指向拔尖创新人才培养的数学教学实践与思考

摘 要：“两角和（差）公式”是中学数学的重要公式，是在学生已经熟悉的直角三角形知识的基础上由于解决问题的需要自然生长出来的新知识.本文旨在使学生体验两角和（差）三角公式的必要性和优越性，理解锐角同角三角函数之间的关系以及几何意义，掌握两角和（差）公式，感悟公式推导过程中的直观想象和数学运算的价值.

关键词：命题课型；基本经验；直观想象；数学运算

如何引导学生在已有的基本经验基础上，发现公式、证明公式，并推广应用，这对拔尖创新人才的培养是十分重要的课题.在锐角前提下，“两角和（差）公式”是“建构新概念、新公式、新方法、新思想”的探究性新授课，也是一种尝试课.根据直角三角形中边的关系“提出问题”“发现新的研究对象”“如何给新的对象下定义”“探索不是特殊角的三角函数值如何求解”“能否给出一个新的数学公式”“如何证明新的数学公式”等，需要学生经历形成问题、建构概念、寻找方法、语言表述等“从无到有”的数学探究活动过程，用研究问题的一般性的科学方法进行教学，从而促进了学生的思维发展和科学探索精神，把学生培养成探究性的研究型学习者，使其终身受益.因此，教师应把“怎样探究问题、怎样研究问题”放在核心地位，这样才能把握住本节课真正的教学要义.笔者开设一节“两角和（差）公式”的示范课，旨在探索课堂教学培养拔尖创新人才的新途径.

1 基于基本活动经验的命题教学设计

1.1 学情分析

本节课的授课对象是本校与中国科学技术大学联办的少年预备班2023级1班学生，该班数学学业成绩优秀，学生的学习热情很高，思维较为活跃，创新思维能力强，但表述不严谨.

1.2 教学设计

1.2.1 设计理念

美国数学家哈尔莫斯（P. Halmos）认为“问题是数学的心脏”.问题是数学思想的源泉，是数学思维的动力.有了问题，学生的好奇心才能被激发，思维才能被启动.数学就是在问题的不断提出与解决中发展的.数学的一切概念、公式、定理，都是因解决问题的需要而产生的.学生的数学思维能力也是由于问题解决得以提升.因此，笔者设计了教学路线图（如图1），以此构成了一个典型的“基于基本活动经验”的探究学习过程.

1.2.2 教学目标

（1）能从勾股定理中理解并掌握同角三角函数关系式，培养学生会用数学眼光去观察事物，会发现问题，培养数学抽象、数据分析等素养.

（2）渗透数学思想方法，增强学生的数学活动经验，培养学生会用数学思维去分析事物、分析问题并解决问题的能力，强化数学研讨交流的意识，培养数学运算、数学建模等素养.

（3）经历代数、几何视角探究“两角和（差）三角公式”的主要过程，让学生体验其中的数学思想，培养学生会用数学语言去表述事件，培养学生直观想象、逻辑推理素养.

1.2.3 教学过程

教学过程不只是让学生接受、记忆、模仿和练习，更主要的是要让学生自主探究，通过动手实验、智力参与、主体体验、合作交流等活动，“再创造”自己的数学意义和数学活动经验，使数学学习成为发展智力、提升科学思维和人文思维的过程.

环节一：问题导入.

师：如图2所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，三条边的关系是什么？

生：AB2＋BC2=AC2.

师：如果把等式变形为ABAC2＋BCAC2=1，你们能联想到什么？

生：BCAC=sin A，ABAC=cos A，于是有sin2A＋cos2A=1.①

师：BCAB可以定义为A的什么函数呢？

生：定义正切函数tan A=BCAB.

师：它与sin A，cos A有联系吗？

生：tan A=sin Acos A.②

师：同学们从熟悉的勾股定理出发，探究出锐角的同角三角函数关系，即①是平方关系，②是商数关系.现在先看一组求值题：sin 30°=""" ，cos 30°=""" ，sin 45°=""" ，cos 45°=""" ，cos 60°=""" .

生：sin 30°=12，cos 30°=32，sin 45°=22，cos 45°=22，cos 60°=12.

师：已知α、β为锐角，化简cos2α-sin2β＋sin2αsin2β-cos2αcos2β=0.

生：利用平方和关系，原式化为cos2α（1-cos2β）-sin2β（1-sin2α）=cos2αsin2β-sin2βcos2α=0.

生：令α=β=45°，结果为0.

【设计意图】用求值化简方式复习旧知，比单纯记忆背诵公式更有效，把知识与运用情境结合，使知识情境化.

环节二：探究新知.

师：你们能求出cos 75°、sin 75°吗？

生1：75°可以拆成30°＋45°，由cos 75°=cos 30°＋cos 45°得cos 75°=22＋32.

生2：生1的结论不正确，22＋32gt;1，由锐角余弦函数定义知，0lt;cos αlt;1，因此公式不成立.

师：理由充分，那怎么求cos 75°的值呢？

生：利用几何法求解，如图3所示，在Rt△ABC中，∠BAC=75°，在∠CAB内作∠DAB=45°，D在BC上，作DE⊥AC于E.所以∠CAD=30°，∠CDE=75°.设AD=1，则AB=22=BD，DE=12，AE=32，所以CE=12tan 75°.又在Rt△ABC中，AC=ABcos 75°，因此AB=22=（AE＋EC）cos 75°，即32cos 75°＋12sin 75°=22.

师：把它看成关于cos 75°和sin 75°的方程，相当于两个未知量，同学们能找到它们的内在联系吗？

生：利用sin275°＋cos275°=1，化简得（2-3cos 75°）2＋cos275°=1，即4cos275°-26cos 75°＋1=0，解得cos 75°=6-24，同理可得sin 75°=6＋24.

师：由45°和30°，同学们能联想到什么？

生： 由于6-24=22·32-22·12=cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°，于是cos（45°＋30°）=cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°，同理可得sin（45°＋30°）=sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°.

【设计意图】问题引领是教学的重要环节，意在探究新公式、新方法.

环节三：逻辑推理.

师：这些式子仅仅是猜想，那么对一般锐角α、β都成立吗？你们能证明吗？

生1：同上述实例，如图4所示，设∠DAB=α，∠CAD=β，AD=1，因此有AB=cos α，AE=cos β，BD=sin α，DE=sin β.

在Rt△ABC中，DE=CDcos β+sin βtan（α+β），DE=CDcos（α＋β），CD=BC-BD=cosαtan（α+β）-sinα，即sin β=cos αsin（α＋β）-sin αcos（α＋β），结合sin2（α＋β）＋cos2（α＋β）=1，得sin β＋sin αcos（α＋β）cos α2＋cos2（α＋β）=1，化简整理，得cos2（α＋β）＋2sin αsin βcos（α＋β）＋sin2β-cos2α=0，配方得［cos（α＋β）＋sin αsin β］2-sin2αsin2β＋sin2β-cos2α=0.因为-sin2αsin2β＋sin2β-cos2α=（1-sin2α）sin2β-cos2α=-cos2αcos2β，所以［cos（α＋β）＋sin αsin β］2=cos2αcos2β，开方得cos（α＋β）＋sin αsin β=cos α·cos β，所以cos（α＋β）=cos αcos β-sin αsin β.

生2：开方时，要有 “±”号.

生3：因为cos（α＋β）＋sin αsin βgt;0，所以“-cos αcos β”舍去了.同理可以证明sin（α＋β）=sin αcos β＋cos αsin β.

师：推理严谨，公式正确.你们还有其他想法吗？

生：在Rt△ABC中，AC=EA+EC=cosβ+sinβtan（α+β），利用AB=ACcos（α＋β）=［ cos β＋sin βtan（α＋β）］ cos（α＋β），所以cos α=［ cos β＋sin β·tan（α＋β）］ cos（α＋β），即cos α=cos βcos（α＋β）＋sin βsin（α＋β）.

如果令γ=α＋β，则α=γ-β，所以cos（γ-β）=cos βcos γ＋sin βsin γ.

师：利用换元法，尽管没有得到cos（α＋β），但却得到cos（α-β）.你们还有什么想法？

生：在sin β=cos αsin（α＋β）-sin αcos（α＋β）中，令γ=α＋β，则β=γ-α，所以sin（γ-α）=sin γ·cos α-cos γsin α.

师：你们研究两个锐角和与差的正弦、余弦公式，还想研究哪一个三角公式呢？

生：我想利用同角正弦、余弦的商数关系研究α±β的正切公式，如sin（α＋β）cos（α＋β）=sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β-sin αsin β，右边分子分母同时除以cos αcos β，于是两边都化为正切形式，tan（α＋β）=tan α＋tan β1-tan αtan β，同样可得tan（α-β）=tan α-tan β1＋tan αtan β.

师：这位同学灵活运用同角三角函数关系推导了两角和差三角函数的六组公式.

【设计意图】利用已有的基本知识、基本技能、基本方法和基本活动经验深度探究三角公式之间的内在联系，教会学生学会思考.

环节四：公式演变.

师：如果将上述公式中α与β特殊化，你们尝试一下，又能得到哪些公式呢？

生1：若令α=β，则sin 2α=2sin αcos α，cos 2α=cos2α-sin2α，tan 2α=2tan α1-tan2α.

生2：由sin2α＋cos2α=1，可得cos 2α=2cos2α-1=1-2sin2α.

师：这组公式就是二倍角公式，你们还有什么想法吗？

生1：cos 3α=cos（2α＋α）=cos 2αcos α-sin 2αsin α=4cos3α-3cos α.

生2：sin 3α=sin（2α＋α）=sin 2αcos α＋cos 2α

·sin α=3sin α-4sin3α.

师：你们利用两角和公式和二倍角公式证明了三倍角正弦和余弦公式.你们能解决下面这个问题吗？

是否存在整系数方程：ax3＋bx2＋cx＋d=0（a≠0）使得cos 20°是其一个解？

生：由于60°=3×20°，于是想到cos 3α的公式，因此cos 60°=cos（3×20°）=4cos320°-3cos 20°，所以12=4cos320°-3cos 20°，即8cos320°-6cos 20°-1=0，所以cos 20°是方程8x3-6x-1=0的一个解，所以a=8，b=0，c=-6，d=-1.

【设计意图】从一般到特殊探索新的数学公式，让学生尝试利用新知创造性地解决问题，自己探索路径，寻找突破口.

2 教学启示

数学公式是数学的重要组成部分，往往揭示了数学对象之间的内在联系或规律.学习数学就必然要学习数学公式，因而数学公式就成为数学教学的极为重要的内容.

2.1 让学生感悟新知识产生的必要性

数学概念、公式、定理、方法等是由于解决问题的需要自然而然产生的，其中包括生活实际的需要和数学内部的需要.例如，两角和（差）公式是由于求解75°，15°等三角函数值时，已有的公式不能解决了，才自然需要探究新的公式.请学生提出解决问题的方案，他们会自然提出探究求解sin 75°，cos 75°的“想法”，经过实际操作，由“想法”到“解法”再到“方法”，这些方法不是教师直接告诉，而是由师生共同探究求解思路，自然产生新知识.因此教学中需要教师根据学生已有的基本活动经验创设启发性的问题情境，是学生经历必要的疑难和困惑而形成问题的过程，来感悟新学习内容“从无到有”产生的现实需要和数学发展的需要.学生体会到已有的数学公式、思想方法已经不够用了，才需要自然探究新公式、新定理和新数学思想方法，以此产生内在的学习需求，认识到新的数学知识生长是十分必要的、非常自然的、合乎情理的.这样，才能使鲜活的数学定理、公式、法则和数学思想方法等自然而然地流淌出来.这里的“自然”包括情境创设、课题引入、知识生长、思想方法等.

2.2 创造性地运用教材把握数学本质

数学教材是数学教学的基本素材，是数学活动的重要载体和资源.教师需要提升对教材的认识力、思考力、判断力和鉴赏力，可在理解和把握数学教材的基础上，围绕教学目标和学情，把握数学内容的本质，创造性地运用教材.例如，初中数学教材的“锐角三角函数”一节的旁白“思考：如何计算sin 75°，cos 75°”，不少教师在教学时忽视这一重要的素材，没有引导学生深度思考，特别对于拔尖创新人才培养而言，失去最佳探究机会，这也是本节课的教学目的.在初中数学教材的“二元一次方程组”一节中，教师仅仅停留在解法及变式训练的表层认识上，忽视对二元一次方程与一次函数对应关系的研究.如果我们深度探究其几何意义，那么在求解二元二次方程组时，就水到渠成地引入圆的概念以及直线与圆的位置关系的初步认识，这样设计教学对于创新人才的培养大有裨益.