微元法在高中物理解题中的应用研究

摘" 要：物理解题能力是衡量学生物理综合学习效果的关键，在物理解题中，灵活地运用各种方法可显著提高学生解题能力.微元法是解决物理问题时最常见的思想方法，其可以借助微积分的思想，实现复杂问题的简单化处理，对此下面就高中物理解题中微元法的应用展开详细分析.

关键词：微元法；高中物理；解题

中图分类号：G632""" 文献标识码：A""" 文章编号：1008-0333（2024）22-0114-03

收稿日期：2024-05-05

作者简介：黄东升（1984.10—），男，湖南省隆回人，本科，中学一级教师，从事高中物理教学研究.

在解决一些复杂的物理问题时，教师可以引领学生尝试利用微元法，对复杂的研究对象、物理过程进行“化整为零”的处理，或者是“集零为整”的处理，从而获得良好的解题效果.通过微元法的合理应用，可以在很大程度上简化学生解题过程，提高学生解题准确性［1］.对此，高中物理教师需要引领学生充分把握微元法的特点，灵活应用微元法解题，以此促进学生物理学习效果的提升.

1" 微元法的内涵

微元法主要是指在开展物理过程分析时，可以先对物理过程进行细分，转变成多个“元过程”，然后选择任意一个“元过程”作为研究对象，进行分析，找出其中的物理规律，并通过相应的科学手段完成求解［2］.微元法的核心在于从研究对象的局部入手，通过局部过渡到整体，然后完成问题的处理.微元法能实现曲线向直线、变量向恒量、动态向静态、运动向不变的转变.具体来说，微元法的处理过程包含以下几个过程.

一是对变化的物理过程、宏观物理对象进行细分，形成多个“元过程、元对象”.“元过程及元对象”可以是一个长线段中任取的小线段、圆弧中任取的一个小圆弧、空间中任取的小体积元、物体中任取的小质量元等，并且“元过程及元对象”需要具备整体的基本特点［3］.

二是由于原来的变化过程、宏观物理对象转变成恒定、微小的“元过程及元对象”，因此需结合物理规律，通过相应的物理表达式将“元过程、元对象”表达出来.

三是通过数学积分求和的相关知识，完成对相应物理量的求解.

2" 高中物理涉及微元法的主要内容

高中物理涉及微元法的内容主要包括以下方面.

（1）时间微元.在整个时间范围内，某物体的某物理量处于持续变化状况，而选择一个比较小的时间段，可以将该物体的这一物理量看成是恒定不变

.如推导向心加速度公式中，取足够短的时间后，可以近似认为弦长等于圆弧长；在定义瞬时速度时，同样取短时间后，平均速度与瞬时速度近似相同.

（2）轨迹及长度微元.从整体的角度看，物体的运动轨迹、某个长度都属于曲线范围，而将物体的运动轨迹、长度分成细小的元单位后，从中随机选出一个片段的轨迹，或者是选出一个长度，都可以将其看成是一个直线段.如推导曲线运动速度方向时，假设物体运动轨迹极短，近似地将小轨迹当作直线段；分析重力做功与路径的关系时，对物体运动轨迹进行细分后，则可以将运动轨迹看作是一个直线.

（3）面积微元.在特定的物理图像中，借助微元法分析图像与坐标轴形成的面积的物理特性［4］.面积微元的关键是先细分图形，构建成细小的矩形，随后借助物理公式将小矩形的面积求出来.同时矩形足够小时，会认定纵坐标对应的物理量固定，从而完成图像面积物理意义推导.例如电容器充放电过程中形成的电流图像，面积表示电荷量；电场强度会随着位置的改变而出现变化，借助面积微元的方式，可以推导出横坐标轴与图像构成的面积表示电势差.

（4）对象微元.一些宏观的物体无法进行整体研究时，可以尝试对宏观物体进行细分，随后随机选出一个小部分，将其看作主要研究对象进行处理.如关于动量连续体问题，对水流冲击墙体的冲击力进行计算时，如果对整个水流进行分析，会变得十分复杂，对此就可以选择与墙体接触时的一小段水流，通过动量定理处理问题.

高中物理教师在日常教学中引导学生采用微元法时，还应该注重相应数学思想的应用，如极限思想、定积分思想［5］.其中极限思想主要是通过极限概念对问题进行分析处理，在物理领域中，极限思想的合理运用可以很好地解决各种复杂物理问题，并且能更加精准定义物理概念，如瞬时功率中关于时间选取的问题.借助极限思维还能帮助学生深入推导物理规律，如曲线运动中瞬时速度的方向推导问题，教师指引学生通过微元法，当选取时间短时，曲线在该点的切线方向就是物体曲线运动方向.微元法实际上就是简化定积分的过程，借助定积分的方法来完成物理问题求解.微积分与数学领域的定积分知识十分相近，教师在引领学生学习时，需要培养学生的跨学科思维，指引学生先进行整体向微元转化，随后借助微元求和，得出最终结果.

3" 高中物理解题中微元法的应用

3.1" 在运动学解题中应用

以匀变速直线运动部分内容为例，在教材中，总位移是指v-t图像中的阴影部分面积，部分学生在学习这部分知识时，有时会出现理解不到位的情况，从而在解题中经常出错.因此教师在教学环节就可以从微元法的视角入手，引领学生运用微元法来优化解题思维，便于学生对运动学知识有深层次的感知.

例1" 已知某物体在做加速直线运动，已知运动时间、初速度、加速度分别是t、v0、a，试推出物体的位移x与时间之间的关系为：x=v0t+12at2.

教师可以引领学生从微元法入手，将物体的整个运动过程细分成多个部分，随后利用平面直角坐标系进行作图.借助图形分析可以发现，微元是以t为高，纵轴上的高度是梯形的上、下底，t无限缩小时，对应的梯形也会无限接近长方形，其阴影面积代表着位移.阴影面积可以近似通过三角形、长方形面积相加所得，结合下图1可以得出阴影面积是x=v0t+12at2.

图1" v-t阴影面积计算图

本题属于典型的位移问题，通过使用微元法，可以让学生更加有规律地对速度、时间变化关系进行分析，也能做到模型理想化.同时数形结合的运用也可以方便学生直观理解位移内涵，这对于学生公式推导有极大帮助.

3.2" 在功与能解题中应用

针对做功与能量的转化问题，教师可以引入微元法，尝试利用函数方面的知识进行处理，完成高效作答.

例2" 某人以初速度v0竖直向上抛出一个质量是m的小球，若小球在运动过程中，受到的空气阻力大小与速率成正比，小球的速率随时间的变化关系如下图2.小球在t1时刻处于最高点，落地之前以速率v1做匀速运动，已知重力加速度为g.求小球能达到的最大高度.

图2" 小球的速率随时间的关系图

结合牛顿第二定律知道小球上升过程中的加速度a=-（g+kvm），对时间t进行微元处理为Δt，速度变量是Δv，即Δv=a·Δt=-（g+kvm）·Δt，而vΔt=Δh，公式两边对等求和，整理可以得出小球上升的最大高度是H=（v0-gt1）v1g.

3.3" 在动量问题中应用

动量是一个经典的力学概念，高中物理解题中，很容易碰到变速冲击的题型，可以利用微元法，化变为恒，取时间微元，把变速冲击的问题转变成恒定速度冲击问题，实现顺利解题.

例3" 有一根长度为L、质量为M的竖直悬挂铁链，铁链的另一端与水平地面相连，铁链悬挂的一端突然断开，铁链开始自由下落，当铁链上端下落x距离后，求铁链对地面的压力.

在解决本题时，学生需要考虑到铁链对地面的压力包含了两个方面，一是已经落到地面部分铁链的重力，二是铁链运动对地面造成的冲击力.在解题过程中，教师可以引领学生通过微元法，对时间进行微元处理，构建模型.

铁链开始下落时t=0，t时刻铁链下落到地面的长度是x时，未掉到地面的链条速度是v，假设ρ为铁链的线密度，则ρ=ML.经分析可以得出铁链在落地后的速度是0，从t时刻起，取时间微元Δt，那么Δt内落到地面铁链的质量为ΔM=ρ·Δx，设地面对ΔM的冲击力F，由动量定理得（F-ΔMg）Δt=ΔM·v=ρΔx·v，由于ΔMg·Δt≈0，所以F·Δt=ρΔx·v，F=ρvΔxΔt，由于ΔxΔt就是t时刻铁链的速度v，故F=ρv2，铁链在t时刻的速度v就是铁链下落长度是x时的速度，所以v2=2gx，t时刻铁链对地面的压力为N=ρxg+F，联立解得N=3MgxL.

3.4" 在电磁学问题中应用

在高中物理学习中，电磁学是一个难度比较高的知识点，教师在教学环节也可以利用经典案例，结合微元法，引领学生进行思考，促进其解题能力的提高.

如对电流微观表达式进行推导，在这一问题中，教师先指引学生尝试从导线中取一个小截面S及一段时间Δt，其长度为Δl=v·Δt，该长度内所有自由电荷均通过截面S，若导体单位体积中的自由电荷数量是n，每个自由电荷的电荷量为q，可以得出Δt时间内，该截面通过的总电荷量为Δq=nqSΔl=nqSv·Δt，电流I=ΔqΔt=nqSv.

这个问题相对比较简单，但是求解过程比较复杂抽象，学生会出现知识不贯通的情况.对此教师利用微元法，引领学生假设条件，构建模型，实现作答.

4" 结束语

总而言之，在高中物理解题中，通过微元法的应用，不仅能让学生更加快速、便捷地解决物理问题，

还能增强学生的物理学习兴趣，强化其物理思考能力.通过微元法，学生能够从特殊的角度进行问题思考、解决，降低了解题难度，促进了学生有效学习，这对于学生物理学习信心的提升有极大帮助.

参考文献：［1］

赖鹭传.高中物理解题中微元法的有效应用［J］.数理化解题研究，2021（19）：81-82.

［2］ 孙芬芬.高中物理学习中应用微元法进行解题的实践探讨［J］.教育科学，2021（7）：54.

［3］ 亚娟.微元法在物理解题教学中的使用［J］.数理化解题研究，2023（6）：91-93.

［4］ 陈世福.高中物理解题中微元法的应用研究［J］.数理化解题研究，2021（25）：81-82.

［5］ 黄传艳，李培友.微元法在中学物理教学中的应用探析［J］.中学物理教学参考，2021（5）：48-49.

［责任编辑：李" 璟］