波利亚解题模型在高中数学解题教学中的应用探究

【摘要】数学解题能力在数学学习中具有重要作用，并且数学解题能力是衡量学生的数学学习情况的一项重要指标.高中数学中不同类型的题目，其解题模型的类别十分丰富.其中的波利亚解题模型是目前运用最为广泛的一种解题模型，在数学解题领域中占据着重要地位.文章以高中数学为主要研究对象，将波利亚解题模型运用到高中数学的解题教学中，旨在为实际教学提供参考.

【关键词】波利亚解题模型；高中数学；应用

引 言

数学作为三大主课之一，在高考中占据着重要位置，因此，有的教师在实际教学过程中，为了帮助学生强化知识点，使得学生可以灵活运用已学知识而采用“题海战术”.但是这种教学方法会使得学生对数学产生排斥的心理，甚至造成厌学心理.这种教学方法无法有效帮助学生提高对于数学公式及理论的灵活运用能力.因此，文章研究将波利亚解题模型运用到高中数学解题教学中，以期该模型的应用，可以有效改善传统教学方式，帮助学生树立正确的解题意识，进一步提高学生的数学学习效率，为学生未来的数学学习奠定基础.

一、核心概念解读

波利亚解题模型是一种广为流传的解题模型，并且这一模型在后来的流传过程中，也逐渐被运用到了数学的解题教学中去.因此在高中数学解题教学中，波利亚解题模型可以帮助学生学习正确的解题技巧，并且将诸多的复杂数学问题进行拆解，以此提高学生的解题效率.该模型最早出现在波利亚的《怎样解题》中，后来被运用到数学解题模型中，逐渐演变成了今天的样子.这一模型的运用需要明确四个要点，分别包括“明确题干，即题干中提到的已知量”“制订措施，我们可以如何运用已知材料，思考当前要解决这一问题仍然缺失的材料”“在制订好解题的基本思路后，可以针对预设解题思路加以实施”以及“完成解题后，需要对整体解题过程进行反思”.但是反观当前的数学解题现状，学生往往会遗漏最后的反思环节，因此在高中数学解题教学中，教师可以引入波利亚解题模型，以此优化实际教学过程，提高教学效率.

二、波利亚解题模型在高中数学解题教学中的应用

（一）明确题干意思

对问题的理解是解答难题的核心所在.唯有彻底明确了问题，才能有效地解决问题.对于问题的理解主要包括两个方面，一是对题意的解析和精确剖析，在现有的题目基础之上，通过自我表达方式对其进行再度诠释，以便更深层次地理解题目.在这个阶段中，重点在于确保解析题目的准确性和细致程度.学生必须细心审读题目，确认看到的问题是否与原始问题相符，方可进一步处理.二是要明白条件，转化语境.把问题直白呈现出来的条件叫作明显条件，那些未被明确指出，但又确实存在的条件则被称为隐藏条件.掌握条件就是要了解明显的条件，发掘隐藏的条件，并将其中的文本表述、图像描述等转化为数学术语，这样能更好地让学生理解题目.运用波利亚解题模型第一步便是将晦涩难解的数学题目转变为简单明了的文字叙述，具体如下所示：

对上述题目加以分析和研究后，学生可以利用波利亚解题模型，将这一题目进行拆解：

【未知量】定点M在坐标系中的具体位置.

【已知量】N是一个动点.

【显性条件】x的取值范围为大于零，MN两点之间的线最短距离为22.

（二）拟定解题方案

1.联系知识，注重合理

在解决问题的过程中，学生会首先对题目中的条件进行分析，然后从这些条件出发，寻找相关联的解决方案.因此，学生在这个阶段，必须全面掌握所需的基础知识，并能熟练运用.一旦找到了相关的知识，学生还需要确定使用这些知识解决问题的合理性，寻找出最适当的解决方案，以减小计算量，提高解题的准确度.

例2 已知圆x2+y2=4，直线l：y=x+b，当b为何值时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1.

针对上述题目，教师首先可以向学生提出问题：在以往的作业中，大家接触过这样的题型吗？知道此类题型主要考查的是哪方面的知识点吗？教师通过询问可以引发学生对题目背后的出题思路加以思考，并且引导学生做出进一步的探究，思考这一类型的题目是和平时课堂教学中的哪部分知识相呼应的.此外，教师可以引导学生进行进一步的思考：在解决这一类型题目时，可以具体用到什么样的方法加以解答？最后，教师指导学生结合目前已经学习的基本知识，对这一题目运用自己的语言加以重新表述.教师以此帮助学生进行对已学知识的巩固，同时通过学生对题目的复述情况，检验学生目前对相关知识的掌握程度，以此为后续教学提供参考意见.

2.发散思维，合情推理

“启发法”中的一种思维方式就是逻辑推理，指的是学生基于自身已有经验来进行思考和判断的过程.因此，在解决问题的过程中，教师有必要教导学生如何运用“合情推理”这种思考方式，以提升他们解决问题的技巧.例如，他们可以通过对比来学习推理，也可以通过对已有的信息加以整理从而得出结论.

（三）实施解题方案

1.剖析方法，高效解题

各种题型各自具备独特的属性.部分题目的考查内容较为浅显，因此提供的线索也相对直观，学生通过解析就能轻易地构建出已知与未知的关联，进而获得一种简便的方法来解答题目.然而，也有一些问题的难度较大，提供的信息也比较冗杂，即使学生付出极大的努力去解读，也可能并未发现最佳的解决方式，这会使得计算过程变得更加复杂，增加了犯错的可能性.运用波利亚解题模型，指导教师引导学生寻找最简单的解决方案，以此提升他们的解题速度，提高他们解题的准确度.

例3 已知矩形ABCD，AB=20，BC=15.沿对角线AC将ΔABC折起，使得BD=481，则二面角B-AC-D的大小是多少？

解法1 过D作AC的垂线，垂足记为O.以O为原点，OA为x轴，OD为y轴建立如图1所示的空间直角坐标系.

求二面角大小借助法向量是比较常规的解法，但是此题对于学生来说，建立坐标系以及计算都有不小的困难，所以教师可以引导学生思考是否存在更合适的解法以优化计算.

解法2 为了方便表示点B坐标，过B点作AC垂线（垂足记O），并延长交CD于点E.以OE为x轴，OC为y轴，建立如图2所示的空间直角坐标系.

2.优化计算，提高效率

对许多学生而言，数学计算一直是他们亟待提升的一项技能.他们在解答问题时常遇到这样的困扰：尽管理解了问题的解决方法，但就是不能顺利地给出最后的答案.如果这种状况持续发生的话，可能会削弱他们的学习热情.因此，教师应该引导学生寻找最佳的计算策略，并遵从波利亚解题法的原则，鼓励他们详细描述每一个解题环节，确保其准确无误.同时，教师在解释解题流程的过程中也应依照波利亚解题法的规定，避免省略任何一步骤，并且尽可能详尽阐述计算背后的理论基础，把这些理论分解为更为细小、易于理解的部分，以助推学生计算技巧的进步.

（四）反思解题过程

1.分析错题，逐个突破

对于每个学生出错的具体原因，教师都需要深入研究并逐步攻克.例如，如果某个学生的基础知识存在不足，那么教师就应该强化他学习基础知识的能力.当学生掌握了基础知识却无法运用时，教师则需要通过相关题目，来增强他们的实践经验.对于那些已经能够熟练应用知识且正确作答的学生，他们可能只是因为粗心大意而出错，这时教师可以提升他们的计算技巧.对于那些只能应对已知问题、面对未知难题就无从下手的学生，教师必须加强对他们的思维和想象力的培养，以破除他们的固有思维模式.所以，教师在解题训练过程中应当鼓励学生定期自我反思，以便更深刻地理解问题，同时要针对各类学生的情况制订个性化辅导计划，真正实现有针对性指导，助力学生完成挑战.

2.总结题型，探索规律

对每一个学生而言，从入学就开始了数学的学习之旅，随着时间的推移，数学逐渐从具体转变为抽象.当他们面临高级别的问题时，需要通过归纳相似题目、研究其解答模式来寻找答案，熟练掌握一种题目的解决方案能加速他们的学习进程.

结 语

总的来说，波利亚解题模型作为一个解决问题的有效模型，被广泛地运用到数学问题解答的过程中，不仅提高了学生的数学解题效率，还促使他们逐步养成良好的解题习惯，提高了他们的数学解题能力.因此，高中数学教师应该在常规的解题教学过程中，根据具体的习题深入研究波利亚解题模型，让学生学习该模型，慢慢熟悉并掌握它.

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