培养数学抽象能力 发展数学核心素养

数学抽象是数学学科中最具特色的一种基本素养，成为《普通高中数学课程标准（2017年版）》中概括、创新性地提出的六大“数学学科核心素养”之一，是在剥离数学问题的一切外在的物理属性后，正确抽象并揭示数学问题本质与研究对象等的一种基本素养，全面贯穿于数学学习以及终生学习过程中的一条思维性强、隐藏性深的链条.

在数学学习以及数学解题过程中，往往通过不同的思维视角，综合问题情境合理抽象出问题的内在属性或规律结构等，进而借助数学语言或数学符号加以表征或书写，为数学问题的深入分析与解决提供条件.

1 应用形象，认识本质规律

数学形象思维是数学抽象思维过程中的一个“垫脚石”，应用形象，结合图象、图形、图表等形象表征，有效引导并帮助学生探究数学本质及规律，进行合理数学抽象，进而认识问题的本质规律.

例1 〔2023年教育部新课标四省（云南、吉林、黑龙江、安徽）高考适应性考试数学试卷（2023年2月）〕三棱锥A-BCD中，AC⊥平面BCD，BD⊥CD.若AB=3，BD=1，则该三棱锥体积的最大值为（" ）.

A.2

B.43

C.1

D.23

分析：根据题意，利用空间中的线线垂直、线面垂直以及面面垂直加以转化与推理，合理数学抽象，选择△ADB为三棱锥体积计算的底面，通过高线CE的构建，结合动点C的轨迹与运动变化规律，通过图形的直观来认识问题的本质，进而确定对应三棱锥体积的最大值.

解析：由AC⊥平面BCD，得AC⊥BD，AC⊥CD.

又因为BD⊥CD，AC∩CD=C，所以BD⊥平面ACD.又BD平面ABD，则平面ABD⊥平面ACD.

过点C作CE⊥AD于点E，如图1所示，则知CE⊥平面ABD.

在Rt△ADB中，由AB=3，BD=1，BD⊥AD，可得AD=AB2-BD2=22.

所以点C在以AD=22为直径的圆上运动（除端点A，D外）.

所以VA-BCD=VC-ABD=13S△ADB·CE=23CE.

显然当C为弧AD的中点，即CE=12AD=2时，VA-BCD取得最大值为23.

故选择答案：D.

点评：结合题设中已知的或通过题设构建出来的图象、图形、图表等形象表征，合理数学抽象，建立起问题本质与对应形象之间的联系，从而更加有效科学地认识问题的本质规律，或数学运算，或逻辑推理，或数形结合等，多思维视角应用，给问题的分析与解决提供更加广阔的空间.

2 借助参数，开展形式运算

数学问题中的数、式、参数等都是数学运算与逻辑推理的基础所在，借助参数，结合数、式等的规律与结构特征，合理进行数学抽象，探究内在隐含的本质，进而开展合理、有效的数学形式运算.

例2 〔2023届江苏省苏北七市（南通、泰州、淮安、宿迁、连云港、镇江、徐州）联考数学试卷（苏北七市一模）〕已知函数f（x）的定义域为R，且f（2x+1）为偶函数，f（x）=f（x+1）-f（x+2），若f（1）=2，则f（18）=（" ）.

A.1

B.2

C.-1

D.-2

分析：根据题目中抽象函数的基本性质加以数学抽象，通过关系式与参数的变形与转化，确定对应函数图象的对称性，进而结合特殊值思维的应用，合理构建特殊的三角函数，结合三角恒等变形来验证其满足对应的抽象关系式，进而再利用所构建的三角函数进行求值处理.

解析：因为f（2x+1）为偶函数，所以f（2x+1）=f（-2x+1），即f（x+1）=f（-x+1），则函数f（x）的图象关于直线x=1对称.

构建函数f（x）=2sinπ3x+π6，其图象关于直线x=1对称，且f（1）=2sinπ3+π6=2.

易得f（x）+f（x+2）=2sinπ3x+π6+2sinπ3x+5π6=2sinπ3xcosπ6+cosπ3xsinπ6+sinπ3xcos5π6+cosπ3xsin5π6=2cosπ3x.

又易知f（x+1）=2sinπ3（x+1）+π6，也即f（x+1）=2sinπ3x+π2=2cosπ3x.

所以f（x+1）=f（x）+f（x+2），即特殊函数f（x）=2sinπ3x+π6符合条件.

于是f（18）=2sin6π+π6=2sinπ6=1.

故选择答案：A.

点评：借助函数的奇偶性并结合抽象函数的关系式，利用特殊值法思维构建与之相吻合的具体函数模型，实现数学抽象与具体数学模型之间的“无缝”联系，通过关系式的恒等变形与性质的应用，化抽象为具体，由具体解抽象，实现抽象与具体之间的巧妙转化与联系，进而达到解决问题的目的.

3 创新定义，挖掘深层内涵

创新意识与创新应用是新时代倡导的一种基本素养，也是学生能力发展与素养养成的基本组成部分.创新定义，成为一个联系已有数学知识与深层未知知识之间的有效通道，是对客观事物的一种抽象概括，深刻理解并进行数学抽象，可以有效挖掘定义背后的深层内涵.

例3 〔2023届山西省吕梁市高三（上）期末数学试卷〕（多选题）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”.将数列1，4进行“美好成长”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4；……；设第n次“美好成长”后得到的数列为1，x1，x2，……，xk，4，并记an=log4（1·x1·x2·……·xk·4），则（" ）.

A.a2=5

B.an+1=3an-1

C.k=2n+1

D.数列{nan}的前n项和为3n+1（2n-1）+3+2n（n+1）8

分析：结合创新定义，借助数学抽象与归纳推理，易得a2及数列{an}的递推公式，通过构造等比数列求出数列{an}的通项公式，再利用错位相减法求出数列{nan}的前n项和，从而判断选项A，B，D的真假；结合数列“美好成长”的过程加以归纳，可得每次插入项的个数构成的数列是一个等比数列，进而通过等比数列的求和公式来分析与判断选项C的真假.

解析：对于选项A，a2=log4（1×4×4×16×4）=log445=5，故选项A正确.

对于选项B，由于an+1=log4[（1·x1·x2·……·xk·4）·（1·x1）·（x1·x2）·……·（xk-1·xk）·（xk·4）]=log4（1·x1·x2·……·xk·4）3×14=3log4（1·x1·x2·……·xk·4）-1=3an-1，故选项B正确.

对于选项C，设每次插入项的个数构成数列{bn}，则b1=1，b2=2，b3=22，……，归纳可知数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列{bn}的前n项和即为k，此时k=1-2n1-2=2n-1，故选项C错误.

对于选项D，由选项B中的分析可得an+1=3an-1，且a1=log4（1×4×4）=2.

而an+1-12=3an-12，又a1-12=32，则知数列an-12是首项为32，公比为3的等比数列.

所以an-12=32×3n-1=12×3n，即an=12×3n+12，则nan=12（n+n·3n）.

设数列{n·3n}的前n项和为Tn，则

Tn=1×31+2×32+……+n×3n，

3Tn=1×32+2×33+……+n×3n+1，

两式对应相减，得-2Tn=31+32+33+……+3n-n×3n+1=3（1-3n）1-3-n×3n+1=3n+1（1-2n）-32.

所以Tn=3n+1（2n-1）+34.

所以数列{nan}的前n项和为12n（n+1）2+Tn=3n+1（2n-1）+3+2n（n+1）8，选项D正确.

故选择答案：ABD.

点评：解决与创新定义相关的数学问题，就是正确分析定义的内涵，合理数学抽象，抓住定义的本质，挖掘创新定义中的深层内涵，合理联系相关的已有知识，进而转化为熟知的问题来分析与处理.基于已有数学知识的创新与应用，是数学知识与数学思维的综合与拓展.

4 归纳方法，拓展思维深度

数学思想与技巧方法是数学学习的灵魂所在，也是学生终生学习的基石.归纳方法，借助掌握的数学思想与技巧方法进行合理归纳或类比，结合数学抽象，有效渗透到所要解决的问题中去，真正拓展学生的数学思维深度.

例4 （2023届江苏省盐城市、南京市高三第一学期期末调研测试数学试卷）某研究性学习小组发现，由双曲线C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的两条渐近线所成的角可求离心率e的大小.联想到反比例函数y=kx（k≠0）的图象也是双曲线，据此可进一步推断双曲线y=5x的离心率为（" ）.

A.2

B.2

C.5

D.5

分析：根据题意，通过一般双曲线的两条渐近线所成的角与对应离心率e之间的关系与求解方法加以类比，合理数学抽象，巧妙归纳并拓展，应用到特殊的双曲线上去，形成良好的数学思维与技巧方法.

解析：由于双曲线C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的两条渐近线的方程为y=±bax，其中一条渐近线y=bax的斜率k=ba，对应的倾斜角为θ，则可知当θ∈0，π4时两条渐近线所成的角为2θ，当θ∈π4，π2时两渐近线的夹角为π-2θ.

而双曲线y=5x的两条渐近线为x轴与y轴，其所成的角2θ=π2，即θ=π4，则知k=ba=tan θ=1，

所以双曲线y=5x的离心率为e=ca=1+b2a2=2.

故选择答案：A.

点评：借助不同数学知识、相似数学知识等之间的思想方法进行推理与归纳，利用数学抽象构建起数学思维之间的联系，由点到线，由线到面，由面到体，不断拓展提升，有效利用数学抽象加以提升与拓展

数学思维深度，形成良好的思维品质，这才是真正有效地提升数学能力与素养.

作为数学核心素养之一的数学抽象素养，是实际数学教学学习必备的一种基本技巧与技能，可以有效帮助学生深化对知识本质的理解，还可以提高学生解决数学实际问题的能力，进而全面合理提升数学抽象能力，不断提高数学应用与数学能力，增强数学思维品质，培养数学核心素养.