一般观念下的几何探究教学的实践与思考

1 问题提出

勾股定理是初中数学的重要教学内容，它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，但勾股定理的教学设计始终是一个难点.文献[1]对该难点做了深刻的剖析：“如何让学生比较自然地想到用面积的方法探索勾股定理，用割补法验证勾股定理或用演绎的方法证明勾股定理，探究还是接受，是教材和教学面临的问题.”阅读数遍，笔者受益匪浅.章建跃博士指出，一般观念是对教学内容及其反映的数学思想和方法的进一步提炼和概括，是对数学对象的定义方式、性质指什么、怎样研究等问题的一般性回答，是研究数学对象的方法论.一般观念对学生学会用数学的方式观察、思考、分析事物以及发现和提出数学问题等都具有指路明灯的作用.针对“勾股定理”一课，笔者在一般观念的指引下，围绕教学难点，做了有益的教学实践，下面通过具体教学设计谈谈自己的想法.

2 教学设计

活动1：创设情境，引入新知.

教学组织：同学们，关于三角形，你知道什么？（生：三角形的内角和等于180°，三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.）关于特殊的三角形“直角三角形”，你还知道什么？（生：直角三角形的两个锐角互余.）这是直角三角形关于什么元素的性质？（生：角.）关于直角三角形，你还有什么猜想？（生：它的三边应该也有特殊关系.）探索直角三角形三边关系的一般路径是什么？（生：先画几个特殊的直角三角形，度量三边的长度，根据度量的结果大胆猜想，最后验证并证明，获得直角三角形三边的定理.）你是怎么知道这个研究路径的？（生：类比三角形内角和定理的研究路径.）

教学说明：引导学生在一般观念下，能自己提出研究对象及内容，类比三角形内角和定理的研究路径，搭建探究直角三角形勾股定理的基本路径，践行先行组织者的作用.

活动2：画一画、量一量、想一想.

如图1，画Rt△ABC，使得a＝3 cm，b＝4 cm，测量出c的长度.

教学组织：学生利用直尺和刻度尺画出符合要求的Rt△ABC，很快便报出c的长度（取整数）.教师追问“为什么你们测量出c的长度都是5 cm？”学生发现可用三角形全等的判定定理“SAS”说明大家所画的三角形全等，因此c的长度也是唯一确定的.教师追问“此时直角三角形三边的关系可以确定吗？”学生提出至少三个以上特殊例子才可能发现规律，自然引入画Rt△ABC，分别使得“a＝6 cm，b＝8 cm”和“a＝5 cm，b＝12 cm”，进而分别测量出c的长度.

教学说明：学生通过自己动手操作，逐步感受勾股定理的客观存在性，但同时，由于画图工具的使用过程存在一定的误差，必然激发学生的理性思考，为后面勾股定理的证明埋下伏笔，渗透科学精神.

画了三个不同大小的Rt△ABC，并测量了它们的三条边长，你有什么发现？

教学组织：有了前面的三组数据，学生很快发现直角三角形的三边a，b与c满足a2＋b2＝c2. 教师追问“如果a表示线段的长，那么a2可以表示什么？”引导学生与图形的面积建立联系，接着追问“那么a2＋b2＝c2可以怎样理解？” 分别以直角三角形的两条直角边和斜边为边向外作正方形，得到“以两直角边为边所作的两个正方形的面积之和，等于以斜边为边所作的正方形的面积”.“我们的猜想一定成立吗？为什么？”不一定，画图、度量会有误差.“如何改进我们的操作？”学生提出利用网格画图.

教学说明：在学生根据现有数据获得直角三角形的三边关系的基础上，引导学生从“式结构”自然联想“形结构”的角度认识a2＋b2＝c2，为后面证明勾股定理提供了思维方法.同时在网格中，通过计算来验证勾股定理，让学生更进一步感受勾股定理.

活动3：在网格中，任意画出格点直角三角形（三个顶点落在格点上），分别以它的三边为边长的三个正方形是否也有类似的面积关系？

教学组织：教师观察并指导学生绘制一个任意的直角三角形，然后根据这个三角形绘制相应的正方形.教师将学生的绘图展示在投影屏上，让学生分享他们寻找面积关系的过程和方法.教师给予肯定的评价，其他学生则补充了不同计算正方形面积的方法.在学生回答的基础上，总结出了一种面积计算方法，即 “割补法”.这种方法是将不在网格线上的正方形通过其顶点分别划分成四个小的直角三角形和一个小正方形，

或者通过其顶点分别划分成横向和纵向的线段，将其补成一个大的正方形，如图2所示.原正方形的面积等于这个大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积.

师生互动：

追问1：如何计算以斜边c为边的正方形的面积？你有哪些方法？

追问2：由方格纸来验证我们的发现，这种方法可以说明结论一定成立吗？ 为什么？接下来怎么办？

教学说明：学生通过在网格中画出格点直角三角形及相应的正方形，并计算正方形的面积，进一步感受勾股定理，明白仅仅依靠有限的实例来推断出一般的结论是不严谨的.教师引导学生进行更多的实例验证，为得出一般性结论提供充分的支持.同时，用“割补法”求以斜边为边的正方形的面积，为勾股定理的证明提供了思路，使数学的发现更具“必然性”.

活动4：在“几何画板”中验证勾股定理.

师生互动：笔者通过“几何画板”演示，拖动鼠标不断改变直角三角形的形状，进而改变直角三角形三条边长的数据，但它的三条边长的数据总是满足勾股定理；再次拖动鼠标将其变成一般三角形，发现此时它的三条边长的数据不满足勾股定理，感受勾股定理存在的条件.

教学说明：相较于格点直角三角形，在“几何画板”中拖动直角三角形的演示，让学生对勾股定理的认识更具有一般性，并从“数”的角度验证了勾股定理；从直角三角形到一般三角形的变化中，感受由“形”到“数”的过程，进一步认识勾股定理.

活动5：如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b.求证：AB2＝a2＋b2.

师生互动：教师提出问题，并引导学生证明勾股定理.若学生有困难，教师可引导“要表示AB2，也就是要表示什么？” “前面，我们是如何求不在网格线上的正方形的面积的？”最后展示学生的证明过程.如图4，AB2＝S正方形CFGH－4×ab×12＝（a＋b）2－2ab＝a2＋b2; 如图5， AB2＝S正方形FGHK＋4×ab×12＝（a－b）2＋2ab＝a2＋b2.同时，介绍“勾股定理”的相关历史文化.

教学说明：让学生根据“AB2， a2，b2”这些“式结构”，想到“边长分别为AB， a，b的正方形的面积” 这个“形结构”，从而自然想到用“割补法”计算边长为AB的正方形的面积，获得证明方法.整个探究过程中，学生能够体会“从特殊到一般”研究问题的方法，领悟化难为易的“数形结合”及“类比”的思想.

活动6：知识应用，解决问题.

（1）在直角三角形中，两直角边分别是15 cm，20 cm，则第三条边长；

（2）在直角三角形中，两边分别是15 cm，20 cm，则第三条边长是.

教学组织：学生先独立完成，再展示思考过程.师生共同总结应用勾股定理的关键点，加深对勾股定理的认识.

教学说明：上述问题没有给出图形，目的是让学生树立画图意识，培养画图分析习惯.同时借助对比（1）（2）两问中已知条件的差异，感受问题（2）分类讨论的必要性，明确分析此问题的方法，达到应用知识的目的.

活动7：整体架构，理清思路.

教学组织：教师提问学生，这节课我们学习了什么内容？我们是如何得到勾股定理的？教师通过不断追问，引导学生总结，同时板书框架图（图6），并进行说明.

教学说明：以框架图的形式呈现总结内容，更直观地引导学生回顾知识的探究过程，积累活动经验，感受知识的另一条“育人线”.

3 教学思考

3.1 一般观念下，建构有效的研究思路和方法

章建跃博士提出，教师在教学中引导学生主动建构探究思路和方法，“给学生一个数学框架”，可以帮助学生形成知识的结构化和整体性.教学中，笔者通过“关于三角形，你知道什么？关于特殊的三角形——直角三角形，你还知道什么？这是直角三角形关于什么元素的性质？你还有什么猜想？探索直角三角形三边关系的一般路径是什么？你是怎么知道这个研究路径的？”等问题链帮助学生主动建构探究路径，学生才能“知其然，知其所以然，何由以知其所以然”.积累数学活动经验，是提升数学素养的重要标志.

3.2 一般观念下，提高思维的系统性和结构性

数学教学的根本任务是发展学生的思维能力，说到底就是要使学生在面对问题时总能想到办法.针对“勾股定理”一课，先从几个特殊的直角三角形获得勾股定理的猜想，然后分别从“形”（网格中的直角三角形）和“数”（几何画板中的直角三角形）的角度验证勾股定理，让学生进一步感受“证明是排除怀疑的必由之路”.最后，在一般直角三角形中证明了勾股定理.在一般观念的指引下，学生在经历“实验-猜想-验证-证明”的过程中，不断建构有效的探究活动，提高思维的系统性和结构性，学生的理性精神得以发展.

3.3 一般观念下，使数学的发现更具“必然性”

如何让学生比较自然地想到用面积的方法探索勾股定理，用割补法验证勾股定理或用演绎的方法证明勾股定理，这是本节课的重点，也是难点.笔者通过设问“如果a表示线段的长，那么a2可以表示什么？那么a2＋b2＝c2可以怎样理解？”引导学生从“式结构”联想“形结构”，自然想到用面积的方法探索勾股定理；再通过设问“我们的猜想一定成立吗？如何改进我们的操作？”引导学生经历在网格中画出格点直角三角形及相应的正方形，并计算正方形的面积，同时，用“割补法”求以斜边为边的正方形的面积，为勾股定理的证明提供了思路；最后在证明勾股定理时，设问“要表示AB2，也就是要表示什么？前面，我们是如何求不在网格线上的正方形的面积的？”前后一致、自然连贯，使数学的发展和发现更具“必然性”.

参考文献：

[1]顾继玲.探究还是接受——从“勾股定理”的教学设计说起[J].数学通报，2020（1）：14-18.