丢番图方程运算能力在二项式定理中的应用

【摘要】二项式定理是高考数学中的重要知识点.在二项式定理的一些常见题型中，解答方法大多依赖于讨论的方式，较少借助丢番图方程运算能力进行求解.因此，运用丢番图方程运算能力处理二项式定理中的一些常规题型，是一种颇具创新性的解题策略.本文主要研究丢番图方程运算能力在二项式定理中的应用，通过运用独特的丢番图方程运算技巧，有效解决二项式定理在高考题、模拟题以及常规题中涉及的二项展开式系数、三项展开式系数、两项之积求展开式系数等问题.

【关键词】二项式定理；丢番图方程；运算能力

丢番图方程（DiophantineEquation）是指有一个或者几个变量的整系数方程，它们的求解仅仅在整数范围内进行.高考数学试题中二项式定理多以选择题或填空题形式出现，主要检验考生对二项式定理的理解、二项式展开式的通项公式、二项式展开式的性质及其基本应用.本文对二项式定理在高考试题及模拟题中的各类题型进行了全面梳理与归纳，并对解题策略进行了深入探讨.

1丢番图方程运算能力在二项展开式中的应用

点评在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、整式项、系数最大的项等，求解这些特殊项主要是利用二项展开式的通项公式Tr+1.通过该公式，可以依据条件先确定r的值，进而求出指定的项.在二项式展开式中，有理项是指那些指数为整数的项.这些项具有简洁明了的特性，可以利用组合数公式轻松确定它们的具体个数和形式.本题是一个教材例题的变式，原题是利用t来求展开式中某项x的指数幂，再通过幂等于某个指定项，求解出r值，从而得到该项.而本题则是要求找出有理项，即指数（变量）为整数的项，这需要求解出r值.因此，本题属于两个未知数的丢番图方程求解问题.

2丢番图方程运算能力在两项之积展开式中的应用

点评这道题涉及教材中的二项式展开式，需要变通一下，求解两个二项式乘积的特定项.把两个二项式分别展开，就转化为了一个关于两个未知数r与k的丢番图方程问题.

3丢番图方程运算能力在三项展开式中的应用

点评这个题目也是教材中的内容，涉及二项式展开式中特定项的问题.利用转化思想，把三项式转化为二项式来解决.对于多项的和或积的二项式问题，可通过“搭配”解决，但要注意不重、不漏.

4结语

随着教育改革的深入，二项式定理与丢番图方程问题的结合日益受到高考命题者的青睐，本文探讨了丢番图方程运算能力在解决二项式定理相关题型中的应用.提升丢番图方程运算能力不仅有助于深入理解二项式定理，还能在解决实际问题中发挥重要作用，对于高中数学学习和应用领域的拓展具有重要意义.

【本文系海南省教育科学规划一般课题——高中丢番图方程运算能力的实践研究（QJY20211041）阶段性成果之一】

参考文献：

[1]富艳姿，王秀彩.感悟运算真谛突破系数难点——“二项式定理”的课堂教学与反思[J].中小学数学（高中版），2023（Z1）：82-84.

[2]蔡海涛.聚焦核心素养构建“生”动教学——以“二项式定理探究”为例[J].数学通报，2022，61（07）：48-50.

[3]康宇欣.指向核心素养的高中数学单元作业设计研究[D].重庆：重庆三峡学院，2024.