探究有关“隙积术”的高中数学文化题

【摘要】北宋的数学家沈括博学多才、善于观察.他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把它们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物，可以用公式S=n［（2b+d）a+（2d+b）c］6+n6（c－a）求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”.以“隙积术”为情境的数学文化题，大多考查数列的通项和前n项和，涉及数列模型，解题时应认真审题，从问题背景中提取相关信息并分析归纳，然后构造恰当的数列模型，再利用数列的知识解答，最后对实际问题作出解释，必要时进行检验.

【关键词】数学文化；长方棱台形堆垛；高中数学

1引言

“隙积术”是中华传统文化中很好的素材，将数学文化与高中数学知识有机结合，有效考查学生的阅读理解能力、抽象概括能力、转化与化归能力，既体现了对数学应用性的考查，也体现了我国数学文化的源远流长.

2“隙积术”与高中数学文化的结合

“隙积术”作为中国古代数学的重要成就之一，其背后蕴含的数学原理与高中数学中的数列、组合数等概念紧密相连.通过引入“隙积术”的学习，学生可以更深入地理解数列的通项公式、前n项和公式，以及等差数列、高阶等差数列的求和方法.这种结合不仅有助于巩固学生的数学基础知识，还能激发他们对数学的兴趣和探索欲.“隙积术”实际上是一种数学建模的过程.沈括通过对实际问题的观察和思考，提炼出数学模型（即“隙积术”公式），用以解决堆垛物体的计数问题.这种从实际问题出发，抽象出数学模型并求解的过程，正是高中数学教学中强调的数学建模能力.通过“隙积术”的学习，学生可以学会如何将实际问题转化为数学问题，并运用数学知识和方法进行求解.该公式的提出和应用，展现了沈括卓越的数学思维方式和创新精神.他能够从看似简单的堆垛问题中，发现并提出新的数学方法和公式，这种思维方式对于培养学生的数学素养和创新能力具有重要意义.通过“隙积术”的学习，学生可学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考问题，从而拓展他们的数学视野和思维方式.

3解题策略与技巧

3.1审题与信息提取

在解题过程中，审题与信息提取是至关重要的一步，尤其是对于涉及“隙积术”这类具有实际背景的数学问题.首先，要仔细阅读题目，理解题目的背景和情境.对于“隙积术”问题，需要明确堆积物的形状、层数、上下底的尺寸等信息.这些信息是构建数学模型和进行后续计算的基础.其次，准确提取题目中关键数据.这些数据可能包括堆积物的具体尺寸（如长、宽、高）、层数、物体的数量等.在提取数据时，要注意数据的单位和精度，确保计算的准确性.在提取信息的过程中，可以借助图表、示意图等辅助工具理解题目.这些工具可以直观地展示堆积物的形状和层数，有助于更准确地提取信息.最后，对所提取的信息进行整理和归纳.将相关的信息按照一定的顺序和逻辑进行排列，形成清晰的思路.这样有助于在后续的计算和推理过程中快速准确地找到所需的信息.

3.2数列知识的运用

在运用“隙积术”解题时，数列知识的运用是关键.首先，需要识别题目中的数列类型.在“隙积术”问题中，通常会涉及等差数列或高阶等差数列.等差数列是指每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，而高阶等差数列则是指数列的相邻两项之差构成等差数列.识别出数列类型后，就可以选择相应的数列公式进行计算.其次，熟练掌握数列通项公式和前n项和公式.通项公式用于求出数列中任意一项的值，而前n项和公式则用于求出数列中前n项的和.在“隙积术”问题中，通常需要利用这些公式来计算堆积物中每一层的物体数量或总体数量.再次，对于复杂“隙积术”问题，可能需要运用数列的求和技巧或进行数列的变换.例如，可以利用分组求和法、裂项相消法、错位相减法等技巧来简化计算过程.同时，也可以通过数列的变换，如求差数列、求和数列等，找到更简洁的解题方法.最后，进行结果验证和检查.在计算出结果后，要检查计算过程是否符合题目要求，结果是否合理.如果发现问题，要及时进行修正和调整.

3.3模型构建与检验

在运用“隙积术”解题的过程中，模型构建与检验是确保解题正确性的重要环节.模型构建是解题的首要步骤.在“隙积术”问题中，模型通常指的是根据题目描述和数列知识所建立的数学表达式或等式.构建模型时，需要准确理解题目中的情境，明确堆积物的形状、层数、尺寸等关键信息，并运用数列知识将这些信息转化为数学语言.模型应该能够准确地反映题目中的实际情况，为后续的计算和分析提供基础.在构建模型后，需要进行模型的检验.检验的目的是确保模型的正确性和适用性.这包括检查模型是否符合题目要求，是否能够准确地计算出堆积物的数量或体积，以及模型在实际应用中是否可行.检验的方法可以是通过代入具体数值进行计算，或者与实际情况进行对比和分析.在进行模型检验时，需要注意以下几点：首先，要确保代入的数值是准确的，避免由于数值错误导致的计算偏差；其次，要仔细检查计算过程，确保每一步都符合数学运算规则；最后，要对计算结果进行合理的解释和分析，确保结果符合实际情况和题目要求.如果在检验过程中发现模型存在问题，需要及时进行修正和调整.这可能包括修改模型中的数学表达式、调整参数值，或者重新选择适当的数列公式等.修正后的模型需要重新进行检验，确保问题得到解决.

4常用“隙积术”公式：长方棱台体积公式

5有关“隙积术”的数学文化题

6结语

通过对“隙积术”的研究，很好地让数学文化进入高中数学课堂，有助于将数学教育中的人文和科学性相融合，让数学课堂变得丰富多彩，有效激发学生数学学习兴趣，培养数学逻辑思维能力，同时又增强文化自信.

参考文献：

[1]张伟.沈括“隙积术”的数学思想创新[J].广东化工，2015，42（13）：297+303.

[2]罗见今.沈括《梦溪笔谈》中计数成就探析[J].咸阳师范学院学报，2017，32（04）：1-6.