例谈一题多解视域下的数学思维培养

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中强调数学思维的培养是课程的重要目标之一，尤其在问题解决能力的提升上，提出了“数学活动要体现探究性、开放性和多样性”的要求.例谈一题多解视域下的数学思维培养，正是对这一要求的具体体现.通过引导学生思考一题多解，能够有效培养学生的创新思维、推理能力和灵活性.不同的解法不仅能帮助学生深入理解数学概念，还能增强他们解决问题的信心和自主学习能力.在这一过程中，学生需要对数学问题进行多角度思考，探索不同的思路和方法，培养他们从不同角度审视和解决问题的能力.

基于此，笔者结合以下一道解三角形模拟题，利用求解三角形中一内角的正弦值，探究如何增强学生的知识迁移、解题技巧等方面的能力，并培养数学思维.

问题 已知三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos B+cos C=1，b+c=32a，则sin A=.

1 试题解法及思维培养

1.1 分析与推理思维

方法1：角化边法.

依题，不妨设a=2，则b+c=32a=3.由cos B+cos C=1，利用余弦定理，可得a2+c2-b22ac+a2+b2-c22ab=c2-b2+44c+b2-c2+44b=1.

所以4bc=b（c2－b2+4）+c（b2－c2+4）=（c2－b2）（b－c）+4（b+c）=（c+b）（c－b）（b－c）+4（b+c）=－3（b－c）2+12=－3（b+c）2+12bc+12=12bc－15，解得bc=158.

所以由余弦定理，可得cos A=b2+c2-a22bc=（b+c）2-2bc-a22bc=13.

所以sin A=1-cos 2A=223.故填答案：223.

本题通过角化边法来解决三角形中的角度与边的关系，强调了在几何问题中分析与推理思维的培养.角化边法不仅需要学生掌握基本的几何定理和公式，还要求他们能通过合理的假设与代数化的推理过程将题目中的已知条件转化为新的信息，从而一步步推导出未知量.这一过程培养了学生在面对复杂问题时的系统思维能力和严谨的逻辑推理能力.

首先，题目通过给定条件“cos B+cos C=1”及“b+c=32a”，结合余弦定理，提出了一个典型的几何与代数结合的解题场景.学生需要通过对已知条件的转换进行推理，而不是直接使用公式或解法.

在此推理过程中，角化边法的核心是通过对边的代数操作来简化角度之间的关系，使得原本通过角度来解题的三角形问题转化为边长之间的代数关系.这种转化方法有助于学生从几何的角度看待三角形，进而利用代数方式求解，避免了纯粹的几何图形求解的局限性.

1.2 转换与创新思维

方法2：边化角法.

依题，由b+c=32a，利用正弦定理，可得sin B+sin C=32sin A.

由cos B+cos C=1及A+B+C=π，可得1=－cos（C+A）－cos（B+A）=－（cos Ccos A－sin Csin A）－（cos Bcos A－sin Bsin A）=sin A＼5（sin B+sin C）－cos A（cos B+cos C）=32sin2A－cos A=32（1－cos2A）－cos A.

整理可得3cos2A+2cos A－1=0，解得cos A=13或cos A=－1（舍去）.

所以sin A=1-cos 2A=223.故填答案：223.

采用边化角法来解决三角形中角度与边的关系，主要培养学生的转换与创新思维.在这一解法中，学生通过不同的数学视角和工具（如正弦定理、余弦定理等）对问题进行多角度的转换与创新性处理，从而找到解决问题的路径.此方法强调了数学思维的灵活性和跨领域知识的整合.

在解题过程中，首先，利用给定条件“cos B+cos C=1”和“b+c=32a”，结合正弦定理，转化为“sin B+sin C=32sin A”.这一转换本身即为一种创新思维的体现，因为它突破了直接使用余弦定理的传统方式，通过正弦定理对问题进行了重构，进一步为解题提供了新的切入点.学生需要充分理解正弦定理的应用背景及其在三角形中的重要性，这有助于加强学生对三角形性质的全面理解.

其次，利用“cos B+cos C=1”，结合角度和三角函数的关系，通过对角度之间的余弦和正弦的组合进行代数变换，得到式子“3cos2A+2cos A－1=0”.这一步骤显示了如何通过代数和三角函数的关系进行数学推导，培养了学生的符号操作和公式变形能力.

最后，解得cos A=13，进一步计算出sin A=223.这个结果不仅是数学推导的最终目标，还体现了学生在解题过程中对数学公式的精准掌握与应用能力.

1.3 空间想象与几何构建思维

方法3：坐标法.

依题，不妨设a=4，则b+c=32a=6.结合以上条件并联想到椭圆的定义，如图1所示，在平面直角坐标系中，|BC|=4，B（－2，0），C（2，0），则点A在椭圆x29+y25=1上（不包括x轴上的顶点），其中椭圆的长半轴a′=3，离心率e=23.

设A（x0，y0）（x0≠±3），由椭圆的焦半径公式有|AB|=a′+ex0=3+23x0，|AC|=a′－ex0=3－23x0.

由cos B+cos C=1，可得2+x03+23x0+2-x03-23x0=1，整理并化简可得x20=278.

所以bc=|AC||AB|=9－49x20=152.

所以由余弦定理，可得cos A=b2+c2-a22bc=（b+c）2-2bc-a22bc=13.

所以sin A=1-cos 2A=223.故填答案：223.

使用坐标法解决三角形问题，强调了空间想象与几何构建思维的培养.将几何问题转化为平面直角坐标系中的坐标计算，学生能够通过形象化的几何结构更直观地理解三角形的性质，并利用椭圆的几何特征求解.

首先，通过设定边长a=4，b+c=32a=6等条件，将问题转化为平面坐标系中的几何图形.这一设定帮助学生将问题几何化，极大地锻炼了学生在平面几何中的空间构建能力.其次，椭圆定义和焦半径公式的运用进一步强化了学生的几何构建思维.这种处理方法培养了学生在空间几何中从具体图形到代数式的转换能力.

进一步，学生运用余弦定理求解角度A的正弦值，通过坐标法与代数式的结合，体现了数学中的几何与代数思维的深度融合.

2 基于试题进行思维培养的启示

首先，思维转换的训练对高中数学教学具有重要意义.通过不同的解法路径（如角化边法、边化角法和坐标法），可以培养学生灵活转换思维的能力.这种能力不仅能帮助学生掌握多种解题方法，还能深化他们对数学概念的理解.高中数学教学应鼓励学生多角度思考，培养其在不同数学工具之间灵活切换的能力.教师可以设计更为开放的问题，提供多种解决方案，促使学生深入思考不同方法的优缺点，从而增强他们的创新思维和问题解决能力.

其次，空间想象和几何构建思维的培养是高中数学教学中的关键.本题的坐标法解法，学生不仅需要具备对几何图形的空间感知能力，还要能够将抽象的几何问题转化为代数问题.这一过程要求学生在解题时能够清晰地理解几何图形的结构，并利用代数工具进行分析.教师应在教学中加强几何与代数的结合，鼓励学生通过图形构建和坐标运算等方式直观理解抽象的数学概念.同时，可以更多地引入数学模型和实际问题，帮助学生理解如何将抽象的数学知识应用于实际情境中，提升他们的数学综合素养.