三角函数解题技巧探究

摘 要：三角函数是中学数学中非常重要的一个知识点，同时也是考试中的重要考点，在进行中学数学三角函数的教学过程中需要教师对这部分知识有足够的重视.同时，三角函数的试题题型相对较为复杂，学生在解题的过程中很难对问题进行有效把握，对学生的逻辑思维能力有较高的要求.因此，教师在进行中学数学三角函数解题教学的过程中需要重视对学生解题技巧的培养.

关键词：中学数学；三角函数；解题技巧

中学数学所学的三角函数的相关知识是三角函数知识中的入门内容，同时在

考试中处于重要的地位.因此，学生对三角函数知识的掌握情况对考试的成绩起到了决定性的作用.教师在进行解题教学的过程中需要重视三角函数相关问题的教学.教师应通过教学来帮助学生对三角函数的知识建立起一个完整的体系，并掌握三角函数问题的解题技巧，从而帮助学生对三角函数难点实现有效突破.本文通过几道三角函数试题来对三角函数试题的解题技巧进行分析，希望对三角函数的解题教学有一定的帮助.

1 直接法解决问题

例题 在△ABC中，已知tanA+B2=sin C，给出以下四个结论：①tanAtanB＝1；②1＜sinA+sinB≤2；③sin2A+cos2B＝1；④cos2A+cos2B＝sin2C，其中正确结论的序号是""" .

分析：本题的已知条件是

tanA+B2＝sinC，结论则是关于sinA、sinB、sinC、cosA、cosB、cosC之间的关系，所以需要对已知条件进行变形转换，

tanA+B2＝sinA+B2cosA+B2＝2sinA+B2cosA+B22cos2A+B2＝sin（A+B）1+cos（A+B）＝sinC1+cos（A+B）＝sinC.

因为△ABC存在，所以得到cos（A+B）＝0.同时，对A+B的定义域进行判定可以知道0＜A+B＜π，从而就能够得到A+B＝π2，这样就能够得到△ABC是以C为直角的直角三角形.这下就可以对4个结论分别进行判定.①tanAtanB＝1，通过这个结论就能得到tanA＝tanB，也就是，这个结论根据已知条件来进行推测是可能存在的，但不是一定存在，即①不正确；②1＜sinA+sinB≤2，根据A+B＝π2，所以sinA+sinB＝sinA+cosA＝2sinA+π4，同时，由A+B＝π2可以推断出0＜A＜π2，所以1＜sinA+sinB≤2，即②正确；③sin2A+cos2B＝1，根据A+B＝π2可以推导sin2A+cos2B＝sin2A+sin2A＝2sin2 A，同时0＜A＜π2，所以A的值不能确定，即③不正确；④cos2A+cos2B＝sin2C，因为A+B＝π2，所以④正确.综上，本题的正确答案是②④.

回顾：本题考查了学生对三角函数的相关公式的掌握情况.本题需要充分利用正弦、余弦等相关公式之间的转换来将已知条件中的函数关系进行转换，得到sinC1+cos（A+B）＝sinC这样的关系式，然后就能够确定cos（A+B）＝0的情况，进一步确定了△ABC为直角三角形，从而实现对后续结论的判定.从本题可以看出在进行三角函数问题求解的过程中需要通过利用三角函数的相关公式来对试题中的三角函数关系进行变形，所以教师在进行三角函数知识以及解题教学的过程中需要对学生强调三角函数中公式的重要性，只有对公式进行掌握，并能够对三角函数的公式进行熟练应用，才能够实现对三角函数相关问题的解决.

2 巧用正弦、余弦函数解决问题

例1 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝25，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则cos∠ECF的值为（" ）.

A. 23

B. 104

C. 53

D. 255

分析：本题可以根据题目中存在的已知条件来对相关的线段长度进行计算.由于E是BC的中点，所以就可以得到BE＝EC＝EF这样的等量关系，并且通过BC＝25，就能够得到BE＝EC＝EF＝5，同时还能够得到关于角的等量关系，然后再根据AB＝2，BC＝25，可以得到AE＝22+（5）2＝3.根据角的关系可以知道∠AEB+∠AEF+∠FEC＝180°，∠FEC+∠EFC+∠ECF＝180°，所以就能够得到∠AEB+∠AEF＝∠EFC+∠ECF，所以就可以推断出∠AEB＝∠ECF，从而将求cos∠ECF转化为求cos∠AEB.根据三角函数余弦的定义就可以知道cos∠AEB=BEAE=53，所以正确的选项是C.

回顾：本题中主要对三角函数中余弦的定义进行了考查，在一个直角三角形中，非直角的余弦值是其相邻直角边与斜边的比值.同时，也对矩形对折以及等腰三角形的相关性质进行了考查.因此，在进行三角函数的解题过程中需要充分利用三角函数余弦的相关定理和定义，从而实现对问题的有效解决.

例2 已知在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且c＝53，若关于x的方程（53+b）x2+2ax+（53-b）＝0有两个相等的实数根.又方程2x2-（10sin A）x+5sin A＝0的两实根的平方和为6，求△ABC的面积.

分析：本题需要求三角形的面积，根据题中的已知条件以及三角形的面积计算公式S△ABC＝12·bcsinA可以知道，需要通过已知条件来计算出这个三角形中sinA、b的值.根据关于x的方程（53+b）x2+2ax+（53-b）＝0有两个相等的实数根这个已知条件就可以知道，这个方程的根的判别式Δ＝4a2-4（75-b2）＝0，从而就可以得到a2+b2＝75，由于c＝53，所以就能够得到a2+b2＝c2，所以这个三角形是以∠C为直角的直角三角形.同时，根据方程2x2-（10sin A）x+5sin A＝0的两实根的平方和为6，可以设这个方程的两个根分别是x1、x2，则x1+x2＝5sin A，x1x2＝5sin A2，所以x21+x22＝25sin2A-5sin A＝6，解得sinA＝35或sinA=-25，由于三角形ABC为直角三角形，且∠A为锐角，所以sinA＝35，所以根据三角函数正弦定理就可以得到a＝33，根据a2+b2＝75，就可以得到b＝43，所以根据S△ABC＝12bcsinA，就可以得到△ABC的面积为S△ABC＝12bcsinA＝12×43×53×35＝18.

回顾：本题主要是对一元二次方程根的判别式、三角形面积计算方式、勾股定理以及三角函数的正弦定理进行了考查.通过本题可以发现，中学数学中三角函数问题可以与其他知识点进行有效结合，从而能够有效地实现不同知识点之间的联系.在本题中，通过第一个方程根的判别式能够得到一个关于△ABC中a、b、c的一个等量关系，从而可以对三角形的形状进行判定，再根据另一个方程确定sinA＝35，结合正弦定理来对三角形的边长进行计算实现对问题的求解.因此，教师在进行三角函数的解题教学过程中需要让学生对三角函数相关问题进行有效掌握的同时，还需要注重将三角函数问题与其他问题进行有效结合，从而提升学生对问题的处理能力.

3 巧用勾股定理解决问题

例题 已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知关于x的方程x2-（c+4）x+4c+8＝0.

（1）若a、b是方程的两个实根，求证：∠C＝90°.

（2）若在题（1）的这个直角三角形中，满足25a·sinA＝9c，求a、b、c.

分析：第（1）问知道三角形的边长关系，需要证明三角形的一个角为90°，最简单的方式就是根据勾股定理来进行证明.那么就需要构造一个关于三角形三条边的等量关系，所以根据题意知x2-（c+4）·x+4c+8＝0这个方程的两个实根为a、b，所以根据一元二次方程的求根公式可以得到a+b＝c+4，ab＝4c+8.通过这两个关系就能够得到a2+b2＝（a+b）2-2ab＝（c+4）2-2（4c+8）＝c2，所以就得到a2+b2＝c2，所以三角形是以c为斜边的直角三角形，就可以对结论进行证明.第（1）问知道三角形为直角三角形后，需要通过25asinA＝9c这个等量关系来对三角形三条边的长度进行计算.可以直接将式子中的三角函数进行转换，由sinA＝ac，原等式就转换为25a2c＝9c，对式子进行整理就能够得到a2＝925c2，所以b2＝1625c2，从而就可以得到a＝35c，

b＝45c.根据（1）中得到的关系a+b＝c+4就可以对c的值进行计算，得c＝10，从而就能计算出a＝6，b＝8.

回顾：本题主要考查的是勾股定理与三角函数的相关知识.通过一元二次方程来进行三角形三边关系的构建，从而证明△ABC为直角三角形.然后在直角三角形的情况下将式子25asinA＝9c进行转化为边的关系，从而实现对三角形边长的计算.通过本题可以发现，在三角函数相关问题中，勾股定理是解决问题的一种特殊的解题技巧.教师在进行三角函数解题教学的过程中需要对勾股定理解决三角函数问题的方式进行讲解，从而让学生在进行解题的过程中能够对勾股定理进行有效应用，从而提升学生的解题能力.

4 结语

本文通过中学数学中几道三角函数例题来对三角函数的解题技巧进行了说明.通过这些例题可以发现三角函数相关的问题需要有效掌握三角函数的定理、定义及公式，对其进行灵活应用是解决三角函数问题的关键.同时，勾股定理在三角函数相关问题中也有着重要的作用.因此，教师在进行解题教学的过程中需要让学生对三角函数的定理、定义及公式进行掌握并灵活应用，从而有效提升学生三角函数问题的解题能力.