以生为本，构建生长课堂：“正弦定理”教学案例

随着课堂教学的不断改革，课堂不再是教师的“一言堂”，而是学生的“学堂”，是求真的殿堂.教师应用各种方式让学生参与到教学活动中，师生、生生交流，共同成长！笔者在教学实践中一直力求激活学生的数学思维，使课堂具有生命活力.本文中以“正弦定理”这节课的教学为例，探讨如何以生为本，构建生长课堂.

1 问题驱动，导入新课

教师：同学们，随着人们生活水平的不断提高，我们会在闲暇之时同家人一起外出旅游.某城市为了发展旅游业，想在河的两岸之间架设一座休闲桥BC，

现测量人员为了测量BC之间的距离，在B点同侧选择了一点A，利用测量工具已测得AB的长为1 000 m，∠A=60°，∠C=45°，如图1所示.

问测量员根据测量结果能否算出休闲桥BC的长？

学生积极思考，寻找解决问题的办法.

学生1：如图2，过点B作AC的垂线，垂足为D.在△ABD中，

求出BD的长为5003，再在△BDC中，由△BDC为等腰直角三角形，可快速求出BC的长为5006.

教学说明：设计一个贴近生活的实例，由此激发学生的学习兴趣，引发学生数学化思考，同时感受生活中的数学，体会数学的实用价值.在求解BC的过程中，学生有能力通过作辅助线构造直角三角形使问题得到解决.学生能够从中获得成就感和喜悦感，树立学好数学的信心.

教师：同学们善于思考，通过自己的努力成功地解决了本问题！在实际生产生活中，我们会遇到很多这样类似的测量问题，如测量距离、高度、角度等，在计算时需要把它们放在三角形中求解.如果每次都要作辅助线，是不是太麻烦了？试想一下，我们能否不作辅助线，就能求出BC的长度呢？这就需要大家今天和老师一起来探索和发现新的解题思路和方法.

教学说明：通过抛出问题，学生可以进一步意识到本节课的数学学习在今后的工作和生活中的必要性，增强学生探究的欲望，激发学习热情.

2 温习旧知，情境激疑

教师：我们先来回顾在三角形中学过了哪些边角之间的关系呢？

学生：①三边关系是任意两边之和大于第三边;②三角关系是A+B+C=180°;

③边角关系是大边对大角，小边对小角.

教师：以上大家所知的三角形边角关系中没有体现边与角确切的数量关系，那三角形中边和角到底有没有确切的数量关系呢？

学生：应该有！

教学说明：给学生创设了一个需要学习、乐于学习的情境，引导学生带着问题进入本节数学课的学习.

3 层层推进，探究定理

探究一：在直角三角形ABC中，边和对应角的正弦有什么数量关系？

教师：我们先从特殊的三角形——直角三角形入手，探索边和对应角的正弦的数量关系.

学生：经思考探究讨论后得到asin A=bsin B=csin C.

探究二：在锐角三角形和钝角三角形中，边和对应角的正弦有什么数量关系？

师：该结论在锐角三角形和钝角三角形中成立吗？请同学们大胆猜想.

生：该结论在锐角三角形和钝角三角形中结论仍然成立！

教师：好，现在用几何画板来验证一下同学们的猜想.（在用几何画板验证猜想时，学生观察、思考、归纳，然后总结得出正弦定理.）

生：几何画板验证了我们的猜想是正确的！数学是严谨的，我们又该如何证明猜想的结论的正确性呢？

师：既然同学们提出了问题，那就让我们一起来探索吧！

师生互动交流，最后共同完成证明过程.（证明过程略.）

教学说明：教师引导学生用“特殊到一般”的研究方法，从学生熟悉的知识内容入手，观察发现，然后猜想数学结论，体验发现定理的过程.用几何画板直观展示三角形的边角变化以及边与对角正弦值的比值关系，让学生直观认识正弦定理，然后用严密的数学推理证明猜想，体现数学思维的严谨性.整个过程发挥了教师的引领作用，推进高效课堂的有效生成.

4 剖析定理，加深理解

教师给出正弦定理：asin A=bsin B=csin C.

师：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等.它的结构具有对称美.大家分析一下利用正弦定理能解决哪些题型？比如，已知三角形的三个角，能求出三边吗？已知三角形的两个角和一边，能求出其他的边和角吗？已知三角形的一个角和两条边，能求出其他的边和角吗？

生：从方程的观点可知，一组等式的四个量中可知三求一.如由asin A=bsin B，若已知a，A，B，则可以求b;若已知a，b，B，则可以求A.因此正弦定理能解决两种题型：（1）已知两角和一角的对边，求其他的边和角；（2）已知两边和一边的对角，求其他的边和角.

教学说明：教师引导学生用方程的思想重点分析定理，让学生熟悉定理的结构特征，感受定理结构的对称美，提高学生的审美情趣，并得出正弦定理所能解决的两种题型.

5 应用定理，学以致用

师：现在让我们用正弦定理再次解决引例.因为ABsin C=BCsin A，所以1 000sin 45°=BCsin 60°，于是可得BC=1 000sin 60°sin 45°=5006.

生：果然方便很多，不用作辅助线就能算出BC的长.

教师：通过刚刚的小试牛刀，我们感受了用正弦定理解决解三角形问题的便捷，现在我们一起来解决以下问题.

例题 在△ABC中，已知c=6，b=23，B=30°，求C和A的大小.

师生分析交流，共同解决问题.

教学说明：通过引例的解决和例题的讲解示范，再次强调正弦定理所能解决的两种基本题型，为以后解决复杂解三角形问题积累经验，提高学生分析问题的能力.

6 巩固练习，提升认知

师：同学们已经熟悉了正弦定理能解决的两种基本题型，接下来请尝试解决下列两个练习题，看看正弦定理还能解决什么题型.

练习1 在△ABC中，已知A=60°，B=75°，c=1 000，解这个三角形.

练习2 （1）在△ABC中，已知b=3，c=1，B=60°，求a和A，C;

（2）在△ABC中，已知a=1，b=3，A=120°，解这个三角形.

教学说明：通过递进式的问题给予学生适当的引导，顺学而教，对学生表现好的地方适时给予肯定，对学生暴露出的问题及时指正，突出学生的主体性、知识的生成性、教师的能动性，着力构建“生长型”课堂.

学生独立思考，完成练习.个别学生上台板书解题过程.

师：（巡视指导，待学生完成后分析讲解）练习1实际上是引例的一个变式，通过刚才的讲解，同学们知道，当已知三角形的两角和一边，且这条边不是其中一角的对边时，也能用正弦定理去解决.因此我们将正弦定理所能解决的第一种题型修改为“已知两角及任一边，求其他边和角”.

教学说明：修正正弦定理所能解决的第一种题型的过程体现了知识的发生发展过程，实现了知识的螺旋上升，让学生充分理解正弦定理所能解决的题型.练习2通过对比让学生注意解题时需检验解的合理性，在做和练中逐步升华对正弦定理所能解决的两种题型的认识.这样的教学设计呈现了课堂跳跃的活力和灵动的生机，使学生对定理的理解和应用体会得更加深刻！

7 归纳小结，理清脉络

师：通过本节课的学习，你学会了什么？

生：这节课我学会了用正弦定理解三角形，掌握了正弦定理所能解决的典型题型.

师：在探索正弦定理的过程中，你有什么体会，学到了研究问题的什么方法？

生：在探索新的结论时，我们要大胆猜想，然后应用数学软件验证自己的猜想，也学会了从特殊到一般研究问题的方法.

师：同学们说得很到位，回顾了整节课的学习过程，体会了其中的数学思想方法，相信每位同学都有自己的收获.课后希望同学们继续巩固课堂知识，认真完成作业，下节课再见！

8 作业布置，分层提高

（1）《数学学习能力指导与训练》中“正弦定理”的练习（略）.

（2）钉钉班级群里学习微课：在钝角三角形中，证明asin A=bsin B=csin C.

（3）上网查找证明正弦定理的其他方法.

（4）思考题：

①在△ABC中，已知A=60°，a=33，b=6，则△ABC有几组解？并作出图形.

②在△ABC中，已知A=60°，a=42，b=6，则△ABC有几组解？并作出图形.

③在△ABC中，已知A=60°，a=8，b=6，则△ABC有几组解？并作出图形.

④在△ABC中，A=60°，b=6.

（ⅰ）当a为何值时，△ABC有一组解？

（ⅱ）当a为何值时，△ABC有两组解？

（ⅲ）当a为何值时，△ABC无解？

教学说明：分层作业设计体现了因材施教.基础练习面向全体学生，及时巩固课堂所学知识.微课学习和网上查找资料是对课堂教学的一个补充和延伸，是为了促进学生进一步了解证明正弦定理的方法，拓宽学生的知识面，加强学生对正弦定理的理解和掌握.而思考题则是为学有余力的学生提供新的思维发展空间，留给学生进一步探究的余地，并适时引出后面将要学习的内容，起到承上启下的作用.

陶行知先生提出：“教育应当培植生活力，使学生向上长.”以“生长型”理念为指引，以“知识增长、学生生长、老师成长”为目标，以上教学设计中教师始终引领学生针对问题交流讨论，变式问题迁移创新.在注重培养学生“发现问题、解决问题”能力的基础上，进一步培养学生回顾反思“生成问题”的能力，在应有积累的基础上进行知识的深化拓展，循序渐进地拓展学生思维深度，提升学生思维质量.让学生不断地在发现问题和解决问题的同时，体验数学知识创造的历程，让学生思维的活水缓缓流进课堂，使课堂不断生长！