基于教材建模型 强化思维显本质

尹伟 孔祥骞

【摘  要】  初中数学学业水平考试命题依据义务教育数学课程标准，围绕教材中的基本图形和探究题展开，将线段、三角形、平行四边形、一次函数、二次函数等核心知识有机结合，立足教材、基于经验、重视探究、拓展思维、诱发思考、强化运算、指向素养，实现以考促评、以评引教、以教导学，充分发挥数学学科育人功能．

【关键词】

立足教材；关注本质；数学思维；核心素养

试题的命制与评价应依据学业质量标准和课程内容，注重对学生核心素养的考查，综合考量学生的思维习惯与数学水平，以评促学，充分发挥数学学科的育人价值，引领学生带着饱满的热情投入数学知识的学习与探究中［1］．线段、三角形、平行四边形、抛物线等图形是初中数学教材中常见的图形，将这些基本图形组合在一起，整体把握图形间的联系，可以综合考查学生运用基础知识和基本技能分析、解决问题的能力．2023年山东省济宁卷第22题的设计立足教材、把握基础，旨在挖掘数学知识的内在联系，突出数学内容的结构性、整体性、一致性，让学生亲身经历图形的变换，从运动的视角寻求变化过程中一般到特殊的规律，探索图形之间的联系用以解决问题，考查学生的抽象能力、运算能力、几何直观、推理能力、模型观念、应用意识、创新意识等核心素养，同时引领教师立足发展学生核心素养实施数学教学．

1  真题呈现

如图1，直线y=-x+4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为x=32的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A．P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若0＜m＜32，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？

（3）若m＜32，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN=2ME？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

图1        备用图

2  试题简析

（1）y=-x2+3x+4．

（2）如图2，由题意知PN∥CD，所以当PC∥MN时，四边形CDNP是平行四边形．

过点P作PG⊥y轴，垂足为G．易知∠PCG=∠NDO=∠PNM，∠PGC=∠MPN=90°，故得△PCG∽△MNP，所以PGMP=GCPN．设点P坐标为（m，-m2+3m+4），则M（3-m，-m2+3m+4）．所以PG=m，MP=3-m-m=3-2m，PN=-m2+3m+4，GC=GO-OC=-m2+3m+4-4=-m2+3m，

所以m3-2m=-m2+3m-m2+3m+4，

解得m1=6-213，m2=6+213>32（舍）．

故当m=6-213时，四边形CDNP是平行四边形．

（3）存在m=3-52或m=5-1816，MN=2ME．理由如下：

图2

如图2，设PN与直线BC的交点为F，过点M作MH∥PN交直线BC于点H．

设点P坐标为（m，-m2+3m+4），则M（3-m，-m2+3m+4），H（3-m，-（3-m）+4），F（m，-m+4）．

①当点E为线段MN的中点时，此时ME=EN． FN=yF-yN=-m+4-0=-m+4，MH=yM-yH=-m2+3m+4-（m+1）=-m2+2m+3．

易证△ENF≌△EMH，所以FN=MH．故-m+4=-m2+2m+3，

化简得m2-3m+1=0．解得m1=3-52，m2=3+52>32（舍）．

图3

②如图3，当点E在线段NM的延长线上时， MN=2ME，此时EMEN=13．

FN=yF-yN=-m+4-0=-m+4，

MH=yH-yM=（m+1）-（-m2+3m+4）=m2-2m-3.

易证△EMH∽△ENF，所以MHNF=EMEN=13．所以m2-2m-3-m+4=13，整理得3m2-5m-13=0，解得m1=5-1816，m2=5+1816>32（舍）．

综上所述，当m=3-52或m=5-1816时，MN=2ME．

3  命题过程

3.1  源起：课本基本图形和习题

试题的内容素材来源于人教版义务教育教科书数学九年级上册第39页的图形（如图4）及探究活动（方框内容）．虽然解三元一次方程组是选学内容，但命题组在此基础上进行了再创造，先求二次函数解析式，设置已知二次函数图象与y轴的交点，这样既规避了借助解三元一次方程组求二次函数解析式，将选学内容转化为课程标准规定的内容，又可以让学生通过多种思路求解，增强了题目的灵活性、方法的多样性，实现“不同的人在数学上得到不同的发展”，很好地落实了初中数学学业水平考试试题的评价功能．再引入二次函数图象上的动点P，引出几何图形的构建，然后发现动点P运动导致D，M，N，E运动，此时猜想：①点E是否可以是MN的中点？②P，C，D，N四个点围成的四边形可否是平行四边形？此思路主要是考查运动变化中线段的中点及平行四边形的存在性，增强题目探究性、创新性，切口小、易入手，利于学生解答．基于此设计命制出压轴题第一稿．图4

探究

我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式．对于二次函数，探究下面的问题：

（1）由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？

（2）如果一个二次面数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式．

图5

一稿  如图5，直线y=-12x+5交x轴于点B，交y轴于点C，经过B，C两点的抛物线交x轴负半轴于点A，P为抛物线上一动点，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，交直线BC于点F；直线MN交y轴于点D，交直线BC于点E．已知抛物线的对称轴为x=4，点P的横坐标为m（m＜4）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当m为何值时，E为MN的中点？

（3）是否存在以C，D，P，N四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

3.2  探究：线段中点和平行四边形的存在性

第（1）题求二次函数的解析式，属于常规题型，学生能从题干中抓住已知条件进行分析推理，运用待定系数法容易求出二次函数的解析式．具体思路为：由题干知B，C两点的坐标为B（10，0），C（0，5），根据对称轴是直线x=4，可以得到点A的坐标为（-2，0），这样可以从这4个条件中灵活选择其中的3个条件，设二次函数解析式的不同形式，运用待定系数法即可求解．

第（2）题探究“m为何值时，E为MN的中点？”属于中等难度，以中点为突破口，添加辅助线构造全等三角形或者三角形的中位线，通过线段的数量关系，运用线段与点坐标之间的关系计算即可得到结论．

第（3）题是平行四边形的存在性问题，要使“以C，D，P，N四点为顶点的四边形为平行四边形”，结合题干给出PN与CD的位置关系“PN∥CD”，只需根据平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”或者“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”入手即可，即还需满足PN=CD或者PC∥DN．入口比较直接，先根据四个点的位置进行分类讨论，组成的四边形可能是“四边形CDNP”或“四边形CDPN”．根据图中给出的一种情况进行分析，找出各点之间的联系，可将线段位置关系转化成角相等，将线段长度用端点的坐标表示，通过构造相似三角形或者借助直角三角形中锐角三角函数进行计算，进而求解，进一步体现转化与化归和数形结合的思想．

3.3  科学：线段倍分关系渐呈现

通过计算发现，当点P在第四象限时，借助相似三角形的相似，可以得到m满足的关系式，列出方程进行求解.运用几何画板演示发现此时满足条件的点P是存在的，但反复计算发现当m<0时得到的是关于m的一元三次方程，超出初中学生的计算水平．再次通过几何画板演示，改变点P的位置时，发现点P在抛物线对称轴右侧时也存在类似的情形，故第（3）题这样设计不科学，必须重新设计，以达到课程标准规定的学生认知水平．

于是，将第（3）题探究平行四边形的存在问题修改为“四边形CDNP是平行四边形”，这样更科学，不需分类讨论，同时还降低了难度．为了更加严谨，限制点P的运动路径仅为第一象限内对称轴左侧，即添加条件“0＜m＜4”．这样难度降低，有利于学生解答，考查学生几何直观、推理能力及运算能力等核心素养，于是将“当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形”调整到第（2）题的位置，这样就需重新设计第（3）题．

在第一稿第（2）题的基础上，命题者还是想围绕点M，N，E的运动寻找突破口进行设计．运用几何画板拖动点P发现，M，N，E三点也是动点，运动过程中除了存在点E为线段MN中点的情况，还发现当点E在线段MN外时，可能存在ME=NE或者EM=MN这两种数量关系，因此，结论“MN=2ME”应运而生．命题者思考在同一直线上线段的数量关系可以借助构造全等三角形或者相似三角形进行研究，整体难度适中，考查学生推理能力、几何直观、运算能力及应用意识等核心素养，调整设计方案得到压轴题第二稿．

图6

二稿  如图6，直线y=-12x+5交x轴于点B，交y轴于点C，经过B，C两点的抛物线交x轴负半轴于点A，P为抛物线上一动点，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，交直线BC于点F；直线MN交y轴于点D，交直线BC于点E．已知抛物线的对称轴为x=4，点P的横坐标为m（m＜4）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）0＜m＜4时，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？

（3）m＜4时，点P运动的过程中，是否存在MN=2ME？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

经过反复试做与商讨，认为该题对知识点、基本思想方法和核心素养等方面的综合考查比较明晰，但计算难度与计算量偏大，估计多数学生在有限的时间内很难完成答题，仍需要进一步调整．

3.4  优化：调整数据简化计算

命题组反复推敲，尝试对题干中二次函数与一次函数的解析式进行简化，旨在继续降低计算难度，这符合减少繁琐运算的命题原则．具体改进如下：把一次函数解析式修改为y=-x+4，这样A，B，C三点的坐标随之改变，二次函数的解析式也比较简单，求解后为y=-x2+3x+4．如此以来，此题计算量大大减少，更加贴近学生的总体认知水平，而且可以节省做题时间．这样修改题干中有关数据后得到本题的第三稿．

三稿  如图7，直线y=-x+4交x轴于点B，交y轴于点C，经过B，C两点的抛物线交x轴负半轴于点A，P为抛物线上一动点，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，交直线BC于点F；直线MN交y轴于点D，交直线BC于点E．已知抛物线的对称轴为x=32，点P的横坐标为m（m＜32）．

图7        备用图

（1）求抛物线的解析式；

（2）0＜m＜32，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？

（3）m＜32，点P运动的过程中，是否存在MN=2ME．若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

3.5  严谨：语句严谨图形美观

试题基本确定之后，命题者再次结合课程标准、课本知识及能力要求进行审核，对试题题干及问题逐字逐句的校对与分析，将“已知抛物线的对称轴为x=32，点P的横坐标为m（m＜32）”调整为“对称轴为x=32的抛物线经过B，C两点”，将“直线MN交直线BC于点E”这一条件放置到第（3）小题中，这样题干叙述更加准确、简洁、严谨；对图形进行美化，修改字母的位置，调整图形整体布局，使图形美观、大方、精确，展现数学图形的对称美、简约美；合理给出图形中的二次函数及直线BC图象的长短，增添备用图，确保学生在二、四象限能够完整地构造图形解决问题，彰显人文关怀．最终形成了2023年济宁卷第22题（见“真题呈现”）．

4  特点分析

4.1  立足学情，兼顾教材核心知识

济宁市初中学校有五四和六三两个学制，教材版本不同，命题者多次磋商，反复研讨，决定依据课程标准（兼顾2011版），综合考虑全市学生实际，在确保试卷整体难度相对平稳的前提下，适当提高试题的应用性、探究性、综合性．基于此，命题者将压轴题（第22题）设计为代数与几何的综合试题，试题以一次函数、二次函数为载体，综合函数、方程、图形的变化、平行四边形的判定、三角形全等与相似、线段的和差倍分等核心知识点，考查学生应用数形结合、分类讨论、函数与方程、转化与化归等数学思想方法解决问题的能力．

4.2  注重探究，强化核心素养培育

题目最终为函数类动点与平面几何相结合的问题，在运动变化中寻求平行四边形和线段倍分关系的存在性，由一般到特殊，步步为营，渗透了平面几何与解析几何的内在联系，具有较强的探究价值．题目考查学生通过图形的转化与再构造，运用三角形全等和相似、线段中点的性质等知识与平面直角坐标系结合解决问题，促进学生用数学的眼光审题、观察，用数学的思维探究、思考，用数学的语言应用、表达，发展学生的核心素养．

4.3  动静结合，揭示数学知识本质

点P为抛物线上的主动点，其余动点为从动点，点P运动导致四边形CDNP形状发生改变，也会导致点E与线段MN的位置关系发生变化，多次试验发现当点P在某一特殊位置时，线段MN和ME存在特殊的数量关系．在解决问题时，可以通过抽离基本图形，化繁为简，找出所求线段间的关系，通过构造全等三角形、“A型”或“X型”相似三角形，化斜为直，将所求线段的数量关系转化为与坐标轴平行的线段之间的数量关系，化繁为简，步步深入，揭示数学知识的内在联系．

4.4  层层递进，确保试题的效度、信度

本题三个问题从易到难，层层递进，不仅注重“四基”“四能”考查，更注重素养立意，考查学生思维的深度、广度．第（1）题求二次函数的解析式的方法灵活多样，难度比较低，便于学生得分，也是解决本题后两小题的基础，具有很好的关联作用．第（2）题为降低难度，限制了点P的运动路径，经过分析可以选择不同的判定方法探究平行四边形的存在，体现一题多法，易于求解，满足不同学生的需求．第（3）题综合性强，计算量大，需要分类讨论，既注重了通性通法，也能体现解法的灵活多样，具有很强的区分度，题目中给出的图形也具有很强的指引作用，有助于学生分析、思考、操作，利于提升试题的效度．

5  命题感悟

5.1  坚持依标靠本，落实学业要求

《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确指出：“学业水平考试命题要坚持素养立意，凸显育人导向；要遵循课标要求，严格依标命题．”［2］教材是教学的重要载体，是命题的重要资源.本题以课本中的二次函数图象为素材，巧妙的融入了线段的倍分关系、平行四边形、相似三角形等内容，题干简洁易懂、内涵丰富，立足学情，挖掘教材，创新设计．通过让学生经历教材习题的变式过程，帮助学生在遇到综合性较强的难题时能够拆解题目，追本溯源，最终得到正确的答案［3］．题目考查函数与方程的简单综合运用、平行四边形的判定，入口较简单，学生完成起来较容易，落实了学业要求，充分发挥教材的育人功能．

5.2  立足“四基”“四能”，发展核心素养

命题应关注数学本质，落实考试命题由基于“四基”“四能”到核心素养考查的新课标要求．本题注重对一次函数的性质、二次函数解析式确定、平行四边形的判定、函数与方程的综合这些基础知识的考查，让学生感觉比较熟悉；第（2）（3）题通过构造相似三角形、全等三角形，借助三角形相似或全等的性质，运用解析几何策略将几何问题坐标化，考查学生基本技能；引导学生借助已有数学经验解决问题，融入转化与化归、分类讨论和数形结合等数学思想．注重培养学生用运动和变化的眼光发现问题，经历探究和操作的过程思考问题，用严谨的数学语言清晰的表达思维过程和运算结果，发展学生几何直观、推理能力、运算能力和创新意识等核心素养．

5.3  重视问题创新，诱发学生思考

本题作为试卷的压轴题，探究性强、计算难度大、知识覆盖面广．第（3）题“是否存在MN=2ME”是结合学生在课本上初识线段、射线、直线时所学，将这一内容融合到复杂图形中，基于教材进行创新，让学生感觉题干与图形虽似曾相识，但综合性较强．学生需要综合运用所学知识进行分析、思考，运用平时积累的数学经验进行深入探究，可依据图形发现点E是线段MN的中点这一情形，但是容易忽略点E在线段MN外时的情形，有针对性的考查学生严谨、科学的精神．整个试题分步设问，不断引导学生深度思考，解答方式灵活多样，以便激发学生的求知欲，挖掘学生的潜能．

5.4  去繁存简求真，彰显选拔功能

在命题过程中需要不断试做、反思，才能确保试题严谨、科学．为落实学业水平考试“一考两用”的功效，命题者经历了多次试做、修改、反思、完善．力求每一大题难度呈现有梯度、能力考查有深度、学生得分有区分度、对考生信心关怀有温度．尤其本题的设计，题干简捷、清晰、严谨，综合性、逻辑性都很强，对学生推理能力和运算能力要求比较高．第（3）问难度比较大，区分度高，如果学生能发现问题的本质，也就是“M，N，E三动点共线，MN=2ME时”即有点E在线段MN上或在MN外这两种情况，问题就变得比较清晰．这样才能有助于学生构造图形，抽离出相似模型、全等模型，力求简单、直接，两种情况虽位置不同，实则殊途同归，就是转化为线段NF和MH的关系，那么本题也就相对容易解决，对学生几何直观能力要求特别高，具有很强的区分度，彰显考试的选拔功能．

参考文献

［1］曹一鸣．新版课程标准解析与教学指导·初中数学：2022年版［M］．北京：北京师范大学出版社，2022：198．

［2］中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准：2022年版［M］．北京：北京师范大学出版社，2022：91．

［3］赖周萍，李佳洁．谈课本习题到中考试题的转变：以反比例函数为例［J］．中学数学，2023（08）：58-59．

作者简介  尹伟（1984—），男，山东曲阜人，中学一级教师；主要从事初中数学教学、解题命题、教师成长研究．孔祥骞（1977—），男，山东曲阜人，中小学高级教师，山东省齐鲁名师建设工程人选；主要从事数学教育教学研究.一道中考填空题的多维解析与教学启示基金项目  2022年安徽省教育科学研究项目“指向逻辑思维生长的初中数学‘图形与几何教学实践研究”（JK22068）;2023年安徽省教育信息技术研究项目“数字化教育视域下初中生几何直观核心素养培育的实践研究”（AH2023016）.