生成教学目标[1].

在基于动手“做”数学的启发式课堂教学中，笔者以一系列活动串为载体，将教学内容细化，通过层层递进、环环相扣的活动，启发学生深入思考，从而发现问题本质.“拼图＼5公式”这一课例是苏科版《义务教育教科书·数学实验手册》七年级下册中的内容，是为苏科版《义务教育教科书·数学》七年级下册“9.5多项式的因式分解”而设计的.在整式乘法与因式分解的学习中，相比于分解的方法，其意义内涵经常被忽视.本节课以三种长方形纸片为载体，借助拼图操作，引导学生体悟“数”与“形”的关联，从而认识到整式乘法与因式分解间的互逆关系，进而更深层次地理解概念与法则.

1 初探材料，明晰实验基础

活动1 实验材料初探

课前准备：边长为a的正方形A型纸片若干，边长为b的正方形B型纸片若干，长为a、宽为b的长方形C型纸片若干（如图1）.观察三种类型纸片，说一说它们之间的关联.

活动2 拼正方形

问题 取一张A型纸片、一张B型纸片、两张C型纸片，请尝试拼出一个正方形.

设计意图：整式乘法和因式分解是对代数式运算的再认识，运算的意义本身也是抽象的，因此以实物图形为抓手，让学生通过拼接纸片的方式进行直观表征，降低了抽象的难度，采用数形结合的方式帮助学生感受因式分解的算理和本质.活动1通过对实验材料的初探，发现纸片间的内在关联，从整体到局部，从宏观到微观，引导学生认识“提公因式法”的内涵；活动2则是帮助学生巩固“完全平方公式”，同时形象地带领学生走出误区，这就是动手“做”数学的魅力所在.相比于数与数结合的单一性和抽象性，数与形的结合则显得更加具体和丰富.基于具体的实验工具，帮助学生更好地理解数学中复杂的关系，从而让学生可以充分理解抽象概念，逐渐形成几何直观和空间观念.

2 合作交流，体悟拼图过程

活动3 拼固定长和宽的长方形

问题 分别选取A型、B型、C型三种纸片若干张，请尝试拼成一个长、宽分别为a+2b，a+b的长方形.

活动4 拼固定面积的长方形

问题 分别选取A型、B型、C型三种纸片若干张，拼成一个长方形，并且使得所拼长方形的面积为2a2+5ab+3b2.

设计意图：通过两个问题的设置，学生已进入到“愤悱”的情境中，处于“欲知还未知，欲言还未能”的状态，此时动手操作便是学生对知识进行直观感知的重要依托.活动3的设计重心在于学生自主探索，通过小组合作，形成更丰富的学习感官体验.通过“不同”的拼接方式启发学生思考图形中的“共同”点，在“变化”中寻“不变”，从而发现拼图纸片的数量与代数式每一项前的系数息息相关，再次将数与形紧密联系起来，也为接下来活动4的实验操作指明了方向，让纸片的选择不再“盲目”.两个活动的设计，前者是已知形状看大小，后者是已知大小看形状，其本质都是由数到形再到数的不断转化，充分体现了“由数解形，以形助数，数形结合”的思想方法.

活动5 能不能拼？

问题 分别选取A型、B型、C型三种纸片若干张，拼成一个长方形，并且使得所拼长方形的面积为a2+3ab+b2.

通过反复尝试发现，始终无法拼成一个长方形，总是多了或少了一些卡片.由此也意识到：在目前所学知识范围内，不是所有的多项式都能因式分解.

追问：能否通过增加或减少一张卡片，使得它们能拼成一个长方形呢？即意味着使更改后的多项式能够因式分解.

学生呈现出了多种方案，如图2所示：

（1）减去一张卡片C，即a2+2ab+b2=（a+b）2;

（2）减去一张卡片B，即a2+3ab=a（a+3b）;

（3）增加一张卡片B，即a2+3ab+2b2=（a+2b）＼5（a+b）;

（4）增加一张卡片A，即2a2+3ab+b2=（2a+b）＼5（a+b）;

（5）减去一张卡片A，即3ab+b2=b（3a+b）.

设计意图：通过不断尝试，从图形的角度揭示“在实数范围内，不是所有的多项式都可以因式分解”.初中阶段，学生对数的认识仅停留在实数范围内，有一些问题就其目前的知识水平是无法解决的，但可以通过纸片操作，以直观的方式来说明，也为今后学习复数等知识埋下了伏笔.增加和减少卡片数量的活动让学生思维得到了发散，构建灵活的逻辑思维，从本质内涵出发，既能清晰地表达因式分解的过程与结果，又能加深对拼图和因式分解之间关联的理解和感受.

3 拓展延伸，实现经验迁移

活动6 填系数

问题 试从1，2，3，4这四个数中选取适当的数填入a2+ ab+ b2的方框中（可重复选取），使所得的二次三项式能够因式分解，并写出因式分解等式.

拼图结果可以分为四种，分别对应四个等式（如表1），长和宽都含有一项a，因为这个多项式的首项是a2，所以因式分解之后每一项a的系数只能是1.利用整式乘法和因式分解的互逆性，发现首尾系数的关联，从而迅速找出长方形的长和宽.由此，就将学生的目光逐渐聚集至系数关系，从本质出发继续展开探索.

活动7 “抛弃”拼图

问题 已知二次三项式a2+ ab+6b2，试在方框中填入合适的数，使其能够因式分解，并写出因式分解等式.

设计意图：基于之前的活动铺垫，将学生的认知从数学外部带入到数学内部，进行纯粹的数学化思考，直接通过系数之间的关系来解决问题，对学生的思维又提出了更高的要求.此环节还体现了拼图方法的局限性——边长不可能为负数，因而无法得到更全面的结论.基于此，需要不断激发学生的创新意识和创新能力，使学生具有通过条件预测结果的能力，即“从特殊到一般”的推理能力.抛开实物操作，将已有的知识和经验迁移，便获得了另一种因式分解的方法——十字相乘法，这也为高中的学习做了认知上的铺垫.至此，学生完整经历了“知识从哪里来？”“知识是什么？”“知识到哪里去？”的数学学习过程，让知识自然发生、发展，可以说是始于欢乐，终于智慧.

将动手“做”数学作为启发式教学的一种方式引入数学课堂，不仅可以激发学生的学习兴趣，调动其积极性，而且可以不断激发学生的想象力和创造力，从而获得丰富的数学活动体验.学生借助实物纸片，探索乘法公式和拼图之间的数形转换过程，将抽象的数学关系运用到直观的几何图形中，通过数字与图形的有机结合，将问题简单化、明朗化，从而直观地理解数学，整个过程有助于学生形成逻辑推理、数学建模的能力，发展几何直观素养.这样的启发式教学可以充分发挥学生的主观能动性，通过主动积极的思维去发现问题、解决问题，进而掌握知识.重视学生学习过程中的经历和体验，往往比结果更为宝贵.

参考文献：

[1]韩龙淑，曾小平.数学教师对启发式教学认识的调查研究[J].数学教育学报，2014（4）：55-58.