一道“拓广探索”习题的教学实践探究及思考

摘要：为了突破教材中的“拓广探索”题目，通过设计引题找准原题的基本图形和问题，利用探究活动为解原题提供思想方法.根据原题具有的探索性，以及教师方式方法的引导和原题的改编拓展，培养学生思维能力，帮助学生形成解决问题的通性通法，并在活动过程中培养学生数学素养.

关键词：拓广探索；教学方法；通性通法

人教版教材的每一章后面都设置了“拓广探索”题目，是在学生所学知识基础上的拓展，有一定难度.如何利用教材资源，突破难点，体现教材“拓广探索”资源价值，并在教学过程中培养学生素养？本文中以人教版九年级上册第125页的第15题为例，谈谈笔者的做法与想法.

1 原题呈现

如图1，⊙O的直径AB=12 cm，AM和BN是它的切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点.设AD=x，BC=y，求y关于x的函数解析式，并试着画出它的图象.

2 教学过程

2.1 引题寻迹

如图2，梯形ABCD中，AD∥BC，OD，OC分别平分∠ADC，∠BCD，AB垂直BC于点B，从已有条件中你能得出哪些结论？试说明理由.

设计说明：利用开放性的问题，发散学生思维，培养学生思维习惯.面对这类问题时可以从线段关系、角的关系、面积关系、图形关系以及形状问题等方面思考，通过对简单基本图形的思考与论证，从而掌握同旁内角双角平分线模型，并从模型中提炼出对原题有用的思维方法和结论.

教师：请同学们说出得到的结论并说明理由.

生A：如图3，作OE⊥CD于点E，易证∠ODC+∠OCD=12（∠ADC+∠BCD）=90°，所以OD⊥OC.

生B：通过证明△ADO≌△EDO，△ECO≌△BCO，得CD=DE+CE=AD+BC，同时可得OA=OB=OE.

生C：根据△ADO≌△EDO，△ECO≌△BCO，得S△DOC=12S梯形ABCD.

生D：由∠A=∠B=∠DOC=90°，可得OD2=OA2+AD2，OC2=OB2+BC2，DC2=OD2+OC2.

生E：△ADO，△BOC，△ODC中三组内角分别对应相等，图形形状一样.

教师：五位同学都回答得非常好，尤其是E同学讲的“形状一样，大小不同”是后期要学的相似.而怎样才能全面得到所有结论而不遗漏呢？回顾我们研究几何图形时是从哪些方面进行探究的呢？

师生一起归纳：从边、角、对角线、形状、图形关系等方面进行探究.

边：CD=AD+BC，OA=OB=OE，OD2=OA2+AD2，OC2=OB2+BC2，DC2=OD2+OC2.

角：∠DOC=90°，△ADO，△BOC，△ODC中三组内角分别对应相等.

图形关系：S△DOC=12S梯形ABCD，△ADO≌△EDO，△ECO≌△BCO.

图形形状：△ADO，△BOC，△ODC都是直角三角形.

2.2 解题溯源

原题中隐含条件的获得是引题解题的关键，许多学生因无法有效挖掘、整理隐含条件而没有解题思路.引题是从原题分离出来的一个基本模型，包含了一些原题的隐含条件.通过引题的教学，引导学生利用分类思想全面推导了引题的结论，让学生解题时能够关联基本模型，奠定解题思路.

教师：请同学们先独立思考解答，再小组交流合作，最后派代表汇报小组的解题思路.

小组1：如图4，连接OD，OE，OC.由切线长定理，得DE=AD=x，CE=BC=y，则DC=x+y.通过引题易得∠DOC=90°，所以有（y+x）2=x2+36+y2+36，解得函数解析式为y=36x（xgt;0）.

小组2：如图4，连接OD，OE，OC.由切线长定理，得DE=AD=x，CE=BC=y.又OE⊥CD，则DC=x+y.所以，在Rt△AOD和Rt△OBC中，OD=x2+36，OC=y2+36，通过引题，易得∠DOC=90°，因此结合等面积法可得S△DOC=12×6（x+y）=12x2+36＼5y2+36，解得函数解析式为y=36x（xgt;0）.

小组3：如图5，作DG⊥BN于点G，可证四边形ABGD是矩形，则GC=y-x.在Rt△DGC中，122+（y-x）2=（y+x）2，解得函数解析式为y=36x（xgt;0）.

小组4：如图6，过点A作AH∥DC交BC于点H，可以证明四边形AHCD是平行四边形，则AH=DC=x+y，HC=AD=x.在Rt△ABH中，有122+（y-x）2=（y+x）2，解得函数解析式为y=36x（xgt;0）.

教师：以上小组展示了四种不同且非常精彩的解题方法.本题可通过构造引题中同旁内角双角平分线模型，再利用勾股定理建立方程，找出y与x之间的等量关系；也可以通过添加辅助线构造直角三角形，列出方程.在解几何题中遇到难点时，同学们要善于挖掘其中的隐含条件和结论作为突破口，同时，学会分离出的基本图形，关联基本几何模型，从而迅速解析图形，找到解题思路.

上述原题是书本中的一道拓广探索题，有一定难度.学生通过独立思考，自主探究，培养了分析问题、解决问题的能力.但也有部分学生不能通过独立探究解决问题，而是利用小组合作探究获得基本活动经验，再通过小组展示解题思路和教师归纳的思想方法，从而达到知识的迁移和内化.

2.3 改编作业

改编1 如图1，⊙O的直径为AB，AM和BN是它的切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点.

（1）若AB=12，AD=4，求BC的长度；

（2）若AB=12，BC=3，求AD的长度；

（3）若AD=4，BC=16，求AB的长度.

（4）求证：14AB2=AD·BC.

分析：本题是原题条件与结论从特殊到一般的变式，解法与原题类似.

改编2 如图7，⊙O的直径AB=12，AM和BN是它的切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，若AE∥OC，设AD=x，BC=y，求y关于x的函数解析式.

解法分析：如图8，连接OD，OE.由AE∥OC，OA=OE，可得∠BOC=∠EOC，则可证△BOC≌△EOC，△AOD≌△EOD，所以∠DOC=90°.由勾股定理，可得（y+x）2=x2+36+y2+36，解得xy=36，所以该函数解析式为y=36x（xgt;0）.

改编3 如图9，在梯形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，AD＼5BC=14AB2=36，DC=AD+BC，是否存在一个圆与梯形的三边AD，DC，BC相切？若存在，请求其出半径;若不存在，请说明理由.

解法分析：如图10，以AB中点为圆心，AB为直径作⊙O，作OE⊥CD于点E，连接OD，OC.设AD=x，BC=y，则DC=AD+BC=x+y，AD＼5BC=xy=36.由题意∠DAB=∠ABC=90°，OA=OB=r=6，则DA，BC与⊙O相切.由勾股定理，得OD=x2+36，OC=y2+36，则OD2+OC2=x2+36+y2+36=x2+y2+2xy=（x+y）2=CD2，故∠DOC=90°.又因为OE⊥CD，所以可得S△DOC=12OE＼5（x+y）=12x2+36＼5y2+36，即OE2＼5（x+y）2=（x2+36）（y2+36），解得OE=6，则OE为⊙O半径.所以⊙O与DC相切，则⊙O为所求圆，其半径为6.

改编4 如图11，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠B=90°，以CD为直径的⊙O与AB相切于点E，AB=6，设AD=x，BC=y，求y关于x的函数解析式.

解析：如图12，连接OE，ED，EC.由AB是切线，得OE⊥AB，易证AD∥BC∥OE.由O是DC的中点，可以得到OE=12（AD+BC）=12（x+y），则CD=x+y.由平行线+等腰三角形可证角平分线模型，可得ED，EC分别平分∠ADC，∠BCD，于是∠EDC+∠ECD=12（∠ADC+∠BCD）=90°，所以∠DEC=90°.由勾股定理，可得（x2+32）+（y2+32）=（x+y）2，解得xy=9.故函数解析式为y=9x（xgt;0）.

改编5 如图13，已知四边形ABCD的内切圆⊙O与AB，BC，CD，AD分别相切于点E，F，G，H，AD∥BC，⊙O的半径为4，设AH=a，BF=b，FC=c，HD=d.

（1）若a=4，c=2，求b，d的值.

（2）求a，b，c，d之间的等量关系.

（3）若a=c，试用b表示出四边形ABCD的面积，并求出其最值.若没有，请说明理由.

解析：（1）如图14，连接OH，OF，易证HF是⊙O的直径且垂直AD和BC.根据原题结论易得ab=16，cd=16，得b=4，d=8.

（2）由原题结论，易得ab=cd=16.

（3）由ab=cd=16，a=c，得b=d，则AD=BC=a+b.根据切线长定理，易得四边形ABCD是边长为a+b的菱形，所以四边形ABCD面积为BC·HF=（a+b）·8=8b+16b.因为bgt;0，则b-8+16b=（b）2-2b·4b+4b2=b-4b2≥0，所以b+16b≥8.四边形ABCD的面积有最小值，且最小值为64.

多样的改编，让每个学生都能匹配到适合自己的作业，巩固拓展，提高学生用发展变化的数学眼光观察问题的能力，培养创新意识.

3 教学思考

3.1 找准引题，挖掘“拓广探索”的源头

人教版教材的每一章后面都设置了“拓广探索”题目，是在学生所学知识基础上的拓展，有一定难度，因而大部分学生有畏难心理.而这时找到题目的源头，是一个基本模型，或是平常常见题型的拓展，将它作为引题，既降低了难度，让更多学生参与解题，提高学生积极性，又让学生在探索引题过程中通过开放式的提问获得多种结论和探究方法，为后面解答改编拓展题提供了方式方法.

3.2多样改编，形成通性通法

“拓广探索”题目的教学绝不只是教会学生解一道题，而是会利用教学探究活动获得的经验及学到的方式方法解一类题.改编拓展题的设计首先是将条件与结论从特殊到一般进行改编，有利于学生由浅到深，由现象到本质逐渐积累对问题的认识，从而发现其特点，掌握规律；再通过条件与结论的互换，改变梯形与圆的位置、梯形的形状等方法进行改编.将同一个问题放在不同情境下，学生通过理清条件结论，找到数量关系，选择数学模型，在不同的条件结论中找到相同规律的解题模式和思想方法，形成通性通法.

3.3 注重探究过程、方法引导，发展数学素养

《义务教育数学课程标准（2022年版）》［1］强调：“核心素养是在数学学习过程中逐渐发展和形成的.”引题中利用开放性提问，让每个学生都能通过自主探究收获结论，通过小组合作互助、交流及评价增加活动经验.引导学生利用分类的方法将结论分类、分离基本图形、关联基本几何模型等，能够促进学生合理构建自己的知识网，丰富运用数学知识的方式方法，从而提高分析和解决问题的能力，发展学生数学素养.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S]北京：北京师范大学出版社，2022.