直观图在初中数学问题解决教学中的应用策略

【摘要】在初中数学教学中，问题解决教学不仅是重点，更是难点.数学问题具有一定的抽象性，对于学生来说具有一定的难度.直观图能将数学问题中抽象化的数学语言进行具象化表征，从而帮助学生进行顺利解题.文章首先阐述了直观图的定义，并分析了其具有直观性、简洁性、启发性和普适性的特点，其次分析了直观图在初中数学问题解决教学中的作用，最后详细论述了直观图在初中数学问题解决教学中的应用策略，包括进行直观表征，精准映射概念；借助直观分析，解构问题脉络；引导直观解释，理清逻辑过程；引发直观探索，激发创新思维，以期利用直观图提高学生的问题解决能力，促进他们数学核心素养的提升.

【关键词】初中数学；直观图；问题解决能力；策略应用；数学素养

引 言

随着新课程改革的不断深化，培养学生的核心素养已成为教育领域的核心议题.初中数学问题解决教学是培养学生思维能力、提升核心素养的重要方式.然而，面对数学中那些抽象的概念与复杂的问题，学生往往感到力不从心.直观图以直观、简洁的表征方式，能将原本晦涩难懂的数学知识具象化，使学生更轻松地理解并掌握.同时，在初中数学问题解决教学中，直观图的应用不仅能够帮助学生更好地把握问题的本质，还能激发他们的学习兴趣，引导他们主动探索、积极思考.

一、直观图的定义与特征

直观图就是指通过图形、图表、模型等一系列视觉元素来直接展示数学概念、原理及问题的表征方式.直观图能将原本抽象、复杂的数学语言转化为直观、形象、易于理解的图像形式，为学生搭建起一座从抽象到具体、从理论到实践的桥梁.

直观图融合了数学的符号、公式、定理等元素，以视觉化的方式呈现出来，能够帮助学生在观察、分析和思考的过程中，逐步构建起对数学知识的深刻理解和认知.直观图具有以下几个显著特征.

（一）直观性

直观图的最大特点在于其直观性.视觉是人类获取信息的主要途径之一，而直观图正是利用了这一特点，将复杂的数学关系以直观的形式展现出来.学生在面对直观图时，可以迅速捕捉到问题的核心和关键信息，从而避免了在抽象文字间徘徊不前的困境.这种直观性不仅降低了学生的理解难度，还提高了他们的学习兴趣和积极性.

（二）简洁性

在信息化时代，简洁性成了一种难能可贵的品质.直观图通过精炼的图形表达了复杂的数学信息，减少了冗余的文字描述和解释.这种简洁性不仅使直观图本身更加美观大方，还提高了信息传递的效率.学生在阅读直观图时，可以更加专注于核心内容的理解和思考，从而提高了学习效率.

（三）启发性

直观图不仅具有直观性和简洁性，还具有启发性.直观图中的每一个元素、每一条线条都可能引发学生的联想和思考.学生可以通过观察直观图中的图形、颜色、布局等元素来发现数学规律、构建数学模型或提出新的问题.这种启发性不仅激发了学生的探索欲和创造力，还培养了他们的数学思维和解决问题的能力.

（四）普适性

直观图的普适性体现在其广泛的应用范围.无论是代数、几何还是概率统计等各个数学领域，都可以运用直观图进行辅助教学.在代数中，直观图可以帮助学生理解函数关系、方程求解等概念；在几何中，直观图则成为描述形状、大小、位置等关系的重要工具；在概率统计中，直观图则用于展示数据的分布、趋势等特征.这种普适性使得直观图成了一种不可或缺的教学资源.

二、直观图在初中数学问题解决教学中的作用

直观图在初中数学问题解决教学中发挥着举足轻重的作用.它不仅能够简化学生对问题的理解，降低认知难度；还能够促进学生的思维发展，培养他们的解题能力.

（一）简化问题理解，降低认知难度

对于初中生而言，数学知识中的许多概念、公式和定理都较为抽象，难以直接把握.而直观图则能够将这些抽象的内容转化为具体的图形或图像，促使学生一目了然地看到问题的本质.如：在解决几何问题时，教师通过绘制直观的几何图形，可以让学生清晰地看到图形的形状、大小、位置关系等，从而更容易地理解题目的要求，找到解题的突破口.这种直观呈现的方式，不仅降低了学生的认知难度，还提高了他们解题的准确率和解题效率.

（二）促进思维发展，培养解题能力

学生通过观察和分析直观图，可以从中发现数学问题的内在规律和联系，进而形成自己的解题思路.这种从具体到抽象的思维过程，不仅锻炼了学生的逻辑思维能力，还培养了他们的创新能力和问题解决能力.同时，直观图的应用还鼓励学生进行多角度、多层次的思考，从而在解决问题的过程中不断积累经验，提升数学素养.如：在解决函数问题时，学生通过绘制函数图像，就可以直观地看到函数的增减性、极值点等关键信息，从而更容易地找到解题的方法.

三、直观图在初中数学问题解决教学中的应用策略

在初中数学问题解决教学中，直观图作为一种重要的辅助教学工具，具有不可替代的作用.教师可以通过直观表征，将抽象的数学概念精准地映射为可视化的图形或图像，帮助学生深刻把握概念的本质属性.同时，教师可借助直观图的直观性，帮助学生解构复杂数学问题的脉络，降低理解难度，提高解题效率.此外，教师还可以借助直观图引导学生进行直观解释，理清数学推理的逻辑过程，使他们更好地理解和掌握数学规律.最后，教师还可以运用直观图激发学生的创新思维，引导学生进行直观探索，从而拓宽视野，培养解决问题的能力.

（一）进行直观表征，精准映射概念

直观图为概念的精准映射提供了强有力的支撑.直观表征能够将抽象的数学概念转化为可视化的图形或图像，这一过程不仅促进了学生对概念本质属性的深刻把握，还为他们构建起了概念与图形之间的紧密联系.同时，直观图能够精准地映射出概念的内涵与外延，使学生在面对复杂多变的数学问题时，能够迅速准确地调用相关概念.

例如，在教学“一次函数”一课时，教师可以先基于“登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km，气温下降6℃”这一问题情境引出函数解析式y=5-6x，然后与正比例函数进行比较，再利用表格直观展示不同x值对应的y值变化.

在这个表格中，x值代表海拔升高的千米数，y值代表对应的气温.通过表格，学生可以直观地看到随着海拔的升高（x值的增大），气温逐渐降低（y值的减小）.同时，由于气温下降的速度是固定的（每升高1km下降6℃），因此y值随x值的变化呈现出一种线性的关系，即y值的变化量是固定的（-6）.这个表格不仅帮助学生理解了函数解析式y=5-6x的实际意义，还通过直观的数据展示，使学生轻松理解了一次函数中变量之间的线性关系.学生能够在观察和分析中逐渐建立起对一次函数基本特征的初步认识.在学生理解了一次函数及其解析式的意义、能辨别正比例函数与一次函数的区别与联系、能用一次函数解决简单的实际问题后，教师可进一步引入坐标图这一强大的直观工具.通过在坐标系中绘制出一次函数的图像——一条直线，学生得以直观地看到函数随自变量变化而呈现出的线性变化趋势.这一过程中，教师不仅展示了直线如何随着x的增大或减小而上升或下降，还通过改变直线斜率（即“k”值）和截距（即“b”值），让学生深刻体会到这两个参数对函数图像的具体影响.坐标图的运用，使学生能够在视觉的引导下，更加深入地理解一次函数的本质属性.

从以上案例可以看出，直观表征作为培养数学问题解决能力的首要策略，其重要性不言而喻.通过这一策略的实施，学生得以在直观图的辅助下，实现对数学概念的精准映射与深刻理解.这一过程不仅丰富了学生的认知结构，还为他们后续的数学学习奠定了基础.

（二）借助直观分析，解构问题脉络

每一个数学问题都需要学生运用智慧去探索与解决.通过直观图的引入，学生可以将复杂的数学问题解构为一系列简单直观的图形或图像，进而清晰地看到问题的脉络与结构.这种化繁为简、化抽象为直观的过程，极大地降低了学生理解问题的难度，提高了他们解决问题的效率.直观分析不仅帮助学生把握了问题的整体框架，还为他们提供了深入剖析问题细节的途径，为问题的最终解决提供了有力支持.

例如，在教学“从算式到方程”这一课时，教师可出示以下习题：“晚饭后，爸爸从家里出发去公园散步，速度大约是每分钟80米.5分钟后，小明从家里出发去追赶爸爸，速度大约是每分钟180米.小明追上爸爸用了多长时间？”教师引导学生对已知条件和所求问题进行梳理，随后让他们独立尝试解决.有的学生用了算术方法：80×5=400（米），180-80=100（米/分），400÷100=4（分）；有的学生则“设小明追上爸爸用了x分”，借助线段图来分析（如图1），从而将复杂的动态过程转化成为静态的图形展示.

从线段图上能够一眼看出，当小明追上爸爸时，他们所走的总路程是相等的，这是解决问题的关键等量关系.从图1还可以看出，在这x分钟内，爸爸走了80x的距离，而小明则走了180x的距离.由于爸爸比小明多走了5分钟的路程，所以可以得到数学表达式：80x+80×5=180x.教师引导学生比较两种方法时，学生清晰地认识到，借助直观图分析问题，更容易准确把握关键的等量关系，再根据等量关系列出方程，也就解决问题了.

以上案例中，学生在直观图的引导下，对数学问题进行了深入的剖析与解构，从而清晰地把握了问题的脉络与结构.这一过程不仅锻炼了学生分析问题与解决问题的能力，还培养了他们的逻辑思维与批判性思维.教师应高度重视直观分析在数学教学中的应用，让它成为学生探索数学的得力助手.

（三）引导直观解释，理清逻辑过程

数学逻辑的力量是推动知识发展的不竭动力，而直观解释则是展现逻辑之美的重要途径.通过直观图的运用，学生可以将复杂的数学推理过程转化为直观易懂的图形或图像序列，从而清晰地展示出逻辑推理的每一个步骤与环节.这种直观化的解释方式，不仅有助于学生更好地理解数学推理的内在逻辑与规律，还为他们提供了检验与反思自己推理过程的机会.直观解释让学生仿佛置身于逻辑推理的现场，亲身体验着数学思维的魅力.

例如，在教学“完全平方公式”这一课时，教师引导学生从几何角度进行推理，为其理解这一公式提供了直观而有力的支持.首先，教师出示一个边长为“a+b”的正方形，其面积可以通过两种不同的方式计算.一种是直接用正方形面积公式，即边长的平方，得到（a+b）2，转化为（a+b）（a+b）后，再利用乘法分配律可以得到a2+2ab+b2.另一种方式是将这个正方形分割为几个不同的部分，分别计算面积后再相加.通过这种几何分割的方法，可以清晰地看到大正方形被分割为一个边长为a的正方形、一个边长为b的正方形以及两个长为a、宽为b的长方形（如图2）.分别计算这些部分的面积，即a2，b2和2ab，相加后得到a2+2ab+b2.这说明a2+2ab+b2和（a+b）2都表示同一个正方形的面积，所以他们是相等的.通过几何图形进行的解释，不仅让学生直观地看到了完全平方公式的几何意义，更深刻地理解了公式的由来.随着学习的深入，教师还引导学生对于类似公式（a-b）2进行猜测验证.这种由一个例子引发的联想和思考，有助于培养学生的自主探究能力和逻辑推理能力.

通过直观图的辅助，学生能够以更加直观、清晰的方式解释数学推理的逻辑过程，这不仅加深了他们对数学知识的理解与掌握程度，还培养了他们的逻辑思维与表达能力.教师应积极引导学生运用直观图进行逻辑解释训练，让学生在直观与逻辑的双重滋养下茁壮成长.

（四）引发直观探索，激发创新思维

创新是推动人类社会向前发展的不竭源泉，而直观探索则是激发学生创新思维的有效手段.通过直观图的引导与启发，学生可以自由地在数学的世界里进行探索与发现.他们可以借助直观图尝试从不同的角度、用不同的方法去审视与解决数学问题.这种探索性的学习过程不仅拓宽了学生的视野与思路，还激发了他们的好奇心与求知欲.

面对这个问题，学生首先需要理解题目中的分割规律，并尝试将其转化为直观的图形表示.通过绘制正方形并依次进行分割，学生可以清晰地看到每个部分面积的变化趋势（如图3）.在这个过程中，学生学会了如何将抽象的数学关系转化为直观的图形语言.

从以上案例可以看出，直观探索对于激发学生的创新思维具有不可替代的作用.通过直观图的引导与启发，学生能够勇敢地走出传统思维的束缚与限制，在数学学习中大胆创新.教师应充分发挥直观图的优势与特点，积极为学生创造探索与创新的机会与条件，让数学成为他们展现智慧与才华的平台.

结 语

综上所述，直观图在初中数学教学中具有不可忽视的作用.通过直观表征、直观分析、直观解释和直观探索等策略的运用，能够为学生搭建起从抽象到具体、从困惑到清晰的桥梁.这不仅有助于学生更好地理解和解决数学问题，更能够在潜移默化中培养其数学思维和创新能力.因此，教师应进一步深入研究直观图在数学教学中的应用，不断完善和优化教学策略，以适应教育发展的新需求，为提升学生的数学综合素养创造更有利的条件.

【参考文献】

[1]辜敏霞.借助几何直观，培养核心素养[J].中学数学，2024（14）：61-63.

[2]朱敏龙.核心素养下数学教学中的六个“不等式”[J].中学数学杂志，2018（10）：1-4.

[3]鲁艳.初中数学教学中几何直观能力培养探析[J].求知导刊，2023（31）：95-97.