依纲据本 不失创新

很高兴应新疆昌吉回族自治州第一中学李梅老师等7个州级工作室主持人邀请，在昌吉州参加多场教研活动.其中一场活动是在昌吉州下辖的阜康市一中举行，一个环节是听王丽老师的“直线与平面垂直”第1课时的公开课.王老师任教于新疆昌吉州一中，而上课的班级是昌吉州下辖的县级市阜康市一中，二者生源有较大差距.王老师上出了一节“依纲据本，不失创新”的特色课.以下谈学习体会，不当之处，欢迎同行批评指正！

课堂教学要依纲据本，但不是把教材内容照搬到课堂，那样师生都会失去活力，教学变得索然无味.王丽老师的“直线与平面垂直”这节课为我们做出了尊重学生、尊重教材又不失创新的示范.

1 观察现象，引入定义

立体几何中的很多定义、定理都可以通过对教室（长方体）等身边的现象的观察抽象而来.本课中直线与平面垂直的定义和判定定理也是如此.观察旗杆与其在地面上的影子始终是垂直的，由于平面内任意一条直线都可以平移到旗杆和地面的交点，由此可知旗杆与地面内所有直线都垂直.王老师又让学生直立和左右倾斜，发现倾斜时不能保证身体和地面内每一条直线垂直，经过正反两方面的归纳总结，直线与平面垂直的定义呼之欲出，最后抽象出直线与平面垂直的定义.

旗杆的例子大家常用，但是身体倾斜时不是与地面垂直（或一棵倾斜的树不是与地面内所有直线垂直）的例子不常用.这实际上不仅落实了抽象素养，同时学生再现历史上数学家发现线面垂直的过程，感到很自豪.

2 动手实验，发现定理

根据定义判断线面垂直是困难的，因此需要寻找直线与平面垂直的判定定理.王老师放手让学生讨论，发现一条直线垂直于平面内的无数条直线（平行线）也不能保证线面垂直，通过折纸最后发现一条直线和一个平面内两条相交直线垂直即可保证线面垂直.这一过程看似简单，但对学生来说很重要，因为学生经历了定理的发现过程，印象深刻，对后续学习有利.

当然，定理的发现还有其他途径，比如墙角线和墙壁与地面交线垂直，在门移动过程中竖直的边沿线与底边也垂直，通过这些抬头不见低头见的例子可以发现直线与平面垂直的判定定理，相比折纸可能还会省点的时间，不必严格按照教材的做法.

3 降维转化，证明定理

直线与平面垂直判定定理的证明是本节课的最大亮点：解放思想、脚踏实地！所谓解放思想是指把线面垂直放到立体几何的大背景下整体考虑.因为传统的构造性证明学生难以想到，且讲授耗时过长（这也许是教材在这里不证明的原因）.所谓脚踏实地就是要在本课中证明定理就要另辟蹊径.由于直线与平面垂直的判定定理可以转化为线线垂直，所以考虑向量的证明方法就显得很自然，但此时学生还没有学习空间向量怎么证明？转化，把空间问题转化为平面问题！于是就有了王老师课堂中引导学生的精彩证明.

证明的关键是把异面直线l与g的垂直转化为共面垂直，然后把直线g，m，n向量化.由于这三条线共面，利用平面向量基本定理得到g=xm+yn，于是l·g=xl·m+yl·n.因为l与m，n两两垂直且共面，所以l·m=0，l·n=0，于是l·g=0.

这种转化体现了思维的灵活性和深刻性，思维强度大，是深度学习.

现行教材中由于各种原因对有些定理没有证明，但在教学中可以根据所教学生情况或教材内容适当安排顺序灵活把握.比如，直线与平面垂直的判定定理直接用定义就不便证明，而用向量的基底法即可轻松证明.再比如，正弦、余弦函数的单调性都是从图象中发现的，其实，如果把函数图象安排在和差化积之后就可以给出简捷的证明，虽然上海现行教材是这样安排顺序的，但没有给出证明.对于普通中学可以不证明，但对于重点中学还是应该指导学生证明为好.因为这不仅促使学生学到了一个公式的证明方法，更重要的是鼓励学生敢于创新——书上没有的方法我也能想到！

4 数学文化，教书育人

数学文化的作用在于帮助学生理解所学知识，同时感觉数学“有意思”，提高学习数学的兴趣.本课中王老师通过一首藏头诗开明宗义揭示课题“直线与平面垂直”，上课伊始就抓住学生的注意力，在后续教学中通过学生活动再现法国数学家克莱罗在《几何基础》中给出的直线与平面垂直的直观解释，以及古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中给出的直线与平面垂直的定义，让学生感到他们与数学家当年的想法一致，培养学生自信心.

定理证明结束后的一首诗中的“向量点积搭鹊桥，几何代数成双好”，既点中了直线与平面垂直判定定理证明的本质，又指导学生欣赏数学美，使前一段紧张的学习气氛变得轻松，又为下一阶段的继续学习鼓舞了士气.

如果在学生发现直线垂直于平面内两条相交直线即垂直于这个平面，而垂直于平面内无数条直线也不一定垂直这个平面，老师说“这是一夫当关，万夫莫开！”，更能加深学生印象.

5 不断总结，再上台阶

在引入直线与平面垂直的定义和发现判定定理的过程中，可能是王老师对学生不熟悉的原因，为了发挥学生的主动性和调节气氛使师生相互适应，用时有点多.如引入定义利用旗杆的例子就可以了，上课开始的三个图可以不用.再如定理的发现，利用墙角线或门在转动过程都能使门边沿与地面保持垂直关系的例子就可以了，不一定要学生去折纸探究，因为这种探究思维价值不大，教师演示一下学生都能理解，这样可为后面的教学节省时间.

环节三中“过一点有且仅有一条直线和已知平面垂直”出现得有点早，虽然教材中紧跟定义出现，但教材中包括定理都没有证明，这样提出是可以的.其实教材中还有另一个类似问题“过一点有且仅有一个平面与一条直线垂直”.因此建议在定义之后直接进入判定定理的发现和证明环节，因为这符合人的认知规律——引入定义一般就会想到由定义可以得到相关性质，从而使问题获得简单解决方法.把这两个唯一性的证明放在例1后面（第二个唯一性的证明可以留给学生当作业）比较合适，因为要使用反证法，有点难.这里留时间给学生先动手尝试，做不出来再与其他同学讨论，这样活动的价值比前面折纸的价值大，而老师边讲思路边放PPT的做法学生实际上没有掌握，只是了解思路而已.

类比思想强调得不够.立体几何中有些结论可由平面几何类比而来.比如，例1可以由“平面内垂直于同一条直线的两条直线平行”类比而来，同样前面提到的另一个唯一性可由“平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直”类比而来.这样在定理的教学结束后运用类比的思想让学生提出问题（例1等），比直接证明书中的例题更能激发学生的热情，因为问题是学生自己“发现”的.类比有时侯是发现新问题的一条途径，立体几何是培养类比思维的沃土.

小结虽然有知识和思想层面的内容，但还没有上升到育人层面.本课的育人点主要有归纳抽象、类比思想以及化空间问题为平面问题的转化思想.其中归纳抽象是指通过具体实例抽象出直线与平面垂直的定义和判定定理.类比思想是指类比平面几何结论提出新问题，从思维层面上看这是升维，而在解决问题过程中又把空间问题转化为平面问题——降维.这一升一降正是辩证法的观点指导数学教学的体现.

像直线与平面垂直这样的经典内容，要上出新意其实很难，但是办法总比困难多，王老师做到了！