“探索相似三角形的条件：黄金分割”教学案例

1 教学分析

1.1 教学内容

本节内容是北师大版数学九年级上册第四章第4节中“探索相似三角形的条件：黄金分割”.它不仅是线段的比的延续，还与相似三角形有着至关重要的联系.探究黄金分割，不仅可以进一步培养学生观察、分析、归纳、概括的能力，更能促进学生审美意识的发展.

1.2 教学目标

（1）能说出黄金分割的概念，知道黄金分割点，能求出黄金分割比，能根据黄金分割的定义和性质计算线段的长度；

（2）通过动手操作，能规范作出一条线段的黄金分割点，能说出黄金矩形和黄金三角形的特征；

（3）通过了解黄金分割的现实意义，探寻其背后承载的文化价值，学会用数学的眼光欣赏世界.

1.3 重点难点

重点：能说出黄金分割的概念，知道黄金分割点，能求出黄金分割比，能根据黄金分割的定义和性质计算线段的长度.

难点：通过动手操作，能作出一条线段的黄金分割点，能说出黄金矩形和黄金三角形的特征.

2 教学过程

2.1 环节一：黄金分割——发现美

展示图1.

师：（问题1）这是老师在国庆期间出门游玩的时候拍的照片，这四张照片中都有庄严而美丽的国旗，你们知道国旗上的五角星象征着什么吗？

生：大五角星代表共产党，四个小五角星代表工人、农民、小资产阶级和民族资产阶级.

师：（问题2）为什么用五角星而不是四角星或六角星或其他角星？

生：因为五角星看起来更美.

师：（问题3）五角星美在何处？本节课我们就从数学的角度揭示它美的本质.接下来我们进入“探索三角形相似的条件：黄金分割”的学习，请同学们先阅读本节课的学习目标.（板书课题.）

教学说明：问题1的设计旨在对学生进行爱国教育，同时也引出本节课的学习主题；问题2的设计引导学生回答五角星很美；问题3的设计承接了上一问题，同时自然地过渡到下一环节.

2.2 环节二：黄金分割——探索美

展示如图2所示的五角星图形.

师：这是一个正五角星，从数学的角度看，它是一个什么对称图形？

生：轴对称图形、旋转对称图形.

师：请同学们找出图中有几种长度不同的线段、几种大小不同的角？

生：四种长度不同的线段，分别是与线段AL，AC，AB，LC相等的线段；三种大小不同的角，分别是与∠A，∠ALD，∠DLC相等的角.

师：根据这些线段和角的关系，猜想ACAB与BCAC满足怎样的数量关系，并证明.

生：相等.连接DC，可知DC∥HB，得△ACD∽△ABH，所以ACAB=ADAH.又因为AD=BC，AH=AC，所以ACAB=BCAC.

师：C点非常特殊，它将线段AB分成较长线段AC和较短线段BC，并且满足长全=短长，我们把这样的点C称为线段AB的黄金分割点，把AC与AB的比叫做黄金比.（展示黄金分割的定义.）

学生理解定义，并在学案上补充完善黄金分割的概念.

师：所以当ACAB=BCAC时，感觉到五角星很美，那么这个比值究竟是多少？请尝试计算出来.

学生独立思考，在学案上进行演算.设AB=1，AC=x，则x1=1－xx，解得x1=5－12，x2=－5－12（负值舍去）.

师：请学生讲解思路（肯定他们的回答）.黄金比约等于0.618，而长边与短边的比值约等于1.618.

教学说明：利用五角星问题，创设一个有利于理解的情境，鼓励学生思考线段间的比例关系，这样的探索活动，既充分应用了相似三角形的知识，又自然地引出了黄金分割.

2.3 环节三：黄金分割——应用美

展示图2.

师：让我们把目光再次放到五角星上来，在线段AB上有几个黄金分割点？

生：观察五角星图形，得出有点C和L两个黄金分割点.

师：请计算LEEB和CLKL的值.

生：LEEB=5－12，因为LE=AC，EB=AB.CLKL=5－12.设AB=2，则AC=BL=5－1，所以AL=BC=KL=3－5，CL=25－4，所以CLKL=5－12.

师：（肯定学生的回答）在等腰三角形KLC中，底边与腰长之比是黄金比，在等腰三角形LEB中，腰长与底边之比也是黄金比，我们把这样的三角形称为黄金三角形.若给出一条线段AB，怎样找出AB的黄金分割点呢？请同学们以小组为单位，合作讨论.

学生小组合作讨论，尝试找出线段的黄金分割点.

师：巡视小组合作情况，并作指导，让学生思考5的几何意义，构造两直角边分别是1个单位长度和2个单位长度的直角三角形，发现斜边为5个单位长度.

生：把线段AB看成2个单位长度，作线段AB的垂直平分线交AB于点D，过点B作AB的垂线l，如图3.以B为圆心，BD的长为半径画弧交l于点E，如图4，连接AE，则斜边AE的长为5个单位长度.如图5，以点E为圆心，EB长为半径，画弧交AE于点F，则AF的长为（5－1）个单位长度.如图6，再以A为圆心，AF长为半径画弧交AB于点C，则C为线段AB的黄金分割点.

师：这位同学能够想到用直角三角形来构造5，这种作图法由数学家海伦提出过，看来这位同学非常有数学家的潜力.还有其他方法吗？

生：以AB为边，作一个顶角为36°的等腰三角形，则底角为72°，如图7.再作∠ACB的角平分线，交AB于点D，则点D是AB的黄金分割点，如图8.理由是△ACB∽△CDB，则BCAB=BDBC，又因为BC=CD=AD，所以ADAB=BDAD，满足黄金分割的定义.

师：这位同学的做法很棒，他不仅利用了刚刚所学的黄金三角形知识，还向我们介绍了其中一种黄金三角形的角的特征，即顶角是36°的等腰三角形.看来你们已经具备了从数联想到形的这一能力，如果给出图形，相信你们也能从中体会到数的意义.请同学们阅读课本第98页黄金分割点的作图步骤，思考为什么H是线段AB的黄金分割点.

生：类比上面作图的原理.设AB=2，则AE=1，由勾股定理得BE=5.

所以EF=BE=5，AH=AF=BE-AE=5-1，BH=AB-AH=3-5.

所以AH2=AB瘙簚BH，即AHAB=BHAH.

师：（肯定学生的回答）这种作法叫做欧几里得作图法.

教学说明：得出黄金分割的定义后，再次回归到五角星中，提问一条线段有几个黄金分割点和计算线段的比值，意在进一步让学生体会黄金分割点的定义；之后让学生合作讨论“如何作出一条线段的黄金分割点”，意在让学生从形的角度理解5－12的意义，开阔学生的视野，提升学生的思维品质.同时采用小组合作，动手尝试，激发学生的动手能力和探索兴趣.

2.4 环节四：黄金分割——感受美

师：通过刚刚找黄金分割点的活动，相信你们已经更加深刻地理解了黄金分割，事实上，黄金分割早在古希腊时期就已经应用于建筑领域中了.图9是古

希腊时期的巴台农神庙，如果把图9中用虚线表示的矩形画成图10中的ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现BEBC=BCAB.思考：（1）点E是线段AB的黄金分割点吗？（2）矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？

生：根据BC=AE可知点E是AB的黄金分割点，矩形ABCD的宽与长的比是黄金比.

师：我们把宽与长的比是黄金比的矩形称为黄金矩形.

师：矩形EBCF是黄金矩形吗？

生：矩形EBCF是黄金矩形.

师：对矩形ABCD以BC为边作正方形，再以EB为边长作正方形，以此类推，将正方形的对角线用曲线连接起来，能得到什么呢？展示作图步骤，得出黄金螺旋构图也称为斐波那契螺线（如图11）.下面通过一个小视频，一起来了解一下黄金分割在各个领域中的应用（播放现实生活中利用黄金分割的例子）.

学生观看现实生活中利用黄金分割的视频，感受黄金分割的魅力.

教学说明：古希腊时期的巴台农神庙，这一历史文化与黄金分割有关，意在展示黄金分割的文化价值，同时借此引出黄金矩形这一概念，在此基础上提出黄金螺旋构图，进而发现黄金分割在现实生活中的应用极为广泛.从历史中的美，到用数学的语言揭示美，最后又应用于生活，旨在让学生用数学的眼光欣赏世界.

2.5 课堂小结：黄金分割——收获美

师：通过本节课的学习，相信你们在数学知识、数学思想方法和情感体验等方面都有了深刻的认识和收获，请同学们谈谈你们的想法？

生1：知道了黄金分割点，即将一条线段分成长短两条线段，满足长∶全=短∶长=5－12.

生2：在整个探索过程中，用到了比例思想和数形结合思想，也知道了黄金分割应用于各个领域，如建筑、摄影、自然界等.

师：两个同学都回答得很好！黄金分割的发现和研究经历了漫长的历史过程，在学习中我们了解到古代数学家对黄金分割的探索和贡献，这激励着我们要有探索未知的精神，勇于追求真理.老师也想借此送给你们几句话，从幼儿园到大学毕业有将近19年的求学生涯，而黄金分割点恰好就是九年级的这一年，希望你们能够把握好这黄金分割的一年，实现人生的飞跃.最后老师将本节课的内容写成了一首打油诗：

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整体两分呈妙比，

长比全兮若短长.

十九春秋求学路，

九年奋斗恰当中.

教学说明：帮助学生养成系统整理知识的习惯，加深认识，深化提高，形成自己的知识体系.同时结束语中再次引入黄金分割点，将其与现实生活相结合，达到激励学生的目的.