归纳性问题的特点及教学实例

摘要：本文中首先给出了归纳性问题的特点，然后结合具体的教学实践案例列举了计算问题、函数问题和图形问题与归纳性的融合，对培养逻辑思维和创新能力有一定的帮助.

关键词：归纳性问题;开放性;探究性;创新能力;教学策略

在当今快速变化的教育环境中，培养学生的批判性思维和创新能力已成为教育的重要目标.传统的教学方法往往侧重于知识的传授，而忽视了学生在学习过程中主动探索和发现的能力.为此，教育界逐渐认识到归纳性问题在教学中的独特价值.归纳性问题以其开放性和探究性特点，能够有效激发学生的好奇心和学习动力.

探索归纳性问题在教学中的应用，不仅有助于提高学生的学习效果，还能为他们未来的学习和职业发展奠定坚实的基础.教育者应积极采用这种教学策略，以培养学生的综合素质，使他们在面对复杂问题时能够灵活应对.

1 归纳性问题的特点

归纳性问题的一个关键特点是开放性，这意味着问题没有固定的答案，学生需要通过探索和研究来寻找答案.这种开放性不仅能够激发学生的好奇心，还能鼓励他们主动学习和思考.为了设计出具有开放性的归纳性问题，教师需要确保问题足够宽泛，能够容纳多种可能的答案和解释途径，同时要具有一定的指向性，引导学生进行深入和有目的的探究.开放性问题的设计应考虑学生的兴趣和背景知识，以便他们能够在已有知识的基础上进行扩展和创新.此外，教师应提供适当的资源和支持，帮助学生在探索过程中克服困难，培养他们的批判性思维和问题解决能力.

2 归纳性问题的教学实例

2.1 计算问题与归纳性的融合

将归纳性问题与函数问题结合起来，可以有效激发学生对函数的理解和运用能力.这种结合不仅能够帮助学生更好地掌握函数的基本概念，还能促使他们在解决问题的过程中，主动探索函数的性质和规律.通过提出基于函数的归纳性问题，学生可以在具体情境中应用所学知识，培养逻辑思维能力和创新思维能力.例如，教师可以设计一些需要观察算式变化规律的任务，要求学生总结出算式的值或对称性等特征.

例1""观察下列几个算式，找出规律：

1＋2＋1=4；

1＋2＋3＋2＋1=9；

1＋2＋3＋4＋3＋2＋1=16；

1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2+1=25；

…………

利用上面的规律，解答下列问题：

（1）计算1＋2＋3＋……＋99＋100＋99＋……＋3＋2＋1.

（2）计算1＋2＋3＋……＋100.

（3）推导出1＋2＋3＋……＋n的计算公式.

解析：（1）观察给出的算式规律：

1＋2＋1=4=22；

1＋2＋3＋2＋1=9=32；

1＋2＋3＋4＋3＋2＋1=16=42；

1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2+1=25=52.

可知，从1加到自然数n，再加回到1，结果为n2.因此1＋2＋3＋……＋99＋100＋99＋……＋3＋2＋1=1002=10 000.

（2）1＋2＋3＋……＋99＋100＋99＋……＋3＋2＋1

=2（1＋2＋3＋……＋100）－100，

即1002+100=2（1＋2＋3＋……＋100）.

所以

1＋2＋3＋……＋100=10 100÷2=5 050.

（3）

1＋2＋3＋……＋（n－1）＋n＋（n－1）＋……＋3＋2＋1=2（1＋2＋3＋……＋n）－n，

即

n2+n=2（1＋2＋3＋……＋n）.

所以1＋2＋3＋……＋n=（n2+n）/2.

2.2 函数问题与归纳性的融合

通过提出基于几何形状和性质的归纳性问题，学生不仅可以加深对几何知识的理解，还可以锻炼归纳推理能力.鼓励学生在观察和分析几何图形时，主动思考和探索其内在规律.例如，通过观察不同形状的几何图形，学生可以先提出关于这些图形性质的归纳性问题，如对称性、相似性、面积和周长的关系等，然后通过逻辑推理和实际验证来得出结论.这一过程不仅能帮助学生巩固几何知识，还培养了他们的批判性思维和问题解决能力.此外，这种学习方式能够激发学生的好奇心和探究欲望，使他们在学习中更加积极主动.通过不断的观察、思考和验证，学生能够逐步建立起对几何学的深刻理解，并能在实际问题中灵活运用这些知识.

例2""如图1，点A1，A2，A3，……，An－1，An为x轴正半轴上的点，OA1=A1A2=A2A3=……An－1An=1，分别以A1，A2，A3，……，An－1，An为直角顶点作Rt△OA1B1，Rt△A1A2B2，Rt△A2A3B3，……，Rt△An－AnBn，它们的面积分别记为S1，S2，S3，……，Sn－1，Sn，且S1=1；反比例函数曲线y=ax（a≠0）恰好经过点B1，B2，B3，……，Bn－1，Bn.请解决以下问题：

（1）写出反比例函数曲线y=ax（a≠0）对应的函数解析式.

（2）求出能使不等式S1+S2+S3+……+Sn－1+Sngt;223成立的最小自然数n的值.

（3）若直线B1O交反比例函数曲线于另一点P，请问：直线A1B2和直线A2B3，……，直线A2 010B2 011是否都经过点P？说明理由.

解析：（1）由S1=1，得点B1（1，2），则y=2x.

（2）由题意可得，S1=1，S2=12，Sn=13，……，Sn=1n.所以S1+S2+S3+……+Sn－1+Sngt;223成立的最小自然数n的值为8.

（3）由直线B1O与反比例函数曲线y=2x的另一交点P的坐标为（-1，-2），则点An和点Bn+1的坐标分别为（n，0），n+1，2n+1.

故直线AnBn+1的解析式为y=2n+1x－2nn+1.将点P（－1，－2）的横坐标x=-1代入上式，得y=－2.故点P（－1，－2）在直线y=2n+1x－2nn+1上（n为任意正整数）.

2.3 图形问题与归纳性的融合

图形问题与归纳性的融合是一种富有创造性的数学探索方式，将这二者结合起来，通过促进学生从具体到抽象的思维跳跃，不仅加深了学生对图形知识的理解，还培养了学生的观察力、思维力和创新力.这种教学方法鼓励学生在面对几何图形时，主动进行观察和分析，寻找其中的规律和特征.例如，学生可以通过研究不同类型的多边形，归纳出它们的内角和、对称轴数量以及面积计算方法等.在这一过程中，学生需要不断进行假设、验证和推理，从而提升逻辑思维能力和创造性解决问题的能力.此外，这种探索性学习方式能够激发学生的好奇心，使他们在学习中保持积极性和主动性.通过不断的实践和反思，学生不仅能够掌握扎实的几何知识，还能培养出科学的思维方式和创新精神.

例3""图2中的图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第n个图案中白色正方形的个数为多少？

解析：图中白色正方形的个数依次为

3×3－1=3（1+2）－1=8；

3×5－2=3（2+3）－2=13;

3×7－3=3（3+4）－3=18;

…………

以此类推，第n个图形中白色正方形的个数为

3（n+n+1）－n=5n+3.

归纳性问题在数学教育中扮演着重要角色，其开放性和探究性特点使其成为激发学生学习兴趣和培养思维能力的有效工具.通过将归纳性问题与函数、几何等数学概念相结合，学生能够在具体情境中应用所学知识，培养逻辑思维和创新能力.上述教学实例给出了算式、函数曲线和图形的归纳性问题.实例表明，学生在解决归纳性问题时，不仅能加深对数学知识的理解，还能发展重要的思维和社交技能.这样不仅提高了学习的有效性，还增强了学生的学习兴趣和主动性.未来的教育中应继续探索和应用这种方法，以培养学生的综合素质和创新精神，使他们能够灵活应对复杂的问题.通过不断的实践和反思，学生将能够在学习中保持积极性和主动性，掌握扎实的知识基础，并在实际应用中灵活运用这些知识.