利用质心概念巧解“人船模型”中的移动距离

摘" 要：中学物理中的“人船模型”两体系统问题，涉及求解一个物体的移动距离，因问题中有半椭圆凹槽、半圆凹槽或弹簧等模块，导致系统中物体运动的速率变化复杂，增加了求解移动距离的难度.若了解质点系的质心基本概念，已知初始时刻各质点的位置坐标，并根据末状态各质点的相对位置关系，就可以顺利解答此类距离问题.

关键词：人船模型；动量守恒；质心；高考试题

中图分类号：G632""" 文献标识码：A""" 文章编号：1008-0333（2024）22-0124-03

收稿日期：2024-05-05

作者简介：赵春然（1980—），女，安徽省淮北人，硕士，副教授，硕士生导师，从事物理课程教学论研究.

高中物理中“动量守恒”是一个非常重要的知识点，每年的高考对该知识点的考查几乎是确定性的.因为要保证试题的新颖性，所以问题考查的表现形式也在逐年演进，对考生学科素养和综合能力要求日渐提高，如湖南省2023年高考物理真题第15题、2022年全国乙卷第25题等，就是涉及动量守恒知识点的题目，题中需要计算“人船模型”两体［1-4］中的一个物体运动距离.问题中半椭圆凹槽、半圆凹槽或弹簧等模块的设定，致使运动中物块的速率变化复杂，求解移动距离难度有所提升，故这类题目解答的完整率偏低.若同学们了解两体系统的质心概念，列出初始时刻各质点的位置坐标，并知晓末状态它们的相对位置关系，就可以轻松解答此类运动距离问题.

1" 物理系统中的质心概念

对质心的概念有所了解，将有助于理解“人船模型”的物理题中复杂的移动距离关系.若将两个质点组成的系统看成一个整体，系统所有的质量集中于某一个点，称该点为系统的质心，其位置坐标：

xc=m1x1+m2x2m1+m2，

yc=m1y1+m2y2m1+m2，

zc=m1z1+m2z2m1+m2（★）

其中rn=xni+ynj+znk，n=1，2，c分别表示质点m1、质点m2和质心在三维空间中的位置坐标.因已将系统看成一个质点（就是质心），若系统受到的合外力为零或系统受到的合外力在某个方向上为零，则系统的质心保持状态静止或匀速直线运动状态，系统的动量守恒或系统在某方向上动量守恒.该结论与曾经学过的牛顿第一定律和动量守恒定律类似.

2" 利用质心概念求移动距离举例

例1" （2023·湖南真题 节选）如图1所示，质量为M的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个半椭圆形的光滑轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为a和b，长轴水平，短轴竖直.质量为m的小球，初始时刻从椭圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑.以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在竖直平面内建立固定于地面的直角坐标系xOy，椭圆长轴位于x轴上.整个过程凹槽不翻转，重力加速度为g.（1）小球第一次运动到轨道最低点时，求凹槽的速度大小以及凹槽相对于初始时刻运动的距离；（2）在平面直角坐标系xOy中，求出小球运动的轨迹方程.

图1" 模型示意图

解" 由题意知，初始时刻均静止，匀质凹槽M和小球m组成的系统在水平方向上不受外力作用，故在该方向上系统动量守恒；对系统只有

重力做功，故系统的机械能守恒.

（1）小球从右端最高点第一次运动到轨道最低点时，设小球的速度为v1，匀质凹槽的速度为v2，根据动量守恒定律和机械能守恒定律：

mv1+Mv2=0①

12mv21+12Mv22=mgb

②

得：v1=-2gb1+m/M，v2=mM2gb1+m/M，说明末状态小球的速度沿着x轴反方向、凹槽沿着x轴正方向运动.初始系统中的小球位置x10=a、凹槽位置x20=0，故初始系统质心水平方向位置为：

xc0=mm+Ma， ③

小球第一次运动到轨道最低点时，设小球的坐标为x2，此刻凹槽的坐标也为x2，利用质心计算公式xc=m1x1+m2x2m1+m2=x2.系统在水平方向上受到的合外力为零，初始系统各个质点均静止的，系统初始总动量为零，即质心初始动量为零：（m+M）vc=mv10+Mv20=0，质心是静止的，将一直维持静止状态，所以x2=mm+Ma，即凹槽相对于初始时刻移动的距离为mm+Ma.

（2）假设t时刻小球在如图2所示的直角坐标系xOy中位置坐标为（x， y）、凹槽的椭圆圆心O′点在x轴上位置坐标为x′2待求，代入质心公式xc=mx+Mx′2m+M≡xc0，解得：

x′2=mM（a-x）， ④

图2" 小球第一次从最高点下滚的中间某时刻

已知初始时刻在如图1中直角坐标系xOy下椭圆曲线方程为：x2a2+y2b2=1（y∈［-b，0］）

如图2所示，时刻t凹槽的椭圆曲线相对于初始时刻向右平移了x′2段距离，根据中学数学中函数图像的平移知识，平移后的凹槽对应的椭圆曲线方程：

（x-x′2）2a2+y2b2=1⑤

而且时刻t小球质点m恰好处于平移后的椭圆上，即起初假设的小球位置坐标为（x， y）满足方程⑤式，将④式代入⑤式，化简得：

［（m+M）x-maMa］2+y2b2=1⑥

方程⑥式就是小球运动后相对地面参考系的运动轨迹方程，其定义域为y∈［-b，0］.

小球和放置在水平地面上半椭球凹槽组成了“人船模型”的两体系统，仅需考虑小球的重力做功，故系统的机械能守恒；水平方向上不受外力，故系统在该方向上的动量守恒；系统初始总动量为零，故质心始终维持静止状态.小球沿曲面向下滚动时，小球和凹槽的速率均是不断变化的，说成速度乘以这段时间得到了位移关系显然是不严谨的，不利于同学们正确理解物理基本概念.

例2" （2022·全国乙卷真题 节选）如图3

，一质量为m的物块A与轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上，物块B向A运动，t=0时与弹簧接触，到t=2t0时与弹簧分离，第一次碰撞结束，A、B的v-t图像如图4所示.已知从t=0到t=t0时间内，物块A运动的距离为0.36v0t0.A、B分离后，A滑上粗糙斜面，然后滑下，与一直在水平面上运动的B再次碰撞，之后A再次滑上斜面，达到的最高点与前一次相同.斜面倾角为θ（sinθ=0.6），与水平面光滑连接.碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内.求（2）第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值；

图3" 碰撞模型 """"""""""图4" v-t图像

解" 根据图4，可见从t=0到t=t0时间内，物块B的速率vB逐渐减小，物块A的速率vA逐渐增大，速率vB大于vA直到t=t0时刻二者相等，说明弹簧被压缩程度不断加大直至t=t0时刻二者速率相等，弹簧被压缩到最大程度.并由题意知，物块B与弹簧分离这个物理瞬间也是在光滑的水平地面上发生的，即连有轻质弹簧物块A和B所组成的系统在水平方向上不受外力，系统的总动量守恒，质心保持匀速直线运动.

结合图4考虑t=0、t=t0两个物理瞬间系统的总动量不变，mB·1.2v0=（m+mB）v0，故得：mB=5 m.

质心在水平方向的动量就等于系统在该方向的初始动量：（m+mB）vc=mB·1.2v0，所以vc=v0，质心以该速度做匀速直线运动.

设t=0时刻，物块B的初始位置xB0=0、物块A的初始位置记为xA0；t=t0时刻，物块A、B的位置坐标分别标记为xA、xB，且知：

xA=xA0+0.36v0t0⑦

xc0=mxA0+5m·0m+5m=xA06⑧

xc=mxA+5m·xBm+5m ⑨

xc=xc0+v0t0 ⑩

联立⑦⑧⑨⑩式，得：

xB=1.128v0t0

故弹簧的最大压缩量：

ΔLmax=（xA0-xB0）-（xA-xB）=0.768v0t0.

由题意“A、B分离后，A滑上粗糙斜面”知物块B与弹簧分离这个物理瞬间是在光滑的水平地面上发生的，本题第（2）小问对应的物理环境明确了.初始系统物块B具有动量，水平方向动量守恒，质心一直保持匀速直线运动状态.

3" 结束语

通过上面两道题目例析，利用质点系的质心基本概念，列出已知初始时刻各质点的位置坐标，并根据末状态各质点的相对位置关系，就可以顺利解答“人船模型”两体系统中物块运动距离问题.思路清楚，方法简便，不仅丰富了同学们的解题方法和解题技巧，还提高了解题效率，增强应试能力.

参考文献：［1］

杜志建.试题调研：高考超重点2物理（第2辑）［M］.乌鲁木齐：新疆青少年出版社，2023.

［2］ 陈新学.例谈质心和质心系在解题中的应用［J］.数理化解题研究， 2023（19）：123-125.

［3］ 赵生武.“人船模型”的理解及其应用［J］.数理化解题研究，2023（16）：109-111.

［4］ 洪英兰，王伟民.光滑水平圆形管道内两球碰撞的速度规律剖析［J］.物理教师，2022，43（01）：61-64.

［责任编辑：李" 璟］