一道数学题的“生产性学习”

白蒲中学开展基础教育前瞻性教改实验项目“生产性学习”实践研究，以提升学生学习能力，培养新质生产力人才为目标，将学生主动建构的学习过程深化为知识生产的过程，即对知识进行认识感悟、整合重构和发现创新.促进学生主动学、探究学、合作学、深度学，自我调节学，增进学习的自主性、生成性、生长性，从而学会学习，以学习产生更多的学习，逐步累积学生适应终身发展的价值观念、必备品质和关键能力.

学习一般都是从学习者熟悉的知识开始，“生产性学习”方式下的数学课堂学习也不例外，通过对熟悉知识或熟悉知识的学习感受体验，转化迁移，探索未知，从而完成对新知的学习，形成更加完整深入的认知.本文由笔者以高考数学压轴题型之一的函数零点问题的探究为例，简述“生产性学习”方式下以学科思维能力培养为主线的探究学习课.

“生产性学习”方式下的数学课堂坚持“学科育人”，培养学生独立思考、勇于探究的学科精神和严谨缜密、开拓创新的思维能力.而培养数学思维能力的关键在于思维的逻辑性（深刻性）、灵活性、批判性、创造性等思维品质的培养.为学生构建可迁移的有组织的学习经验，促进学生在真实情境中的深度学习，培养和发挥出学习的主动性和创造性，即面对新问题时，学生能灵活重组知识经验，运用数学思想方法，实现高通路迁移.这是“生产性学习”的关键.要求学习者在平时的学习中“向内深挖”，“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”，培养学生克服困难的意志品质，更主动自觉地投入到数学学习中去.“也只有让学生积极参与知识与智慧生产的时候，才会对学习产生刻骨铭心的体验，从而达到最佳的学习效果”.

1 师生学习活动过程

1.1 问题呈现

问题 已知函数f（x）=ln x+2x-2，g（x）=xln x-ax2-x+1.

（1）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）内有且仅有一个零点；

（2）试讨论a≤0时，函数g（x）的零点个数.

本题以对数函数、二次函数和一次函数为载体，主要考查函数零点的个数问题，涉及函数、导数等知识的综合应用.能完美地体现转化与化归、数形结合、分类讨论、函数与方程的数学思想；突出构造法、消元法、放缩法、估算法、赋值取点等数学方法.既有数学直观想象，又有数学抽象思维；同时，通过更多的变化培养学生的学科思维能力.命题构思巧妙，题目新颖，平凡中见真奇，朴实里显力量，探索性极强！

1.2 问题探究

“生产性学习”方式下的课堂，要求给学生充分的自主时间和自我发挥的空间，个人独立思考、尝试解决是基础.首先自主学习，从计算起步；然后合作探究，完善拓展；最后整体把握，体验感悟.

生1：展示讲解第（1）问.

（1）证明：f′（x）=1x-2x2=x-2x2.

由f′（x）=x-2x2=0，得x=2.

所以f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增.

因为f（1）=0，f（2）=ln 2-1lt;0，f（e2）=2+2e2-2gt;0，

所以结合函数f（x）的单调性，可知函数f（x）在区间（1，+∞）内有且仅有一个零点.

生2：补充函数f（x）在（0，2）上单调递减，同时画出草图更便于理解.

师：同学们觉得第（1）问的解答对第（2）问起到什么作用？

生3：通常解答题的第（1）问可为后面的解答提供基础数据或基础结论，或是后面解答的一种具体而特殊的情况，或为后面解答提供类似的数学思想方法.

师：讲得特别好！第（1）问通常起到基础性铺垫作用，为后续作答提供合情推理的依据和数学通性通法实践探索的基础.下面大家思考并完成第（2）问.

学生深度研究，小组交流完善，并讲解展示.

生4：我们小组从目标函数出发，给出解题分析过程.

分析：求导，得g′（x）=ln x-2ax（xgt;0）.

令m（x）=ln x-2ax，则m′（x）=1x-2a.

（ⅰ）当alt;0时，m′（x）gt;0，则m（x）=ln x-2ax在（0，+∞）上单调递增，

即g′（x）在（0，+∞）上单调递增.

那么，函数m（x）=ln x-2ax在（0，+∞）上是否有零点呢？当x→0时，ln x→-∞，-2ax→0，于是m（x）→-∞；而当x→+∞时，ln x→+∞，-2ax→+∞，于是m（x）→+∞.通过变化趋势定性分析，得出函数m（x）=ln x-2ax有一个零点.

根据以上分析，结合函数m（x）单调递增，要使得m（x）=ln x-2axlt;0，自变量x必须越来越接近0，又考虑到函数m（x）解析式中含有对数，则可以依次取指数型如ea，e2a，e3a等试试.因为alt;0，所以0lt;e2alt;1，m（e2a）=2a（1-e2a）lt;0.

要使得m（x）=ln x-2axgt;0，又因为-2axgt;0，所以只要使得ln xgt;0即可，于是自变量xgt;1，便于说明可以取e，e2，e3等.有m（e）=1-2aegt;0.

师：同学们进行了深入的思考和大量的运算.虽经历曲折，百转千回却获得成功，收获满满.大家充实而兴奋，探究数学问题的精神一直激励着我们自己！

这时小组内另一位同学给出补充.

生5：以上取点采用了“对取指、指取对”的策略，还可以采取局部放缩的方法取点.

根据以上分析，结合函数m（x）单调递增，要使得m（x）=ln x-2axlt;0，自变量x必须属于（0，1）且越来越接近于0，可将-2ax放大为-2a，将不可解不等式ln x-2axlt;0转化为可解不等式ln x-2a≤0，进而求出x≤e2a，可取x=e2a.

同样，要使得m（x）=ln x-2axgt;0，又因为-2axgt;0，只要使得ln x≥0即可，将不可解不等式ln x-2axgt;0中正项-2axgt;0去掉转化为可解不等式ln x≥0，进而求出x≥e，可取x=e.

师：数学问题的解决就是转化、转化、再转化，从不可能到可能，在意料之外，又在情理之中，我们学习数学会变得激动，惊奇之情喜形于色，溢于言表.这两种取点策略值得我们学习借鉴，请同学们继续展示规范的解答过程.

生4：我们小组给出如下规范解答过程.

解：（i）因为alt;0，所以0lt;e2alt;1，则g′（e2a）=ln e2a-2ae2a=2a（1-e2a）lt;0，g′（e）=1-2aegt;0.

又g′（x）=ln x-2ax在（0，+∞）上单调递增并且连续不间断，

所以，函数g′（x）=ln x-2ax在（0，+∞）上有且只有一个零点，不妨设为t，其中t∈（0，1）.

由表1可知，g（x）min=g（t）=tln t-at2-t+1，因为ln t-2at=0，

所以

g（x）min=t2＼5lnt-t+1=t2ln t-2+2t.

由（1）可知ln t-2+2tgt;0（在这里利用了第一问的研究结论），于是g（x）min=t2ln t-2+2tgt;0，所以函数g（x）没有零点.

师：刚才这个小组的同学分析了alt;0时目标函数的零点情况.下面其他小组能不能主动分享一下a=0时的解法，并对本题进行小结.

生6：我们小组来讲讲a=0时的情况.

（ⅱ）当a=0时，由g′（x）=0，得x=1.

由表2可知，g（x）min=g（1）=0，所以函数g（x）有一个零点.

本题我们小组觉得最难的是取点，前面我们采用了“对取指、指取对”的策略和局部放缩的方法取点.放缩常用到不等式ex≥x+1，ln x≤x-1，ln x+1xgt;1，ln xlt;x（xgt;0）.其实，平时我们还取确定点、特殊点、临界点、极值点的倍数或极值点的平方、立方等来尝试解决问题.总之，取点绝不是一蹴而就的，往往需要观察尝试、计算探究和体验归纳.

师：同学们真了不起！以上解决问题的方法可以说是一项系统工程，难度很大，需要大家有很强的的逻辑推理能力和建模能力.通过“抽象”产生数学；通过“推理”发展数学；通过“模型”应用数学.形成重论据、有条理、合乎逻辑的理性思维品质，积累数学实践经验，增强创新意识和科学精神.

生7：除了这种正面讨论的方法，我还有参变分离的解法（学生迫不及待地抢答）.

可以通过半分离，再利用数形结合，根据直线与曲线的位置关系快速求解函数g（x）的零点个数.

解：（2）令g（x）=0，即xln x-ax2-x+1=0，则有ax=ln x-1+1x.

令φ（x）=ln x-1+1x，则函数g（x）的零点个数等价于y=ax与y=φ（x）图象的交点个数.

由φ′（x）=1x-1x2=0，得x=1.

所以φ（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，则φ（x）min=φ（1）=0.

当a=0时，y=ax图象与φ（x）图象有一个交点.

当alt;0时，y=ax图象经过二、四象限与φ（x）图象无交点.

同学们热烈鼓掌，对简洁有效的方法表示赞赏.

师：这种快速的解答方法是同学们充分经历观察、思考、表达，在情境中把握了事物的本质、事物之间的关联、事物发展的脉络，以简驭繁，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题.虽不及前面的解答缜密严谨，但不必求全责备，我们在感受数学魅力的同时，也要感觉到自己的进步，特别是在思考问题的方式方法上，就像这种解法化陌生为熟悉、化繁杂为简单，配以图形，数形结合更快、更好地解决问题，非常值得称赞.

1.3 问题拓展

师：带着刚刚同学们总结出的学科思维方式和数学思想方法，我们来变式进行更深入的探究.我们可以设置第三问“（3）假设存在常数λgt;1，且满足f（λ）=0，试讨论agt;0时，函数g（x）的零点个数”.

给学生足够的探索分析的时间.观察发现、归纳类比、数形结合、抽象概括、运算求解、数据处理、演绎证明等一系列思维过程都需要学生通过自己独立的活动来亲身经历.

同学们静静地思考，认真地计算后，争先恐后到讲台前讲解第三问（效果显著）.

生8：（3）令g（x）=0，即xln x-ax2-x+1=0，则有ax=ln x-1+1x.

令φ（x）=ln x-1+1x，则函数g（x）的零点个数等价于y=ax与y=φ（x）图象的交点个数.

由φ′（x）=1x-1x2=0，得x=1.

所以φ（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，则φ（x）min=φ（1）=0.

当agt;0时，y=ax的图象经过第一、三象限，与φ（x）图象至少有一个交点.当y=ax与函数φ（x）的图象相切时，设切点横坐标为x0，则可以得到a=φ′（x0）=1x0-1x20，ax0=ln x0-1+1x0，

可得ln x0+2x0-2=0，即f（x0）=0，从而x0=λ，此时a=λ-1λ2gt;0.

所以，当a=λ-1λ2时，y=ax的图象与φ（x）的图象有两个交点；

当0lt;alt;λ-1λ2时，y=ax的图象与φ（x）的图象有三个交点；

当agt;λ-1λ2时，y=ax的图象与φ（x）的图象只有一个交点.

若把（3）中的“a＞0”去掉，则结论为：

当alt;0时，函数g（x）没有零点；当0lt;alt;λ-1λ2时，函数g（x）有三个零点；当a=λ-1λ2时，函数g（x）有两个零点；当agt;λ-1λ2或a=0时，函数g（x）有一个零点.

师：同学们探究数学问题的氛围热烈，兴趣盎然，思维活跃，惊奇不断，已深深地被数学这一充满智慧的学科和学科思维所吸引、折服.

2 总结与点评

本题从学生自主学习、计算起步，一步一步摸索向前，解题思路逐渐变宽；合作探究，完善拓展，智慧的火花在相互碰撞中闪烁光芒；整体把握，体验感悟，在经历体验、理解内化、重组优化、主动建构、归纳总结后，问题解决自然能直击本质.其实函数与方程中的零点问题渗透了丰富的数学思想方法，解题时需要具有敏锐的观察能力和变更问题的策略，把复杂的问题简单化，再运用等价转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分离参数方法、分类讨论思想等解决问题.

平时我们的学习要立足课本，重视基础知识的掌握，熟练运用通解通法，并关注数学思维的过程与方式，培养自己的思维品质.在研究数学问题时，不管外在的题型、题目背景如何变化，一定要学会透过现象直击本质，同时要树立“将探究进行到底”的决心.这是数学学科所追求的学科思维和理性精神，这才是“永恒”的东西.

3 反思与感悟

知识点是肉，学科思维能力是骨，创造力和想象力是魂，而热情与信念则是保证学生坚持学习下去的动力.“生产性学习”方式下的课堂坚持给予学生充分的自主时间，给学生留有自我发挥的余地，大胆让学生自主解决问题，更多地让学生在学习活动中亲身体验对数学的感受、领悟和欣赏，包括经历挫折、获得成功的体验等，从而激发学生学习数学的兴趣，并直接转变为数学学习的内驱力.

以生为本是“生产性学习”实践的出发点和落脚点.要以立足学生的未来发展为核心，让学生学会学习，培养学生的思维品质和意志品格.自主性、生成性、生长性是“生产性学习”的三个基础特性.要关注学习的自主性：让学生基于已有知识，主动获取新知.要关注学习的生成性：建立知识结构，经历过程体验，生成学科思维.要关注学习的生长性：学会整合重构，应用拓展，提炼体悟，迁移创新.

在课堂学习过程中，教师要充分保障学生的话语权和选择权，协同学生设定学习目标，围绕学习项目主题，聚焦学科核心素养，寻找并提炼框架驱动性问题.在驱动性问题的吸引下，学生主动学、合作学、探究学、验证学，教师则在后台对学生的学习进行帮助、指导，鼓励学生主动总结与评价修正，并大胆展示自己的学习成果.这样的课堂呼应高中新课标的理念，融知识、能力、价值于一体，融自主、合作、探究、展示于一体，融学、用于一体，以用促学，在用中学，让学习自然而然发生.这种基于探究性、体验性的学习，让学生学习变被动为主动，提高了学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，提升了学生协作沟通和自我规划学习的素养品质.

总之，“生产性学习”能激活学生的思维，尊重学生的主体地位，真正让学生在学习中体验到成长的幸福.“生产性学习”方式下的数学课堂是师生共同经历的一段智慧之旅，课堂学习成为师生体现和实现生命价值的一种生活方式.