数学教学应强化学生思维品质的培养

摘"要"本文结合学生具体学情，设计了应用合情推理和演绎推理探究函数对称性问题的教学过程，由此展开对思维品质的培养策略探究，给出了教学中结合概念教学、创设教学情境、善用推理等方法培养学生思维品质的一些建议.

关键词"函数对称性；思维品质；教学设计

""《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养.主要包括合情推理和演绎推理.逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质.随着新课标理念的不断落实，高考命题探索“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”的综合考查模式，不断增强试题的应用性、探究性、开放性，重点考查学生的思维品质和问题解决能力.由“解题”向“解决问题”转变，由考查知识和能力向考查数学素养转变.目前中学教学中存在一些问题，如教学轻结果、重结论，轻理解、重记忆以致学生面对新题型时就不知所措.培养思维品质是发展思维能力的关键.本文以一道函数对称性问题的探究为例，探索发现学生问题、揭示学生问题本质，设计相关教学，解决学生问题，并提出一些教学思考.

一、将思维中的问题显性化

在教学中需要将学生思维中的隐性问题显性化，才能够使学生自己认识到问题，使教师发现并结合学生问题进行针对性教学.

1.初步探索，暴露问题

例1"（多选）关于函数f（x）=14x+2的性质，下列说法中正确的是（""）.

A.函数f（x）的定义域为R

B.函数f（x）的值域为0，+

C.方程f（x）=x有且只有一个实数根

D.函数f（x）的图像是中心对称图形

此题正确答案是ACD.很多学生在解答时容易漏选D选项.

[HTK]2.基于思维品质进行原因分析[HT]

基于思维品质相关理论，首先学生思维的灵活性有待提升.这里思维的灵活性不够的主要表现是迁移能力薄弱.学生遇到常见的函数模型如y=ex+e－x函数，借用f（－x）=f（x）便能判别函数为偶函数.此外通过函数平移变换学生易知函数y=ex－1+e1－x关于x=1对称.而D选项考查函数对称性的方式不易发现，学生难以将奇函数y=4x－24x+2与y=14x+2联系起来.实际上，本问题就是将奇函数进行平移变换成一般对称性探究问题.所以学生易于迁移失败.为了进一步把握学生的思维特点，笔者给出以下问题：

例2"（2022年北京）已知函数f（x）=11+2x，则对任意实数x，有（""）.

A.f－x+f（x）=0""B.f－x－f（x）=0

C.f－x+f（x）=1""D.f－x－f（x）=13

答案为C.本题和例1的D选项考查的是同一个知识点，但是本题为学生提供了思考函数对称性的方向，其考查形式是验证性的，而例1是开放性的，难度更大.此外，学生思维的批判性有待提升.例1是一个多选项，通过前面推断已经有两个选项正确，学生获得两个选项后，在面对一个不太确定的选项时更容易放弃选项.再者，学生解题过程中缺乏调控、反思等元认知知识的运用.

二、回到问题起点展开教学

为了解决学生的问题，笔者将例1的教学回到起点，引导学生应用基础知识解决问题.

教学活动一：基于原理猜想证明，合情推理进行迁移

师：函数中心对称的基本判定方法是什么？

生：若函数满足fa+x+fa－x=2b或f（x）+f2a－x=2b都能说明函数图象关于点a，b对称.

师：既然是这样，我们一起观察这个函数看看怎么找出点a，b，你们认为解析式中数字4和2该怎么建立关系？

生：4=2×2，4=22.

师：考虑到4x这个指数形式，你觉得2用12×4还是2=412表示更合理？

生：后者.于是f（x）=14x+412.

师：你们仔细对比观察解析式，x与12的地位应该对等的，那你现在觉得怎么猜测更合理？大胆猜测.

生：对称中心的横坐标为12.

师：那么我们需要验证的等式是什么？你能不能写出结论？

生：验证f（x）+f1－x或者f12+x+f12－x为定值.

通过计算f（x）+f1－x=14x+2+141－x+2=14x+2+4x4+2·4x=2+4x4+2·4x=12，所以函数的图象关于12，14对称.

师：如果函数解析式f（x）=14x+1呢？

生：由1=40，有f（x）+f－x=14x+1+14－x+1=14x+1+4x1+4x=1，所以函数关于0，12对称.

师：看得出来，你们掌握了猜的密码，那么我们试着用控制变量法来继续分析f（x）=22x+3，f（x）=12x－1是否也是中心对称中心图形？

生：由3=2log23，有f（x）+f2·log23－x=22x+3+222·log23－x+3=22x+3+2·2x9+3·2x=23.

对于函数f（x）=12x－1，有1=20，f（x）+f－x=12x－1+12－x－1=12x－1+2x1－2x=－1.

师：通过上述四个函数对称性的探究，能否猜测一般结果？

生：形如y=cax+ba＞0且a≠1函数图象是中心对称图形.若b＞0，对称中心为alogab，c2b，若b＜0，对称中心为aloga（－b），c2b.

在完成上述探究活动后，笔者展示了下面例题：

例3"已知函数f（x）=21+2x+11+4x满足floga（2+1）=1，其中a＞1，则floga（2-1）=（）.

A.1"""B.2"""C.3"""D.4

解析"因函数y=21+2x满足f（x）+f－x=2，函数y=11+4x满足f（x）+f－x=1，从而函数f（x）=21+2x+11+4x满足f（x）+f－x=3，又因为loga2+1+loga2－1=loga1=0，所以floga2+1+floga2－1=3，故选B.

教学活动二：建构联系优化思维，异途同归活跃思路

除了上述应用定义法证明函数对称性，还可以借用函数导函数的对称性证明原函数的对称性.已知函数y=f（x）的导函数为y=f′（x）.若fa+x=fa－x，对等式两边求导有f′（a+x）=－f′a－x，则说明若原函数y=f（x）关于x=a对称，导函数y=f′（x）关于点a，0对称.同理可推，若原函数y=f（x）关于a，0对称，则导函数y=f′（x）关于x=a对称.反之运用积分运算，若导函数y=f′（x）关于x=a，则原函数y=f（x）关于点a，b2对称；若导函数关于点a，0对称，则原函数关于x=a对称.

利用上述结论，对函数f（x）=14x+2求导得f′（x）=－4x·ln44x+22=－ln44x+41－x+4，其中g（x）=4x+41－x满足g1－x=41－x+41－1－x=41－x+4x=g（x），函数y=g（x）关于x=12对称.则y=f′（x）关于x=12对称，那么原函数关于点12，b对称，这样思路就可以转化为验算y=f（x）+f1－x=14x+2+141－x+2=12，从而得到函数y=f（x）关于点12，14对称.

教学活动三：归纳总结得出结论，内化认知形成技能

函数的对称性一直是高考考查热点，函数的对称性本质就是奇偶函数进行平移变换的结果.判断函数的奇偶性通常有如下方法：

（ⅰ）利用奇偶性定义，整理含参数恒等式，从而确定参数.

例4"（2023全国乙，文16）若f（x）=lna+11－x+b是奇函数，则a= ，b=.

解析"因为函数f（x）=lna+11－x+b为奇函数，所以其定义域关于原点对称，且定义域中x≠1.由a+11－x≠0可得定义域为xx≠1且x≠a+1a，所以a+1a=－1，解得a=－12.再由f0=0可得，b=ln2.此时f（x）=ln－12+11－x+ln2=ln1+x1－x，在定义域内满足f－x=－f（x），f（x）为奇函数，符合题意.

（ⅱ）将原函数拆解为简单函数，利用函数奇偶性的运算法则判断.

例5"（2023新课标Ⅱ第4题）若函数f（x）=x+aln2x－12x+1为偶函数，则a=（""）.

A.－1"""B.0"""C.12"""D.1

解析"易知函数f（x）的定义域－，－12∪12，+关于原点对称，令g（x）=x+a，h（x）=ln2x－12x+1，则f（x）=g（x）·h（x），易得h（x）为奇函数.因为f（x）=g（x）·h（x）为偶函数，所以g（x）为奇函数，解得a=0.故选B.

（ⅲ）结合原函数和导函数图象对称性的关系判断.

例6"（2022新高考Ⅰ第12题）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域为R，记g（x）=f′（x），若f32－2x，g2+x均为偶函数，则（"）.

A.f0=0""""""B.g－12=0

C.f－1=f4""""D.g－1=g2

解析因为f32－2x为偶函数，所以f32－2x=f32+2x，函数y=f（x）的图象关于x=32对称，则f－1=f4；因为g2+x为偶函数，所以g2+x=g2－x，则函数g（x）的图象关于x=2对称.由上述原函数与导函数对称性的结论，g（x）的图象关于点32，0中心对称.

由g（x）=g4－x=－gx－1，得g（x）的一个周期为2.所以g－12=g32=0，g－1=g1=－g2，故B正确，选项D错误；因为函数f（x）+C′=f′（x）C为常数，所以f（x）的图象经过上下平移后，其对称性与导函数的对称性不发生改变，即f（x）+C也满足题意，所以不能确定f0=0，故选项A错误.综上、选B、C.

三、重现思维品质优化培养

新课标指出：通过高中数学课程的学习，学生能掌握逻辑推理的基本形式，学会逻辑地思考问题；能够在比较复杂的情境中把握事物之间的关联，把握事物发展的脉络；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神，增强交流能力.

1.把握概念教学培养思维的深刻性

概念是思维的“细胞”.运用概念构成判断和进行推理的阶段就是思维阶段.概念、判断、推理就是思维的形式.概念教学有助于系统而深刻地揭示事物的本质和内在规律，培养学生思维的深刻性.章建跃教授提出教师可以以数学整体观为指导，为学生搭建研究一个数学对象（问题）的整体框架，着力培养思维的逻辑性.在框架下展开教与学，可以确保结构的合理性、内容的可预见性、过程的逻辑性、探索的方向性、思维的主动性、方法的有效性.本文中的案例正是基于函数中心对称定义，抓准探究方向，引导学生猜想、验证，从而找到函数图象的对称中心.

2.创设教学情境培养思维的独创性

思维的独创性是在新异情况或困难面前采取对策、独特地和新颖地解决问题的过程中表现出来的智力品质.概括性越高，知识系统性越强，减缩性越大，迁移性越灵活，则独创性就越突出.通过研究近些年高考数学卷可以发现，高考卷呈现一个特点就是加入复杂情境，而考生在面对这些情境问题时出现阅读理解水平低下，“数学化”能力差等问题.这反映在实际教学中，教师忽视了问题情境的重要性，往往是教师自行抽象出数学问题，教学中掐头去尾，把较多的时间放在推理与计算中，重结果轻过程，导致学生在观察、实验、数据分析、直观想象等方面没有得到应有的训练.本教学中设置一连串的数学问题情境，先后对四个函数的对称中心探究，遵从数学的严谨性设计，引导学生感受变与不变的本质，概括一般结论.在学生与情境、问题的有效互动中提升数学核心素养.

3.善用推理培养思维的灵活性

数学家波利亚在《数学与猜想》中提出数学有两个侧面，即合情推理与演绎推理.思维过程的基本框架是观察与实验、归纳与演绎、比较与分类、分析与综合、抽象与概括.所以一个完整的思维过程其实往往包括了合情推理与演绎推理，合情推理有利于指导思维方向，演绎推理保证了思维的严密性、结果的准确性.本文通过对函数对称性的探究为指引，通过逻辑连贯的问题串引导学生运用猜想、验证、归纳总结进行合情推理，再运用函数与导数对称性的关系验证猜想完成演绎推理.推理的过程本质是就是不断地灵活地作“综合地分析”.在推理中不断运用逻辑思维、形象思维以及直觉思维等多种思维方式提升学生思维的灵活性.

参考文献

［1］中国人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2020年版）［M］.北京：人民教育出版社，2022.

［2］章建跃.强化思维教学，落实核心素养（一）——“第十一届高中青年数学教师课例展示活动”总结［J］.中国数学教育（高中版），2023（4）.

［3］陈平.问题导向的逻辑推理素养培养—以2018年高考全国I卷理科第12题的教学为例［J］.中国数学教育（高中版），2019（6）.

［4］波利亚，数学与猜想--合情推理模式［M］.北京：科学出版社，2001.