例析解析几何中优化运算的策略

作为历届高考中主干知识点之一的解析几何试题，经常出现在各种题型中的压轴题位置，知识综合性强，数学运算量大.因而，合理优化数学运算，全面简化解题过程，成为解答解析几何问题的一个重要目标.在实际解答解析几何问题时，合理掌握一些优化运算的策略，可提升解题效益，达到事半功倍的效果.

1 回归定义，以逸待劳

例1 （2023年江苏省南京市高考数学二模试卷）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），F为其左焦点，直线y=kx（k＞0）与椭圆C交于点A，B，且AF⊥AB.若∠ABF=30°，则椭圆C的离心率为（" ）.

A.73

B.63

C.76

D.66

解析：如图1所示，设椭圆的右焦点为F2，连接AF2，BF2，则四边形AFBF2为平行四边形.设|AF|=m.由于AF⊥AB，

∠ABF=30°，则|FB|=2m，|BF2|=|AF|=m.

结合椭圆的定义，有|BF|+|BF2|=2m+m=2a，所以m=23a.

在△BFF2中，（2c）2=43a2+23a2－2×43a×23a×cos 120°，整理得4c2=289a2，解得c=73a，所以e=ca=73.故选择答案：A.

点评：熟练理解并掌握圆锥曲线的定义是解决一些相关解析几何问题的基础.挖掘内涵，回归定义，直接揭示问题的本质属性，利用定义，构建曲线与方程、代数式与参数等之间的关系，为深入分析与解决解析几何问题奠定条件，化繁为简，直达目的.

2 动静结合，特殊思维

例2 （湖北省部分学校2024届高三上学期8月起点考试数学试题）已知直线l与双曲线C：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）相切于点P，且l与C的两条渐近线l1，l2分别交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，则x1x2+y1y2=（用含a，b的式子表示）.

解析：根据题设条件，所求代数式x1x2+y1y2与常数a，b有关，利用特殊值法，取特殊点P（a，0），此时对应的切线l的方程为x=a.

其与双曲线C的两条渐近线l1：y=bax，l2：y=－bax的交点分别为（a，b），（a，－b），则有x1x2=a2，y1y2=－b2，所以x1x2+y1y2=a2－b2.

故填答案：a2－b2.

点评：特殊值思维的策略，是解决此类与“动点”有关的“定值”问题时，追求简捷快速处理数学客观题的一种基本思维方式和理想方法，是一种巧技妙法，也是通性通法的升华，但也有其特殊性与缺陷性，不具备普遍性.

3 设而不求，金蝉脱壳

例3 〔2023年河北省石家庄市高考数学质检试卷（一）〕已知双曲线C：x2a2－y2b2=1（a＞0，b＞0），过原点O的直线交C于A，B两点（点B在右支上），双曲线右支上一点P（异于点B）满足BA·BP=0，直线PA交x轴于点D，若∠ADO=∠AOD，则双曲线C的离心率为（" ）.

A.2

B.2

C.3

D.3

解析：由题意，设A（－x0，－y0），B（x0，y0）（x0＞0），P（x1，y1），则x20a2－y02b2=1，x21a2－y12b2=1，两式相减得x20－x21a2=y02－y12b2，所以（x0+x1）（x0－x1）（y0+y1）（y0－y1）=a2b2.

又kAP=y0+y1x0+x1，kBP=y0－y1x0－x1，所以kAPkBP=b2a2.

因为BA·BP=0，所以BA⊥BP.

于是kAP=tan（π－∠ADO），kBP=tanπ2+∠AOD，所以tan（π－∠ADO）·tanπ2+∠AOD=b2a2，则有－tan ∠ADO·－1tan ∠AOD=b2a2.因为∠ADO=∠AOD，所以b2a2=1，即b2=a2，则c2=b2+a2=2a2，所以离心率e=ca=2.故选择答案：A.

点评：抓住解析几何问题的本质，合理引入参数，采用“设而不求”法进行整体代换处理，利用圆锥曲线的定义、向量的基本性质、不等式的性质、“点差法”及平面几何知识等来突破，巧妙转化，减少数学运算，优化解题过程，提升解题效益.

4 数形结合，偷梁换柱

例4 〔2024届广东省佛山市普通高中教学质量检测（一）高三数学试卷〕设A，B分别是曲线y=ex与圆（x－1）2+y2=1上的点，则|AB|的最小值为.

解析：易知圆（x－1）2+y2=1的圆心为C（1，0），半径为1，考虑圆（x－1）2+y2=r2与曲线y=ex相切于点A0（m，em）时的情形，此时两曲线在点A0处的公切线为l，线段A0C与圆（x－1）2+y2=1交于点B，如图2所示.

由y=ex，求导可得y′=ex，利用导数的几何意义可知切线l的斜率k=em，由于A0C⊥l，结合直线的斜率公式可得em×em－0m－1=－1，整理有e2m=1－m.易知m=0是方程e2m=1－m的唯一实数解，则知A0（0，1），r=2.

结合图形直观可知|AB|的最小值为|A0B|=2－1.故填答案：2－1.

点评：作为数学中的重要数学思维方式，数形结合思维也成为解析几何中优化数学运算的重要策略.借助数形结合法，将抽象的解析几何问题直观化，还原解析几何中的几何本质，建立平面几何中点、线、角或曲线等元素之间的关系，数形结合，直观形象.

5 和积转换，韦达助算

例5 〔2023年河北省石家庄二中高三（下）月考数学试卷〕已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0）（c＞0），点M在E上，MF2⊥F1F2，△MF1F2的周长为6+42，面积为13c.

（1）求椭圆E的方程.

（2）设E的左、右顶点分别为A，B，过点32，0的直线l与E交于C，D两点，记直线AC的斜率为k1，直线BD的斜率为k2，判断是否存在实常数λ，使得k1=λk2恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.

解析：（1）依题意，可得2a+2c=6+42，12×2c×b2a=13c，即a+c=3+22，b2a=13.

又a2=b2+c2，所以a2=9，b2=1.

所以，椭圆E的方程为x29+y2=1.

（2）设直线CD的方程为x=ty+32.由（1）易得A（－3，0），B（3，0）.

由x29+y2=1，x=ty+32，得4（t2+9）y2+12ty－27=0，则Δ=144（4t2+27）＞0.

设C（x1，y1），D（x2，y2），由韦达定理，可得y1+y2=－3tt2+9，y1y2=－274（t2+9），则ty1y2=94（y1+y2）.

于是有k1k2=y1x1+3·x2－3y2=（x2－3）y1（x1+3）y2=ty2－32y1ty1+92y2=2ty1y2－3y12ty1y2+9y2=2×94（y1+y2）－3y12×94（y1+y2）+9y2=32y1+92y292y1+272y2=32（y1+3y2）92（y1+3y2）=13，故存在实数λ=13，使得k1=λk2恒成立.

点评：在解决一些涉及直线与圆锥曲线的位置关系的解析几何问题时，借助函数与方程思想来转化，联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理来合理助算，可以有效进行对应的和积关系式之间的转化与变形等，巧妙恒等变形，优化数学运算.