由面积问题探析数学思维的培养

华罗庚说：“独立思考能力是科学研究和创造发明的一项必备才能.在历史上，任何一个重要的科学上的创造和发明，都和创造发明者独立深入地看问题的方法是分不开的.”在平时课堂教学中，教师不仅要注重学生知识与解题技能的提升，更应在题型的选择和分析讲解中重视数学思维能力的渗透和引导，从而拓宽课堂维度，培养学生的核心素养.笔者以三角形面积问题为例，谈谈初中数学思维的培养.

1 什么是数学思维

数学思维，狭义上可以说是用数学方法去思考和解决问题，广义上应该是用数学这门学科的内蕴逻辑去思考和解决问题.数学思维就是人们通常所指的数学思维能力，即能够用数学的观点去思考问题和解决问题的能力.可见，数学思维直接决定了学习者的数学学习能力.

2 可视化的数学思维

数学思维就是用数学观点思考问题和解决问题的思维活动形式，思维指的是人脑对客观现实的概括和间接反映，属于人脑的基本活动形式.数学思维看不见、摸不着，笔者就以三角形面积问题为例让抽象的数学思维可视化.

求三角形面积是初中数学常见的问题，它可以和很多知识点相结合，笔者以格点背景下几种常见的三角形面积计算联系到二次函数背景下三角形的面积最值问题，把其总结为如下四个成长阶段.

婴儿期：如图1，三角形的底和高都是横平竖直的线段，计算一目了然，可直接利用三角形的面积公式求解.

幼儿期：如图2，三角形的底和高都是斜的线段，不容易求得，不能利用三角形面积公式，因此只能通过割补法，把三角形补成一个正方形，用正方形面积减去其余的三个三角形面积，得S=9-12×1×2-12×1×3-12×2×3=72.

青春期：如图3，类型和图2相似，不能用三角形面积公式求解，但是既可以用补的方法，把三角形补成一个长方形，得S=12-12×1×2-12×2×3-12×2×4=4，也可以用割的方法把三角形分割成上下两个易求面积的三角形得S=12×2×2+12×2×2=4.由于两个小三角形共底，因此亦可表示为S=12×2×（2+2）=4，为二次函数背景下三角形的面积最值问题作铺垫.

成年期：已知二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点A，B（点A在原点的左侧），A（-1，0），B（3，0），点G（2，-3）是抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？并求此时点P的坐标和△APG的最大面积.

解：如图4，过点P作PQ平行于y轴，过点G作GT⊥PQ于点T.设P（a，a2-2a-3），其中-1＜a＜2.

易求得AG：y=-x-1，则Q（a，-a-1）.

所以PQ=-a2+a+2.

所以S△APG=S△APQ+S△GPQ=12PQ·AO+12PQ·TG=12PQ（AO+TG）

=32（-a2+a+2）=-32a-122+278.

故当a=12时，△APG的面积最大，最大面积为278，此时P12，-154.

题中运用了“割”的方法，将目标三角形分割成两个小三角形，这两个三角形共用一条底，但是它们的高表示出来比较麻烦，类比图3的情形，这里把两条高看作一个整体，就方便求出三角形的面积，减少了计算量.这样，通过平时课堂的分析和引导，把重难点各个击破，让学生的思维螺旋式生长.

3 怎样培养数学思维

数学是培养学生思维的重要学科，但是学生在知识理解与应用上仍然是最薄弱的，在解决问题时缺乏联系性思维和独立思考的能力，过分依赖教师的提醒，难以运用已有的知识解决新问题.在新课程标准理念下，课堂是教师的主阵地，教师应深耕每一节课，在题目设置与讲解引导上下功夫，使零散琐碎的数学知识点能够串联成一条条主线，重点培养学生解决问题的能力.

3.1 循序渐进之实

数学思维能力的养成讲究循序渐进、点滴积累，从已有基础知识和问题条件出发，通过条件的联想和知识的积累，在条件与结论之间搭建桥梁，逐步推演下去直到得到正确结果，实现跨越.循序渐进有助于学生形成扎实的数学基本功，培养分析问题、解决问题的能力，甚至在思维跳跃的题目中能够找到方法.在教学过程中，教师应细化解题过程，根据学生已有的认知结构，设计合理的解题思路，厘清因果联系，指导学生运用所学知识解决实际问题，培养学生的数学思维.

例如，在上述三角形面积问题中，学生第一次遇到图4的问题肯定不知所措、无从下手，直接利用公式无法求出来，用割补法也缺乏条件，如果在解决图3问题时就稍加点拨，引导学生用整体思维解决三角形的高难以求解的题型，那么学生就会联想到分割三角形整体求高，不仅解决了问题还简化了计算.因此，在平时的教学过程中，教师应注重引导学生明确各个基本知识点之间的联系，打好思维基础，让其内化到自己的思维中，尤其是利用所学知识解决复杂问题.实践证明，良好的数学思维能够增加学生的数学经验与直觉思维，优化解题思路，提高解题速度，于高处思考问题.

3.2 双管齐下之活

初中数学学习是从形象思维到抽象思维的发展阶段，其难度不仅在于抽象思维，更在于其题型的灵活性.学生对数学概念、定理和各种题型有了基本的认识，但在解决问题时容易思维固化形成思维定式，难以拔尖.在核心素养的大时代背景下，应以培养学生的逆向思维为突破口，打破思维定式，提高灵活解决问题的能力.逆向思维贯穿于整个初中数学，在数学公式定理应用上非常广泛.

例如，在学习经典的完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2时，让学生死背公式容易和完全平方差公式混淆，若逆向推导（a+b）（a+b）=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2，让学生自主探究从已知知识点出发，更容易记忆公式，也掌握了知识点的来源.因式分解就是整式乘法的逆向思维，利用完全平方公式时，如果引导学生用逆向思维，把公式反过来记忆，不仅容易记住还减少了知识量，让学生感悟逆向思维的重要性.

逆向思维在几何推导方面也很常见.如图5，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC是线段BD的垂直平分线.本题若从条件分析的话，几何薄弱的学生可能会无从下手，如果从结论逆向分析，要证AC是线段BD的垂直平分线，只要证AB=AD，CB=CD.已知∠1=∠2，∠3=∠4，只要证△ACD≌△ACB.这样理清了解题思路，能够帮助学生迅速找到突破口，证明的方向也更明确.几何证明是初中生学习的一大难点，在分析过程中很多题目既需要从条件出发，也要从结论反推，正向与逆向双管齐下，善于多角度分析问题，避免思维局限和僵硬，培养学生的逻辑思维和灵活解决问题的能力.

3.3 一题多解之变

变则通，解题思路需要变通，变通是数学思维发展的显著特征.在教学中我们发现，很多时候当学生熟练掌握一类基本题型的解决过程和技巧后，需要从不同角度帮助学生分析解题思路，因为一道题目可能有多种解法，解法不同意味着学生的思维方式是发散的，发散思维对于数学学习的重要性可见一斑.发散思维是指不只用一种思维解决问题，也不会只从一种角度寻找答案，教师平时应注重学生发散思维的培养，引导学生多角度进行分析与探讨.在教学时可采用一题多解的教学方式，培养学生的发散思维.

例如，已知a+b=5，ab=2，求a-b.初三的学生往往会联立a+b=5与ab=2，建立二元二次方程组，通过消去未知数b得到一个一元二次方程a2-5a+2=0，但是这个方程的解含有根号，答案较复杂，这为后面的计算增加了难度.同时，教师可指导学生观察a+b，ab和a-b的特征，引导学生联想到两个完全平方公式的数量关系，利用公式（a+b）2=（a-b）2+4ab，把条件代入即可快速简便地求出a-b的值.通过一题多解的引导，学生的思考方式能够更加变通，思维愈加发散.因此，在学生牢固掌握基础知识的前提下，教师应引导学生进行不同层次的思维发散，启发他们从更多维度探寻数学的本质，适应新时代背景下的教育目标.

总而言之，数学思维是帮助学生学好数学的关键因素之一，培养学生良好的数学思维更是教师教学的重中之重，也是数学教学中永远值得探寻的主题.教师应立足课堂，循循善诱，将数学思维渗透到每一节数学课中，不断提高学生的核心素养，为培养中国特色社会主义建设者和接班人打下坚实基础.