基于数学模型的实际问题解决

摘" 要：在小学数学教学中，几何学习占有重要地位.它不仅培养学生的空间想象能力，还为学生今后学习更高级的数学知识奠定基础.研究表明，基于数学模型的教学方法能有效提高学生的空间想象能力、逻辑思维能力和问题解决能力，为小学数学教学实践提供了新的思路和方法．

关键词：数学模型；“几何问题”；问题解决

基金项目：

江苏省教育科学“十四五”规划课题“小学数学‘提出问题’水平层次及教学策略研究”（项目编号：B/2021/02/63）

传统的几何教学往往偏重于概念的讲解和公式的记忆，忽视了实际问题解决能力的培养.将抽象的几何概念与实际问题相结合，通过建立数学模型来提高学生的问题解决能力，是一种值得探索的教学方法.本文以小学数学教学中的“几何问题”为例，探讨基于数学模型的实际问题解决策略.通过分析课堂教学案例，阐述如何将抽象的几何概念转化为具体的数学模型，以及如何利用这些模型解决实际问题.

1" 数学模型在几何教学中的应用

1.1" 数学模型的定义和特点

数学模型是现实问题的数学化表达，它将复杂的实际问题抽象为可用数学语言描述的形式.在几何教学中，数学模型具有直观性、简化性和可操作性等特点.例如，在教学圆的面积时，教师引导学生使用正多边形逼近模型，通过不断增加正多边形的边数，让学生直观地理解圆面积公式的来源.这个过程中，学生既能感受到数学模型的简化作用，又能体会到数学思想的精妙之处．

1.2" 几何问题中常见的数学模型类型

几何问题中常见的数学模型包括图形模型、代数模型、坐标模型等.图形模型利用直观的几何图形来表示问题；代数模型用方程或不等式来描述几何关系；坐标模型则将几何问题转化为坐标平面上的点、线、面的关系.［1］在教学实践中，这些模型常常结合使

用，如在教学平行四边形面积时，同时运用图形模型和代数模型.教师引导学生将平行四边形转化为等面积的长方形（图形模型），然后用底乘高表示面积（代数模型）．

1.3" 数学模型的构建过程

数学模型的构建过程通常包括问题分析、模型假设、数学描述、求解验证等步骤.在几何教学中，引导学生参与模型构建过程可以培养其数学思维和问题解决能力.在解决实际问题过程中，教师可以引导学生通过分析问题、假设模型、用数学语言描述、求解验证这几个步骤构建模型.

2" 以“设计校园景观喷泉”为例的教学实践

2.1" 教学目标设定

本教学实践旨在通过设计校园小花园活动，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力.具体目标包括：①学会测量长度和面积，掌握使用测量工具的技能；②深入理解并熟练运用周长和面积的计算方法，能够处理复合图形问题；③学习简单的图形绘制，提高空间感和比例意识；④培养学生的空间想象力和创造力，鼓励他们设计独特的花园布局；⑤提高学生的团队合作能力，使学生学会在小组中分工协作.通过这个活动，学生将体验到数学在日常生活中的实际应用，增强学习兴趣和学习动机．

2.2" 教学过程设计

2.2.1" 问题情境创设

教师通过多媒体展示学校的一片空地照片或平面图，宣布要在这里设计一个小花园.课堂伊始，教师引导学生观察图片中空地的形状和周围环境，

提问“如果要在这里设计一个美丽的花园，我们需要知道哪些信息”，鼓励学生思考需要的长度、宽度等数据.然后，教师展示几张精心挑选的漂亮小花园照片，包括不同形状和布局的设计，激发学生的兴趣和创意.接着，教师提出具体的设计要求，如“花园四周要包含一条宽1米的小路供人行走，剩下的空地用来种植花”.教师可以增加一些挑战性的要求，如“设计一个能容纳全班同学的休息区”或“规划一个小型生态系统”等，以提高任务的趣味性和综合性.通过虚拟情境的创设和具体要求的设定，学生能够理解测量和计算在实际生活中的重要性，形成将数学知识应用于实际问题的意识．［2］

2.2.2" 模型构建引导

教师在黑板上绘制一个比例尺为1∶100的长方形示意图，代表空地，假设长12米，宽8米，并详细标注尺寸.教师邀请学生在方格纸上按比例绘制，引导学生思考如何计算花园的周长和面积并提问“如果我们要在花园周围安装装饰性的栅栏，需要准备多长的材料”，让学生应用周长公式进行计算.教师组织讨论如何计算实际可种花的面积，引导学生理解需要从总面积中减去小路的面积.教师引入更复杂的情况，如在花园中央添加一个圆形喷泉，让学生思考如何计算剩余的种花面积.［3］通过这个过程，学生学会将实际问题转化为数学计算，体验数学模型的构建过程.教师在此阶段重点培养学生的抽象思维能力，帮助他们建立起实际问题与数学知识之间的联系，同时也锻炼了学生的空间想象能力和图形操作能力．

2.2.3" 模型求解与优化

学生分组进行计算和设计.首先计算花园的总面积为12×8=96（平方米），然后计算小路的面积为12×1×2+（8-2）×1×2=36（平方米），最后得出实际可种花的面积为96-36=60（平方米）.教师巡视各小组，观察学生的计算过程，适时提供指导和帮助，鼓励学生相互检查结果，培养团队协作精神.接下来，教师引导学生思考如何优化设计，如提问“如果我们想种更多的花，怎么调整小路的宽度或布局”或“如何设计花坛的形状才能使种花面积最大化”，鼓励学生尝试不同的设计方案，比较各种方案的优缺点.在这个过程中，教师引入简单的函数概念，让学生感受参数变化对结果的影响.教师鼓励学生考虑实际因素，如阳光、排水等，将这些因素纳入他们的设计中．

2.2.4" 结果验证与反思

每组选派一名代表向全班介绍他们的花园设计图和计算结果.其他学生和教师根据设计的创新性、计算的准确性、实用性等方面进行评价和提问.教师引导学生思考“我们的计算结果合理吗？这个设计在现实中是否可行？有没有更好的设计方案”，鼓励学生分享在设计过程中遇到的困难和解决方法，如如何处理复杂图形的面积计算，或如何在有限空间内平衡美观和功能性.教师引导学生讨论如何将学到的数学知识应用到其他实际问题中，如规划家居布局，设计学校运动场等.［4］讨论结束后，教师总结这次活动中用到的数学知识，如长度测量、周长和面积计算、比例尺应用等，强调数学在日常生活和工程设计中的重要作用.通过这个反思过程，学生不仅巩固了所学知识，还培养了分析问题、解决问题和创新思维的能力，为今后学习更复杂的数学概念打下坚实基础．

2.3" 教学评估方式

教师采用多元化的评估方式，全面考核学生的学习成果，在整个活动过程中观察并记录学生的表现，包括计算的正确性、团队合作能力等.通过对学生的花园设计图进行评价，考查其创意性、实用性和美观性.教师通过设立不同的奖项，如“最具创意设计奖”“最佳节能环保奖”等，鼓励学生从多角度思考问题并组织学生进行互评，培养他们的批判性思维和表达能力.评价标准包括设计的合理性、计算的准确度、表达的清晰度等.教师让学生完成一份报告，描述他们在活动中学到的数学知识、遇到的挑战及解决方法，以及对数学在实际生活中应用的新认识，根据这些多维度的评估结果，全面评价学生的学习效果，并为今后的教学实践提供参考和改进方向．

3" 数学建模在其他几何问题中的应用

3.1" 建筑设计中的几何优化问题

在小学数学课上，教师可以通过设计纸盒小房子来教授几何优化.首先，让学生用纸板制作一个体积为24立方厘米的小房子.学生学习使用长方体的体积公式，体积=长×宽×高.他们可以尝试两种不同的长方体形状：4厘米×3厘米×2厘米和6厘米×2厘米×2厘米，都符合24立方厘米的体积要求.接着，教师指导学生使用长方体表面积公式，表面积=2×（长×宽＋长×高＋宽×高）来计算每种形状的表面积.学生发现第一种设计的表面积是52平方厘米，第二种是56平方厘米.通过比较，学生理解了在相同体积下，不同的长方体可能需要不同数量的材料.这个活动帮助学生将公式应用到实际问题中，理解了几何形状在实际应用中的重要性．

3.2" 交通规划中的路径优化问题

为了让学生理解路径优化问题，教师设计一个“校园寻宝”游戏.教师在教室内画一个简单的“校园地图”，标出几个地点.学生的任务是规划一条最短的路线.［5］教师引导学生使用距离公式距离=速度×时间，以及其变形时间=距离÷速度.例如，学生计算以每秒1米的速度走完每条路线所需的时间，发现所需时间不同.通过这种计算，学生不仅理解了最短路径的概念，还学会了如何用公式解决实际问题.教师鼓励学生思考“如果改变行走速度，时间会如何变化”，这个活动将抽象的公式与具体的场景结合，增强了学生的理解和应用能力．

3.3" 包装设计中的材料节约问题

在讲解材料节约问题时，教师带领学生设计一个装铅笔的小盒子.假设一支铅笔长15厘米，直径1厘米，学生需要设计一个装10支铅笔的长方体盒子.教师引导学生使用长方体体积公式，体积=长×宽×高，来确定盒子的尺寸为15厘米×5厘米×2厘米.然后，学生学习使用长方体表面积公式，表面积=2×（长×宽＋长×高＋宽×高）来计算所需的纸板面积.代入数值表面积=2×（15×5＋15×2＋5×2）=230（平方厘米）.教师鼓励学生思考“如果改变铅笔的摆放方式，盒子的尺寸和所需材料会如何变化”，通过这个实际的设计问题，学生不仅练习了公式的应用，还理解了如何通过调整设计来节省材料，体会到数学在日常生活中的实际应用．

参考文献

［1］孙衣云，江红梅.在小学数学“图形与几何”领域建构问题解决模型的路径探析［J］.辽宁教育，2024（15）：57-60．

［2］郑幼梅.核心素养视域下小学数学模型建构教学策略研究［J］.考试周刊，2024（17）：89-92．

［3］梁倩.初中数学教学中几何直观能力培养探析［J］.教育艺术，2023（10）：24．

［4］高倩茹.小学数学中核心素养培养策略的研究——以“图形与几何”为例［D］.杭州：杭州师范大学，2022．

［5］徐小军.数学模型思想融入小学数学教学的策略探究［J］.数学学习与研究，2022（26）：131-133．