初中数学教学中学生逆向思维能力的培养路径

【摘要】具备逆向思维能力，提升数学思维水平，提高数学解题能力，是每名学生都需要实现的数学学习目标.初中数学教学中，应特别重视学生逆向思维能力的培养，促进学生多元发展.文章在多元切入、科学指导、创新评价三个方面，解析了初中数学教学中学生逆向思维能力的培养，提出以基础理论、基本公式、定理法则、命题分析、具体问题为载体，在自主合作、问题点拨、专项训练中，有效培养学生逆向思维能力，提高初中数学教学质量.

【关键词】初中数学；逆向思维；教学路径

人类思维具有方向性，存在“正向”与“反向”差异，由此产生正向思维与逆向思维.为实现某一事物的创新，在难以通过常规思路解决问题时，均可应用逆向思维.初中数学教学作为培养学生思维能力的重要教学活动，应充分培养学生逆向思维能力.教师应深入挖掘培养学生逆向思维能力的教学资源，借助科学的教学指导策略和教学评价手段，实现学生逆向思维能力的有效培养.下面将参考北师大版初中数学教材，在具体课例中解析学生逆向思维能力的培养路径.

一、多元切入，培养学生逆向思维能力

初中数学教学内容丰富，基础理论、基本公式、定理法则等，都有助于学生逆向思维能力的培养，这要求教师在培养学生逆向思维能力时，巧妙从不同角度切入，提高层次性，确保多元性.

（一）以基础理论为切口，启发逆向思维能力

定义、概念等基础理论，是数学学科的基石，也是培养学生逆向思维能力的起点.初中数学教学中的许多理论，本身具有“逆向”特点.在此基础上渗透逆向思维能力的培养，能够发挥良好的启发作用，提高学生对逆向思维的适应程度和调动能力.

例如七年级上册“绝对值”，教材给出“相反数”的概念，为深入探究有理数的绝对值奠定基础.如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数.把握有理数的相反关系，应自觉调动逆向思维，故而可创新讲解有理数的相反关系，启发学生逆向思维能力.

首先，教师可向学生提供数轴工具，如图1，并让学生直接观察原点两侧的有理数的规律.数轴原点即“0”有理数点，0的相反数是0，0左右两端的有理数互为相反数，便于学生直观理解相反关系.

其次，教师可以为学生设计具体任务，如“在数轴上找出与原点距离是4的点，观察和描述它们的特点”“在数轴上表示+3、-3、+6、-6，分析它们的特点”.任务假定不同的相反数，使学生由“整体观察数轴”到“具体分析相反的有理数”，逆向思考相反关系的主要特点.

最后，教师可以鼓励学生总结个人思考成果，自主描述“相反数”概念及其几何意义、代数意义.在数轴上，相反数分别表示在原点的两侧，到原点的距离相等，呈现对称关系.在代数意义上，在一个正数的前面添加负号“-”，就表示这个数的相反数.

如此数形结合，通过直接观察和逆向描述“相反数”，使有理数的相反关系形象化，启发学生逆向思维能力.

（二）以基本公式为切口，提高逆向思维能力

代数公式、几何公式、概率公式等基本公式，是解决初中数学问题的关键工具，也是培养学生逆向思维能力的重要载体.在正向理解公式内容的基础上，逆向推导公式的其他变形和应用方式，能够显著提高学生逆向思维能力.故而除基础概念，教师还应立足基本公式层面，打通学生的思维通道.

例如七年级下册“平方差”公式，其基本形式为（a+b）（a-b）=a2-b2，表示“两数和与这两数差的乘积等于它们的平方差”.但是在其具体应用中，学生不仅应掌握（a+b）（a-b）=a2-b2的基本形式，而且需要具备a2-b2=（a+b）（a-b），（a+b）（a-b）-a2=-b2等其他变形能力，逆向思维即体现在公式变形过程中.教师首先可通过形象的数学图形，使学生正向推导和理解（a+b）（a-b）=a2-b2，如图2.其次，教师可设置具体问题，如“观察（a+b）（a-b）=a2-b2，它还可以表现为哪些形式”，引导学生对基本公式的变形推导.学生可先自主观察公式，总结其具体内涵，再运用等式的性质，逆向推导a2-b2=（a+b）（a-b），（a+b）（a-b）-a2=-b2，在深入掌握基本公式的同时，提高逆向思维能力.

（三）以定理法则为切口，强化逆向思维能力

在掌握基础概念和基本公式的前提下，深入探究数学定理和法则，能够使学生更加深入地把握数学学科核心知识，理解数学的本质规律.由此审视初中数学定理和法则，以此为切口培养学生逆向思维能力同样关键.比如在逆向证明定理和法则的过程中，有效强化学生逆向思维能力.

例如八年级上册“一定是直角三角形吗”，其本质为勾股定理的逆运用.勾股定理不仅是一个基本的几何定理，更是一个用来判断三角形是否为直角三角形的有力工具.如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形的三边关系一定满足勾股定理的条件.然而反过来思考问题，已知一个三角形的三边关系满足勾股定理的条件，是否能够证明这个三角形一定是直角三角形，这是一个典型的逆向思维问题.

教师可先指导学生复习勾股定理，深化直角三角形的理论认识：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2.

接下来，教师可假设不同的三角形边长，使其三边关系满足勾股定理的条件，指导学生逆向证明直角三角形.比如，教师给出5cm，12cm，13cm；0.7cm，2.4cm，2.5cm等三角形边长，让学生先计算其三边关系，提出“三角形是直角三角形”或“三角形不是直角三角形”的假设，再动手绘制三角形，验证猜想.

大量计算和图形表明，当三角形的三边关系满足勾股定理的条件，这个三角形一定是直角三角形.进而，学生水到渠成地验证勾股定理的逆定理，在“如果三角形是三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形”中，强化逆向思维能力.

（四）以命题分析为切口，发展逆向思维能力

判断一件事情的句子叫命题，每个命题都由条件和结论两部分组成，不同的命题具有不同的正确性.北师大版八年级上册正式教学几何证明问题，以命题教学奠定几何证明的重要基础.而在命题与非命题、真命题与假命题的分析中，蕴含丰富的逆向思维.对此，教师可完善命题教学，以命题分析为切口，发展学生逆向思维能力.

例如“定义与命题”，教师可广泛运用教材内容，指导学生分析命题、非命题，真命题、假命题.

首先，教材讲解命题的定义，给出6项语句，使学生从中分析命题，如“对顶角相等”“作线段AB=CD”等.命题是判断一件事情的句子，如“对顶角相等”；如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题，如“作线段AB=CD”.教师可顺应教材编排逻辑，在讲解命题定义的基础上，使学生自主对比不同的语句，逆向分析非命题语句特点.

其次，一个句子对某一件事情的判断，可能是正确的判断，也可能是不正确的判断.在此基础上，命题既有正确的命题，即“真命题”，也有不正确的命题，即“假命题”.教材继续讲解真命题与假命题的定义，给出不同语句，鼓励学生进行自主分析.教师可顺应教材编排逻辑，为学生提供丰富的真命题与假命题，促进其对比分析.

深入分析真命题与假命题，学生不仅应说明真命题正确的原因，而且应列举示例案例，说明假命题的不正确之处，也称“反例”.进而，命题、非命题，真命题、假命题的全面分析中，逆向思维无处不在，使学生进一步发展逆向思维能力.

（五）以具体问题为切口，内化逆向思维能力

最终，初中数学教学中学生逆向思维能力的培养，应落实于具体问题的解决.《义务教育数学课程标准（2022年版）》（简称《新课标》）以学生发展为本、以核心素养为导向，进一步强调发展学生“四能”，即：运用数学知识与方法，发现、提出、分析、解决问题.初中数学教学对学生逆向思维能力的培养，同样应将发展学生“四能”设置为重要目标.对此，教师可发挥具体问题的载体作用，通过一些富有意义和挑战性的数学问题和实际问题，驱动学生逆向思考.

运用逆向思维解决问题，可直接依据一次函数与一元一次不等式的关系，将y1=-x+3、y2=3x-4转化为图像.每个一次函数在平面直角坐标系中都对应一条直线，一元一次不等式如y1

教师可精心设计具体问题，使学生同时运用正向思维和逆向思维解决问题，比较两种解题策略的优势和劣势.进而，通过逆向思维在具体问题中的应用，学生既内化逆向思维能力，也提高问题解决能力，实现对函数与方程思想的深度吸收.

二、科学指导，培养学生逆向思维能力

初中阶段的学生虽然具有相对系统的学习经验，但是在认知结构和学习能力的影响下，仍旧会产生一些思维瓶颈.逆向思维作为一种非常规的思考方式，为许多学生的思维活动带来挑战.教师应多元培养学生逆向思维能力，更应加强对学生的科学指导，促进学生对逆向思维的适应.

（一）重视学生主体，促进合作学习

逆向思维能力的本质，是学生自主形成的思维能力，因此在初中数学教学中培养学生逆向思维能力，应时刻重视学生主体.比如上述基础理论、基本公式等教学活动，教师始终重视学生的主体地位，使其自主经历思维活动过程，是培养其逆向思维能力的关键之一.但是在一些复杂学习活动中，单一的自主学习不能完全满足学生逆向思维能力的发展需要，合作学习也不可或缺.教师应适当干预学生，使其建立学习小组，自觉展开合作学习.

例如九年级上册“矩形的性质与判定”，教师首先可讲解矩形的基本性质，其次可向学生提供一些图形和条件，使学生结合矩形的基本性质，自主判定给定图形是否为矩形.由于图形的证明过程相对复杂，部分学生容易在证明过程中错用已知条件.教师可在提出学习任务后，使学生遵照就近原则，前后4人建立学习小组，合作探究给定图形和条件.合作学习期间，学生先轮流提出逆向证明图形的方法和猜想，再合作验证猜想，得出确切的结论，使逆向思维得到充分锻炼，加强其逆向思维能力的培养.

（二）设置关键问题，发挥点拨作用

《新课标》要求学生“会用数学的思维思考现实世界”，强调“数学思维”在学科核心素养方面的重要地位.以此为背景在初中数学教学中培养学生逆向思维能力，不仅应重视具体问题的载体作用，而且应发挥“关键问题”的思维点拨作用.

具体操作中，在以任意学习内容为载体的学生逆向思维能力培养中，教师均可顺应学生的思维逻辑，设计多层次的关键问题.关键问题与逆向思考的本质相一致，点拨学生多角度地展开思考，促进学生逆向思维能力的培养.

例如九年级下册“三角函数的应用”，深入探究教材习题“有一座建筑物，在地面上A点测得其顶点C的仰角为30°，向建筑物前进50m到B点，又测得其顶点C的仰角为45°，求建筑物的高度（结果精确到0.1m）”，对培养学生的逆向思维能力具有显著意义.具体探究问题时，教师可补充关键问题“如果知道建筑物的仰角和地面到建筑物的水平距离，怎样能判断建筑物的高度？”“两次测量中建筑物的仰角，为确定建筑物的高度提供哪些有价值的信息？”等.关键问题紧扣三角函数的应用，点拨学生运用逆向思维，在多个角度深入分析建筑物仰角、高度、地面到建筑物水平距离的关系.进而，随着问题的层层剖析，学生逆向思维能力得到有效培养.

（三）落实专项活动，密切训练思维

专项活动即：以更加系统的数学实践活动，密切训练学生逆向思维能力.基于《新课标》对学生数学思维和解决问题的相关要求，单一的课堂解决问题不能全面满足学生发展需求，突出核心目标的专项活动逐渐得到广泛应用.教师可以基于学生思维发展水平，定期落实专项活动，密切训练学生思维.

例如九年级上册“用因式分解法求解一元二次方程”，当一元二次方程的一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，可以用因式分解法进行求解.由此可见，想要用因式分解法求解一元二次方程，首先应将方程的一边转换为0.教师可以设计“用因式分解法求解一元二次方程”的专项活动，为学生提供（2x+3）2=4（2x+3），2（x-3）2=x2-9等非标准方程，使学生先思考方程能否转换为“一侧为0”的形式、转换后的方程能否分解为两个一次因式的乘积，再应用因式分解法求解.

如此“先转换方程表现形式，再应用因式分解法”的过程，即逆向思维活动过程.进而通过丰富的专项活动，学生的逆向思维能力得到更加密切的训练，达到更高发展水平.

三、创新评价，培养学生逆向思维能力

《新课标》注重实现“教—学—评”一致性，这再次证明了评价是教学的关键一环.使初中数学教学形成完整闭环，必须实现“教—学—评”一致性，在此基础上培养学生逆向思维能力，既应注重学生逆向思维能力的培养过程，也应加强学生逆向思维能力的全面评价.

例如，将逆向思维能力具体的评价项目，纳入原有的初中数学教学评价体系，设计“解题策略多样性（能否在正向推理问题的基础上，创新融入逆向思考）”“逻辑推理能力（能否从结论出发，逆向寻找所需条件）”等评价指标.达成课堂教学任务后，客观运用逆向思维能力评价指标，具体评估学生进步情况.如此，每一次课堂教学评价，都能为深入培养学生逆向思维能力提供重要依据，促进学生长远发展.

结 语

总之，初中数学教学中学生逆向思维能力的培养，关乎每名学生的思维水平.在多元切入的基础上落实科学指导，适当创新教学评价，具有一定积极作用.教师应基于初中数学教学，深入挖掘培养学生逆向思维能力的教学资源，加强对学生的有效指导和评价，促进学生逆向思维能力的长远发展.

【参考文献】

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