浅谈极限的计算

摘"要：“微积分”是高等院校中针对绝大多数专业所开设的一门公共基础课程，极限是学生开始进入“微积分”课程学习时最先接触到的问题，也是“微积分”课程学习中的难点及重点之一。事实上，极限本身是在探求某些实际问题的精确求解过程中产生的，如求圆的面积、周长等。极限这一概念贯穿整个“微积分”课程始终，可见其重要性。对极限的计算是学习“微积分”课程过程中必须熟练掌握的技能。本文根据自身教学过程，针对常见的极限计算问题进行探讨。

关键词：极限；连续；等价无穷小

中图分类号：G642；O134

“微积分”课程的学习离不开极限问题，极限的计算是学习过程中学生必须要熟练掌握的基本技能，这对“微积分”课程的学习至关重要。本文根据教学过程中关于一元函数微积分学中遇到的一些计算问题进行探讨。

一、利用四则运算［1］计算极限

设f（x）在x0（也可以是∞）的某去心邻域中有定义，且limx→x0f（x）=A，limx→x0g（x）=B，则

（1）"limx→x0f（x）±g（x）=A±B，limx→x0f（x）g（x）=AB；

（2）若B≠0，则limx→x0f（x）g（x）=AB。

数列情形类似，而且针对有限个函数情形结论（1）都成立，应注意前提条件是每个函数（或数列）的极限都要存在。如：

例1：limx→4（"x+5x-2）=limx→4"x+5limx→4x-limx→42=2+20-2=20。

例2：limx→9x2+1x-8=limx→9（x2+1）limx→9（x-8）=limx→9x2+1limx→9x-8=82。

注意：这里要特别强调的是有限个函数或数列的和求极限问题，如果是无穷多个函数之和，该结论不一定成立，如：limn→∞∑nk=11n=1，但1=limn→∞∑nk=11n≠∑nk=1limn→∞1n=0。

二、利用重要极限和夹挤定理求极限

“微积分”课程中的两个重要极限式［2］：

（1）limx→0sinxx=1；

（2）limn→∞1+1nn=e，limx→∞1+1xx=limx→01+x1x=e。

在实际问题中经常用到更一般的形式：

limα（x）→0sinα（x）α（x）=1；limα（x）→01+α（x）1α（x）=e。

例1：计算limx→1sinx-1x3-1。

解：limx→1sinx-1x3-1=limx→1sinx-1x-1·1x2+x+1=13

例2：计算limx→∞2x-12x+1x。

解：该问题属于1∞型，可以采用“配e法”，即：

limx→∞2x-12x+1x=limx→∞1+-22x+1-2x+12-22x+1x

=elimx→∞-2x2x+1=e-1。

注意：如果不是1∞型，就不能采用“配e法”，只能通过连续性以及洛必达法则来解决。

也有些极限计算可能会借助和它“比较相近”的函数的极限来进行计算，这就需要用到夹挤（夹逼）定理：

设函数f（x）、g（x）、h（x）都在x0（可以是∞）的某去心邻域中有定义，满足：

（1）g（x）≤f（x）≤h（x）；

（2）limx→x0g（x）=limx→x0h（x）=A。

则limx→x0f（x）=A。

例1：计算limx→∞n5n+6n+7n.

解：因为7≤n5n+6n+7n≤n3×7n=7n3，又limx→∞7n3=7，所以limx→∞n5n+6n+7n=7。

例2：利用夹挤定理计算limx→0x1x，其中x是取整函数，即不超过x的最大整数。

解：用（x）表示x的小数部分，0≤（x）＜1，对x∈R，x=x-（x），1x-1＜1x≤1x，当x＞0时，1-x＜x1x≤1，limx→0+1-x=1，limx→0+x1x=1；当x＜0时，1≤x1x＜1-x，limx→0-1-x=1，limx→0-x1x=1，综上知，limx→0x1x=1。

例3：利用夹挤定理计算limx→∞2xcosx-1xsinx。

解：因为0≤2xcosx-1xsinx≤3x，又limx→∞3x=0，所以limx→∞2xcosx-1xsinx=0，进而limx→∞2xcosx-1xsinx=0。

注意：这类问题对不等式的使用非常关键，“头”和“尾”的函数必须离得很近，否则无法确定中间的函数的极限。比如例3中不等式若改为5≤n5n+6n+7n≤n3×7n=7n3，不等式本身是正确的，但它不能为该问题的解决提供有用信息，就是因为limx→∞7n3=7≠5。

三、利用等价无穷小替换原理计算极限

在极限的计算过程中，经常会用到等价无穷小替换［23］，那样会使问题变得更容易解决。

设当x→x0时，α～α′，β～β′，若limx→x0β′α′存在或为∞，则limx→x0βα=limx→x0β′α′。

从βα=α′α·β′α′·ββ′中可以发现替换只能用在式中出现的因式，而不能用在式中出现加减的项。

用替换原理时，首先要知道一些常用的等价无穷小：

当x→0时，有

（1）x～sinx～arcsinx～tanx～arctanx～ex-1～ln（1+x）；

（2）1-cosx～x22；

（3）（1+x）α-1～αx；

（4）sinx-tanx～x32。

例1：计算limx→∞cos1x-1e1x-1）ln3+xx。

解：因为当x→∞时，cos1x-1～-12x2，e1x-1～1x，ln3+xx～3x，所以limx→∞cos1x-1e1x-1）ln3+xx=limx→∞-12x21x·3x=-16。

例2：计算limx→0sinx-tanxln（1+3x2）（31+x-1）。

解：因为当x→0时，sinx-tanx～x32，ln1+3x2～3x2，31+x-1～x3，所以

limx→0sinx-tanxln（1+3x2）（31+x-1）=limx→0x323x2·x3=12。

注意：例2中不能将极限的计算错误地写成：

limx→0sinx-tanxln（1+3x2）（31+x-1）=limx→0x-x3x2·x3=0，

因为sinx与tanx之间的运算是减法。

四、利用函数的连续性和洛必达法则求极限

设f（x）、g（x）在x0（也可以是∞）的某去心邻域中可导，满足：

（1）limx→x0f（x）=limx→x0g（x）=0（或同为∞）；

（2）当x在x0的某去心邻域中变化时，g′（x）≠0；

（3）limx→x0f′（x）g′（x）存在或为∞。

则limx→x0f（x）g（x）=limx→x0f′（x）g′（x）。

这一结果主要是用于解决未定式00、∞∞的极限计算问题。

例1：求limx→0tanx-xxarcsinxln（1+x）的值。

解：limx→0tanx-xxarcsinxln1+x=limx→0tanx-xx3

=limx→0sec2x-13x2limx→0tan2x3x2

=13。

注：这里先用了等价无穷小替换，然后再利用洛必达法则求极限。不能直接将分母和分子直接求导，因为这样会将问题变得更加复杂。这也说明了在选择方法上一定要灵活，而非简单地套用公式。

例2：求limx→0+xsinx。

解：limx→0+xsinx=limx→0+esinxlnx=elimx→0+lnxcscx=elimx→0+1x-cscxcotx=elimx→0+-tanxsinxx=e0=1。

注意：不要忽略条件（3），否则就会得到错误的结论。如：limx→∞2x′+（cosx）′x′=limx→∞2-sinx1不存在，但limx→∞2x+cosxx=limx→∞2+1x·cosx=2。

五、利用Taylor公式计算极限

如果知道所求计算问题中一些相关函数的Taylor公式，也可以很方便地求出极限的结果。所以应先知道一些常见函数的Taylor公式［23］：

（1）ex=1+x+x22！+x33！+……+xnn！+o（xn）；

（2）sinx=x-x33！+x55！+……+（-1）n-1x2n-1（2n-1）！+o（x2n-1）；

（3）cosx=1-x22！+x44！+……+（-1）nx2n（2n）！+o（x2n）；

（4）tanx=x-x33+x55+……+（-1）n-1x2n-12n-1+o（x2n-1）；

（5）（1+xα=1+αx+αα-12！x2+……+αα-1α-2…α-n+1n！xn+o（xn）。

例1：计算limx→0ex-sinx-x22-1（"1+x2-1）ln（1+x）。

解：limx→0ex-sinx-x22-1（"1+x2-1）ln（1+x）

=limx→01+x+x22！+x33！-x+x33！-x22-1+o（x3）x1+x22-1+ox2

=limx→0x33！+x33！+o（x3）x1+x22-1+ox2=23。

注：利用Taylor公式计算极限时，一定要注意阶数的确定。上例中观察到分母是3阶的，所以分子的Taylor公式展开到3阶即可。

例2：利用Taylor公式计算limx→03x3+x2-"x2+3x的值。

解：limx→+∞3x3+x2-"x2+3x

=limx→+∞x1+1x13-x1+3x12

=limx→+∞x1+13x+1313-12！1x2+o1x2

-x1+32x+1212-12！9x2+o1x2

=limx→+∞x13x-32x+o1x2=-76。

利用这种方法求极限必须对函数的Taylor公式非常熟悉，才能解决问题。

六、利用定积分求极限

设f（x）是［a，b］上的有界函数，利用∫baf（x）dx=limλ→0∑kf（ξk）Δxk找到相应的被积函数f（x）和积分区间［a，b］，将极限问题转化成对应的定积分式子，这也是该方法的核心。

例1：计算limn→∞1n+1+1n+2+1n+3+……+1n+n。

分析：因为1n+1+1n+2+1n+3+……+1n+n=∑nk=111+kn·1n，Δxk=1n，ξk=kn∈Δxk，fξk=11+ξk，Δxk=1n，区间为0，1，将区间n等分，每个分点恰为kn，故取ξk=kn∈Δxk，f（ξk）=11+ξk，故f（x）=11+x。

注意：也可以考虑积分区间为1，2或任何一个长度为1的区间，相应的分点和函数做改变即可。

解：limn→∞11+1n+11+2n+11+3n+……+11+nn1n=∫1011+xdx=ln2，或∫211xdx=ln2或∫321x-1dx=ln2等都可以。

例2：计算limn→∞n1n2+1+1n2+22+1n2+32+……+1n2+n2。解：limn→∞n1n2+1+1n2+22+1n2+32+……+1n2+n2

=limn→∞11+1n2+11+22n2+……+11+n2n21n

=∫1011+x2dx=arctan1=π4。

结语

极限的计算是灵活多样的，在同一个问题中，可能会有多个方法交叉使用，比如例子中的等价无穷小替换原理、洛必达法则乃至函数的连续性以及重要极限式的交替使用，也可以利用导数的定义求极限，如limx→asinx-sinax-a=cosa，所以在实际解决问题时一定要灵活应对，根据具体情况选择恰当的方法。

参考文献：

［1］曹广福，叶润芬，赵红星.高等数学（一）［M］.北京：高等教育出版社，2009：121126.

［2］同济大学数学系.高等数学［M］.北京：高等教育出版社，2014：110116，141.

［3］李忠，周建莹.高等数学［M］.北京：北京大学出版社，2009：188195.

作者简介：路群（1977—"），女，汉族，贵州平坝人，博士研究生，副教授，研究方向为泛函分析。