追根溯源，探寻应用

1 真题呈现

高考真题 （2023年高考数学新高考Ⅰ卷·7）记Sn是数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：Snn为等差数列，则（" ）.

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

该题以等差数列与充要条件这两个基本知识点的交汇融合加以创设，通过等差数列的概念、求和公式以及基本性质等知识的合理联系，推理与判断两个等差数列之间的关系.

2 追根溯源

该高考真题，追根溯源，是在教材习题的基础上，进一步加以转化、深入、变形、拓展与提升，从而实现问题的应用.

习题 〔人教A版高中数学选择性必修第二册第四章“数列”习题4.2第7题（1）〕已知Sn是等差数列{an}的前n项和，证明Snn是等差数列.

在等差数列{an}中，当公差d≠0时，其对应的通项公式an、前n项和公式Sn分别可以看作关于自变量n（n∈N*）的一次函数an=dn+a1-d、二次函数Sn=12dn2+a1-12dn.

由此，借助等差数列的前n项和公式Sn与项数n之间的比值，合理构建一个新的等差数列及其综合问题，具有非常好的灵活性与变通性，也是教材的延续与提升.

3 真题破解

解法1：求和公式转化法1.

若{an}为等差数列，设其公差为d，则有Sn=na1+n（n-1）2d=12dn2+a1-12dn，

可得

Snn=12dn+a1-12d.

而Sn+1n+1-Snn=12d（n+1）+a1-12d-12dn+a1-12d=d2为常数，

所以Snn为等差数列.故甲是乙的充分条件.

反之，若Snn为等差数列，则有Sn+1n+1-Snn=nSn+1-（n+1）Snn（n+1）=nan+1-Snn（n+1）为常数.

设常数t=nan+1-Snn（n+1），整理可得Sn=nan+1-n（n+1）t，

则Sn-1=（n-1）an-n（n-1）t（n≥2），

两式对应相减，可得an=nan+1-（n-1）an-2nt，整理得an+1-an=2t为常数.

当n=1时，an+1-an=2t也成立.

所以{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件.

综上可知，甲是乙的充要条件.

故选择答案：C.

解法2：求和公式转化法2.

若{an}为等差数列，设其公差为d，则有Sn=n（a1+an）2，可得Snn=a1+an2.

而Sn+1n+1-Snn=a1+an+12-a1+an2=an+1-an2=d2为常数，所以

Snn为等差数列，则甲是乙的充分条件.

反之，若Snn为等差数列，设其公差为D，则可得Snn=S1+（n-1）D，即Sn=nS1+n（n-1）D，于是

可得Sn-1=（n-1）S1+（n-1）（n-2）D（n≥2）.

两式对应相减，可得Sn-Sn-1=an=S1+2（n-1）D（n≥2）.当n=1时，an=S1+2（n-1）D也成立.

所以an=a1+2（n-1）D.

又an+1-an=a1+2nD-[a1+2（n-1）D]=2D为常数，

所以{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件.

综上可知，甲是乙的充要条件.

故选择答案：C.

解后反思：结合充要条件的概念，分别对必要性与充分性加以分类讨论与综合判断，进而确定对应的条件.借助等差数列的不同求和公式，采用不同的思维切入，都可以达到分析与判断的目的.

4 结论展示

根据以上高考真题的解析，以及教材习题的追根溯源，结合等差数列的概念与基本性质等，深入探究，进一步归纳与总结，可得到以下相应的结论.

结论 记Sn是数列{an}的前n项和，则“数列{an}为等差数列”等价于“数列Snn为等差数列”.

该结论的证明过程，其实就是以上高考真题的解析过程.借助以上高考真题的解析，对于过程信息的反馈，还可以得到以下相应的推论及其应用.

推论 记Sn是数列{an}的前n项和，则“数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列”等价于“数列Snn是公差为d2的等差数列”.

5 结论应用

5.1 参数确定

例1 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm-1=-2，Sm=0，Sm+1=3，则m=（" ）.

A.3

B.4

C.5

D.6

解析：根据以上给出的结论，对于等差数列{an}，数列Snn也是等差数列，则知Sm-1m-1，Smm，Sm+1m+1成等差数列.

结合等差中项的基本性质，

可得2＼5Smm=Sm-1m-1+Sm+1m+1，则有0=-2m-1+3m+1，解得m=5.

故选择答案：C.

点评：巧妙借助上述结论，直接由题设条件中数列{an}为等差数列，确定数列Snn也是等差数列，从而利用其等差中项构建相应的关系式，为进一步的参数确定与求解提供条件.借助结论及其应用，解决问题更加直接，可以很好地优化解题过程，减少数学运算，提升解题效益.

5.2 综合应用

例2 〔2023届江苏省南京市六校高三（上）联考数学试卷〕（多选题）已知数列{an}为等差数列，Sn表示其前n项和，则下列数列一定为等差数列的是（" ）.

A.{an+n}

B.{a2n}

C.Snn

D.{S4n}

解析：根据以上给出的结论，直接判断选项C正确.

在等差数列{an}中，设公差为d，首项为a1.

对于选项A，an+n-（an-1+n-1）=an-an-1+1=d+1（常数）（n≥2），正确；

对于选项B，a2n-a2n-1=（an-an-1）（an+an-1）=d（an+an-1）（不为常数）（n≥2），错误；

对于选项D，S4（n+1）-S4n=4（n+1）a1+4（n+1）（4n+4-1）2d-4na1+4n（4n-1）2d=4a1+（16n+6）d（不为常数）（n≥2），错误.

故选择答案：AC.

点评：巧妙借助定义及公式，对于判断数列的类型有一定的用处.特别在数列的类型识别中，往往都离不开相关数列的定义及其应用，围绕数列有关定义来分析并判断对应的数列类型.

6 教学启示

6.1 落实教材基础知识与例（习）题

众里寻根千百度，题源却在教材例（习）题处.教材中例（习）题是高考命题中最好的“母题库”或“题源库”.

在平时的数学教学与学习、复习备考过程中，一定要落实高中数学教材的基础知识，脚踏实地，以数学教材中的例（习）题为脚本，结合基础知识吃准吃透，抓住各个细节，深挖知识内涵，合理构建起高中数学的知识网络体系与知识框架，从而形成整个高中数学知识的架构，挖掘数学基础知识本源，掌握数学基本技巧方法，以不变应万变，为高考提供最直接的知识支撑与能力平台.

6.2 抓住等差数列的函数本质

数列作为离散函数中的典型代表之一，是函数主线上的一个重要分支与特殊应用，回归函数本质是数列应用的根本.

在实际解决数列问题时，经常要合理回归数列的函数本质，抓住数列的函数性，挖掘出等差数列中的一次函数、二次函数本质，等比数列中的指数函数本质，以及数列与函数之间的内在联系，从而合理从函数的观点来解决数列问题，巧妙揭开数列的神秘“面纱”，为数列的进一步综合应用开拓更广的空间与更深的渠道，借助创新思维来综合应用，培养学生的创新意识与创新应用等[2].