回归定义明层次 紧抓本质证切线

摘要：学习“圆”，离不开证明圆的切线.理解圆的切线的定义，对掌握圆的切线的证明方法至关重要，这是因为回归定义可抓住定义中的关键词，为切线证明提供思路.本文中从一道2022年的中考真题出发，探讨如何在回归定义的基础上证明圆的切线，并尝试总结圆的切线的证明方法.

关键词：定义；本质；圆；切线

在教材中，圆的切线的定义只有短短的一行字，但实际证明圆的切线时却千变万化.如何在纷繁多变的条件中快速找到突破口，是解决圆的切线证明问题的关键.纵观历年中考数学试卷，圆的切线的证明问题多有体现，且解决方法不一.由此可见，寻找并归纳圆的切线的证明方法非常有必要.

1 中考真题简放

圆是历年中考的必考内容，无论是选择题、填空题还是解答题中都有体现，有些地区还习惯将圆与函数或其他知识点结合起来命制成压轴题进行考查.

在2021年，云南、江苏无锡市，以及四川南充市、广元市、遂宁市等地的中考数学试卷中都出现了证明圆的切线问题，其中四川广元市将圆和二次函数结合起来形成了一道压轴题.

（2021·四川遂宁）如图1，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD＝CD，∠A＝30°.求证：直线AC是⊙O的切线.

在2022年，辽宁盘锦市、山东聊城市、内蒙古通辽市、江苏宿迁市、湖南衡阳市等的中考数学试卷中也出现了证明圆的切线问题，其中江苏泰州市将矩形和圆结合起来形成了运动问题.

（2022·湖南衡阳）如图2，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE//AD交CD于点E，连接BE.直线BE与⊙O相切吗？并说明理由.

2 提问设疑，回归定义

本文中重点分析与研究圆的切线证明问题，在遇到这类问题时该如何解决呢？考虑到学生在课堂中的主体地位，同时教师的教学与研究应以学生为中心，所以在探究这类问题的解决方法时，笔者与学生从圆的切线的定义开始，以教师提问设疑激发学生思维的方式，进行了如下探讨和分析.

师：什么是圆的切线？

生：过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

师：这句话中的关键词是什么？

生1：“过半径外端”“垂直于这条半径”.

生2：应该还有“直线”这个关键词.

师：非常好.为什么要过半径外端？

生1：因为如果把半径看成一条线段，它有两个端点，一个是圆心，一个是圆周上的点.前者可理解为半径内端，后者可理解为半径外端.切线和半径的交点就是这个外端的点.

师：那么如何理解“直线”这个关键词？

生2：“直线”说明切线是直线，不是线段，也不是射线.

师：半径和对应的切线有怎样的关系？

生：互相垂直.

师：所以要证明圆的切线关键在于证明什么？

生3：证明半径和这条直线互相垂直.

师：那么如何证明它们互相垂直呢？

学生思考中……

经过一番思考后，学生对如何证明半径和直线互相垂直有了如下一些思路：

思路一：利用勾股定理逆定理.这种思路通常需要知道一些边的长，然后利用勾股定理逆定理证得三角形为直角三角形.

思路二：利用全等三角形.这种思路首先需找到一个直角三角形，然后证明另一个三角形与之全等，最后证得两线段互相垂直.

思路三：利用两个锐角互余.这种思路在解决圆的切线证明问题中被普遍应用，也是当前中考考查圆的切线证明的主要方法.

3 例析解题思路

在明确了证明两条线段互相垂直的方法后，如何指导学生应用这些方法解决实际问题显得非常关键.所以，接下来以例题分析的形式展现以上方法在实际问题中的应用.

3.1 利用勾股定理逆定理

例1 如图3所示，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一点，C是圆上一点，PC=8，PB=4，AB=12.

求证：PC是⊙O的切线.

分析：观察已知的几条边PC，PB，AB不难发现，本题可利用勾股定理逆定理证明∠OCP=90°.

证明：如图4，连接OC.

∵AB=12，

∴OA=OB=OC=6.

∴OP=OB+BP=10.

在△OPC中，

∵OP=10，PC=8，OC=6，

∴OC2+PC2=OP2.

∴△OPC是直角三角形，∠OCP=90°.

∵点C在⊙O上，

∴PC是⊙O的切线.

3.2 利用全等三角形

例2 （2022·山东聊城）如图5所示，O是△ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，∠AOD=∠EOD.连接AF.

求证：AF是⊙O的切线.

分析：要证明AF是⊙O的切线，只需证明OA⊥AF，或证明∠FAO=90°.考虑到OE=OA，且有公共边OF，所以证明两个三角形全等即可.

证明：∵FC是⊙O的切线，

∴∠OEF=90°.

∵OA=OE，∠AOD=∠EOD，OF=OF，

∴△FAO≌△FEO（SAS）.

∴∠FAO=∠OEF=90°.

∵OA是⊙O的半径，

∴AF是⊙O的切线.

3.3 利用两个锐角互余

如上文2021年四川遂宁市的中考题，需将OC连接，如图6所示.因为AD＝CD，∠A＝30°，所以∠CDO=60°.因为OC=OD，所以∠OCD=60°.于是，∠ACO=30°+60°=90°.因为OC是⊙O的半径，所以AC是⊙O的切线.

4 反思与启示

在探索这几种方法之前先回归定义，从定义中明确几个关键部分，然后从中找出关键点（即证垂直）获得解题的突破口.这种思路探究方法对日后复习产生了一定启示，所以教师应做如下反思：

首先，注重定义回归，在明确层次的基础上找出关键点，从而获得解题的突破口[1].就如本文先和学生共同回归定义，找出其中的关键词.然后在分析关键词的基础上找到关键点，即证明垂直，于是接着思考“如何证明垂直”.

其次，注重学生主体性地位的体现.教师和学生共同参与到分析与探索的过程中，让学生经历整个探索过程，以更真实的体验不断丰富学习过程.同时，学生参与到整个过程中，真正成为了学习的主人，学习中所需的责任心、信心、耐心都得到了培养和提高.

最后，无论利用哪种方法进行证明，都要说明与直线或线段互相垂直的是圆的半径[2].如例1中“点C在⊙O上”、例2中“OA是⊙O的半径”和引例中“OC是⊙O的半径”，都是在证明互相垂直后，再说明半径，最后才证得切线.这一点极易被忽视，教师应提醒学生多加注意.

圆的切线的证明方法非常多，本文只对其中几种常见的证明方法做了介绍.至于其他几种证明方法，还有待于日后进行更深入的研究与分析.

参考文献：

[1]王占环.抓住本质，以不变应万变——从“圆的切线证明”领略辅助线的魅力[J].中学数学，2021（8）：68-69.

[2]华兴恒.牵线搭桥 巧证切线[J].中学生数理化（初中版.中考版），2021（11）：2-3.