指向数学文化的问题链教学设计

摘要：本文中以问题链为抓手、数学文化为指向、数列为研究对象开展教学设计研究，力争达到新课标对培养学生数学文化的要求.

关键词：数学文化；问题链；等比数列

1 数学文化与问题链

1.1 数学文化的涵义

在不同时期，人们对于数学往往有不同的见解.19世纪，恩格斯将数学看作是“研究现实世界的数量关系和空间形式的科学”.随着现代科学技术和数学学科的发展，数学有了更丰富的内涵和外延，进入信息时代，人们又将数学概括为一种语言符号、逻辑、关系结构等，认为数学是一种文化体系，作为人类精神产品之一，独立地成为人类所创造的文化组成部分.数学作为一种文化现象，早已是人们的常识，但是究竟什么是数学文化，并没有统一的定义.《普通高中数学课程标准（2017年版）》中对数学文化进行了界定：“数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成与发展；还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献及意义，以及与数学相关的人文活动.”

1.2 问题链的涵义

问题链从字面意思来看，就是将一个问题接着一个问题串起来，并且每一个问题都指向核心问题，指向教学目标.它像“链条”一样将问题情境与最终的教学目标紧密联系在一起，步步深入，驱动学生去探索，去思考，促使得学生经历数学知识形成发展的全过程，在解决每一道数学问题的过程中，引导学生思维的发展，促进学生的深度学习.但问题链不等同于与多个问题的单纯累加，而是一组系统的、具有梯度的、有顺序的、相互独立的问题群，其作用效果远大于多个问题单纯相加.

1.3 问题链的可行性

1.3.1 数学文化融入教科书的方法

基于对文献的查找和教材的分析，发现数学文化融入教科书主要有四种方式.第一种，通过每章最后的“阅读与思考”栏目进行数学文化的渗透.这一板块主要适用于呈现某一知识体系的发展与形成脉络、数学对人类历史的贡献和意义、数学的人文价值等内容.例如，在“数列”这一章节的“阅读与思考”板块就介绍了中国古代数学家刘徽、沈括、杨辉等人对于数列求和的不同算法.第二种，通过“旁白”的形式进行数学文化的渗透.旁白方式即指分布在正文左右两侧的内容，它作为主体内容的附属形式，主要起到补充说明的作用.旁白主要适用于表现数学文化中的一些特色元素，如特殊符号、典籍以及人物简介等.例如，在“一元函数的导数及其应用”这一章节中，通过旁白对“以直代曲”这一思想方法作了介绍.第三种，通过“问题”这一路径进行数学文化的渗透.这里的“问题”包括例题、练习、习题三个板块，教科书中主要通过选取典型问题和方法编制成教材的例习题.通过将某一概念、公式、定理的发展与问题解决结合起来编制成题等方法，促使学生在做题的过程中感受数学文化.例习题方式适用于展示数学发展过程中著名的问题与方法，如鸡兔同笼问题.第四种，通过“文献阅读与数学写作”栏目渗透数学文化.这是2019新人教A版高中数学教材新增添的一个极具特色的数学文化栏目.因此，从数学文化融入教科书的方式中，尤其是第三种方式通过“问题”融入数学文化，我们清楚地感知到可以将问题链作为载体进行数学文化教学.

1.3.2 数学实践是体现数学文化的途径

活动性是数学文化学习的基础特征，通过实践体现数学文化是一条重要途径.那么，怎样让学生进入到实践的状态中并且保持下去？不妨从问题链入手，借助一个接一个具有梯度的、有顺序的、相互独立、难度逐步上升的问题，将学生的思绪紧紧聚集在所要探究的问题之中，使得学生一直保持在有价值的教学实践中.利用问题链吸引学生参与到教学实践之中，通过问题引导学生经历数学在其产生发展过程中遇到过的困难，体会到数学发展中的文化价值，进而投入到为解决问题而开展的数学探究中.总之，通过教师精心打磨的问题，学生有了探究性学习的平台，进而在实践中体会到数学中的文化意蕴[1].因此，在数学教学中，可以将问题链作为让学生进入探究性学习并彰显数学文化的抓手.

2 基于数学文化的问题链教学设计

2.1 教材分析

“等比数列”是人教A版选择性必修第二册第四章第三节的内容，它是在学习了等差数列后的又一个特殊数列，因此可以类比等差数列的研究，发现其取值规律.等比数列与现实生活密切相关，并且其经典问题丰富，易于编制成教材的例题、习题，通过“问题”的方式渗透数学文化.在本节课的学习中，学生感受到数学模型的现实意义与应用，了解到数列与函数的异同，体会数学的整体性.

2.2 学情分析

现阶段的学生虽然具备一定的逻辑思维能力，但对问题的抽象分析以及数学思维的局限性，使得他们在等比数列通项公式的推导中存在一定的困难，因此需要类比等差数列的概念，从问题情境中寻找规律，推导出等比数列的概念.

2.3 教学目标

（1）了解等比数列的定义及其通项公式.

（2）通过类比等差数列得到等比数列的概念和通项公式的推导过程，提高观察、归纳、数学建模、逻辑推理能力.

（3）通过具体实例，体会数学与现实生活息息相关，感受到数列的形成发展过程.

2.4 教学过程

（1）设置情境，呈现问题

问题1《庄子·天下篇》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”这句话是什么意思呢？如果将“一尺之棰”的长度看成单位“1”，每天得到的“棰”的长度是多少[2]？

问题2在假设的情况下，某种细菌每20分钟就分裂繁殖一代，那么这个细菌从第一次分裂开始，每次分裂产生的后代个数分别是多少？

问题3某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年年末得到的本利和分别是多少？

师生活动：教师通过PPT展示问题，学生互相讨论得出答案.

设计意图：问题1是《庄子·天下篇》的著名诗句，其中既包含了极限思想，又包含了辩证思想，创设了数学文化情境；问题2与生物学细胞分裂知识相关联；问题3与金融知识相联系，并且引入了“复利”这一经济学概念，使学生体会到数学文化与其他领域的联系.通过这样三个问题的引入，在促进数学抽象、数学运算等数学学科核心素养发展的过程中，促使学生感受数学与我们日常生活的紧密联系，体会数学的文化属性，潜移默化地渗透数学文化.

（2）问题链驱动，形成新知

问题4观察前面得到的三个数列，从它们各自的数量关系进行分析，能得到什么吗？

问题5类比等差数列的定义，是否能得到一类新的数列？

设计意图：通过观察，类比等差数列的定义，对三个数列进行数量关系规律的分析.体现了由特殊到一般的过程，使得学生感受到归纳类比的数学思想.

问题6能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？

师生活动：学生独立思考，小组讨论，在教师的提示下，类比等差数列通项公式推导过程，用叠乘法得出等比数列的通项公式.

设计意图：[JP+1]在推导等比数列通项公式的过程中，培养学生的合情推理能力，体现数学思想方法的运用，培养学生的逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养.

（3）问题主导，深化理解

问题7等比数列的性质有哪些？（回顾等差数列的性质.）

师生活动：学生独立思考，教师提问，邀请学生代表回答，逐个进行证明.

设计意图：在探索等比数列性质的过程中，辨析等比数列与等差数列的异同，培养学生数学运算、逻辑推理能力.

问题8由等差数列与一次函数的关系，能得到等比数列与某种函数之间的关系吗？

师生活动：通过画图，探究等比数列与指数函数之间的联系.归纳出公比q＞0且q≠1的等比数列{an}的图象特征.

设计意图：感受数列与函数的共性与差异，认识到数列是一种特殊的函数.

（4）知识应用

练习：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，尖头若有灯三盏，底层则有灯几盏？

设计意图：此题出自古代数学名著《算法统宗》，并在此基础上进行了改编，以传统文化为背景考查等比数列通项知识的应用.

2.5 总结反思

新课标指出在教学过程中教师要注重培养学生独立思考、积极探索的学习习惯，在“以学生为主体”的教学理念下，使

教育服务于学生的发展，并且可以通过采取不同的学习方式，引发学生的学习兴趣.因此在这节课中坚持“以学生为主体，

教师为主导”这一教学理念，即在教学活动中教师担任引导者、指导者和合作者的角色，鼓励学生自主学习和探究，并且在

教学过程中以问题作为载体全程渗透数学文化.本节课的学习不仅使学生掌握住知识，并且潜移默化中培养了学生的数

学文化素养，提高了学生的民族自豪感.但是，由于笔者实践经验不足，时间有限，在整个教学设计中还是存在一定的问题.

参考文献：

[1]唐恒钧.数学文化的教学意蕴及问题链的价值[J].中小学课堂教学研究，2022（7）：4-7.

[2]张蜀青.数列教学中的数学思想之光[J].数学通报，2021，60（2）：45-48.