从一则教学案例谈数学课堂的深度追问策略

沃忠波 张良江

基金项目  浙江省2022年教研课题“初中数学渐进式‘再发现的教学策略研究”（G2022066）.

【摘  要】  《义务教育数学课程标准（2022年版）》建议，数学教学应采用容易引发学生思考的教学方式.如何引发学生思考？渐进式深度追问是一个很好的实施途径.有效的引导与点拨是促进学生思维发展、形成数学核心素养的助推器.

【关键词】  深度追问；深度学习；数学再发现；思维发展

1  引言

近日，笔者受邀听取了一节青年教师的赛课试教课，内容为浙教版八年级下册“4.5三角形的中位线”.本节课的主要内容为：三角形中位线概念的形成→中位线定理的发现与证明→中位线定理的简单应用.教者基本把握住了上述三个环节，但在概念的形成及定理的发现环节中，教者对如何进行有效的引导与点拨以引发学生思考这一方面似乎力不从心.课后，笔者就自己的观课所想与教者进行了详尽的交流并提出了一些建议. 现笔者结合部分听课记录和自身的日常教学实践，以及由此而引发的思考整理成文，与同行交流，期冀指正.

2  一则教学案例及其教学分析

2.1  案例呈现

案例1  教者试图通过将一张三角形纸片剪拼成平行四边形来引出三角形中位线的概念以及对三角形中位线定理的发现.

师：如图1，能否将一张三角形纸片ABC剪成两部分，然后把这两部分拼成一个平形四边形？说说你打算怎样剪，怎样拼？画出（或折出）剪切线.

生：如图2，折叠△ABC得到△AEF，沿着折痕EF剪下来，再将△AEF拼到右下方的位置.

师：EF是怎样得来的？你是怎样折的？

生：我把点A折到BC上的点D处，就可以得到折痕EF了.

师：哦，这样折的话，EF不一定水平，可能会斜的（教师的意思是EF不与BC平行）.

生：EF和BC可以折成平行的.

师：怎样折成平行呢？

生：……

师：老师来折给大家看吧.

图1          图2

2.2  教学分析

上述教学场景，是教者独立备课后的第一次试课.笔者指出此处教师的引导（尤其是教者的追问）不甚得法，以致学生茫然无措，有较大的改进空间.首先教者的教学意图并没有实现，教学目标远没有达成；另一方面学生的表现也近似于“茶壶煮饺子，有嘴倒（道）不出”，学习积极性及探究欲望遭到了一定的挫伤.笔者以为：教者只有在洞悉学生问题所在的前提下，才有可能做好有效的引导与点拨.就此案例而言，至少有以下的问题需要教师及时地予以引导，①将△AEF拼到右下方，怎样做到△AEF的一边和CF重合？重合的应该是哪一边？②怎样折（剪）可以使得折痕EF∥BC；③在保证EF∥BC且△AEF 的某一边与CF重合的前提下，是否能保证点E，F，G共线.上述问题，学生未必完全不清楚，只是教师没有提供适宜的机会.或者说，如何使学生能较精准地表述自己的想法，有赖于教师的适时适境切情切意的引导.教师的引导应致力于引发学生的自主思考，而有效的引导，则依赖于渐次展开的连续追问.在正式赛课的过程中，教者在此环节有以下的呈现：

……

追问1：如图2，你把△AEF拼到右下方，和CF重合的是哪一边？

生：是AF.

追问2：这样看来，AF与CF应该相等，那么此时点F应是怎样的点？

生：点F是AC的中点.

追问3：大家是否还发现？若使四边形BCGE是平行四边形，EF与BC应该有怎样的位置关系？

生：EF与BC应该平行.

追问4：怎样折能够保证EF与BC平行？

生：先把点A折到BC上，EF与BC就平行了.

追问5：如图3，这样折，你认为EF与BC一定平行吗？

生：……

追问6：我们来看，如果点A与点D重合，EF是折痕，此时EF与AD有怎样的位置关系？

生：EF⊥AD.（对称轴垂直平分对称点连成的线段）

追问7：很好，既然EF与AD垂直，又要求EF与BC平行，那么AD与BC应有怎样的位置关系？

生：AD应与BC垂直.

追问8：就是说AD应该是BC边上的高喽，那么怎样折出BC边上的高呢？

生：……如图4，沿AD将△ABC折叠，使BD与CB重合.此时，AD就是BC边上的高.    图3        图4

师：太好了，现在来回顾一下折图的过程，第一步？

生：先折出BC边上的高AD，再折叠△ABC，使点A与点D重合，得折痕EF，最后沿着EF剪下来按图2的方式进行拼接.

追问9：问题又来了，这样折出来的AF与CF能重合吗（点F是AC的中点吗）？怎么来说明？

生：……

追问10：据图5（AD是高），在Rt△ACD中，DF由AF折叠所得，DF与AF有怎样的关系？由∠ADC=90°又可以有哪些发现？图5

生：DF=AF，可得∠1=∠2；由∠ADC=90°可得∠1+∠C=∠2+∠3=90°，所以∠C=∠3，得DF=CF，从而DF=CF=AF，即F是AC的中点.同理，点E也是AB的中点.

追问11：现在我们发现，点E，F分别是边AB，AC的中点，且EF∥BC.接下来四边形BCGE是平行四边形吗？怎样证明呢？

……

至此，引出三角形中位线的概念，探究和发现了中位线的性质定理“平行且等于第三边的一半”，并随后完成了定理的证明.

姑且不论，这种用三角形纸片进行折叠剪拼的方式来引出三角形中位线的概念并由此发现中位线的性质的教学设计是否恰当、是否简捷高效，单从改进后的呈现情况来看，应该说教师的追问设计取得了较好的效果.在教师的渐次追问中，学生的思路渐次清晰，思维渐次打开，数学表达渐入佳境.

3  深度追问的主旨与方向

数学课堂中，教师如何适时地洞悉学生的问题所在并针对性地有效追问，进而发展学生的数学眼光、激发学生的数学思考以及提升学生的数学表达能力，笔者近年进行了基于渐进式“再发现”的教学实践探索.

3.1  相关概念界定

所谓“渐进式”，指在初中数学教学中，为解决某个（某类）问题而将教学环节按照一定的步骤逐渐由浅入深来进行，使学生能够深度掌握数学各类概念和公式、定理等，并能够熟练地应用它们解答各类数学问题的一种教学设计.此处仅指为解决相关问题而设计的系列“追问”，这些“追问”往往由一系列存在一定内在逻辑联系，一步一步逼近问题的知识本质及知识本源的问题串组成.

所谓“再发现”，此处特指数学“再发现”，是指通过适宜教学情境的创设，引导学生模拟或仿照数学家的思考方式，主动地、自发地探究出相应的数学概念、数学原理及解题思路等等.《义务教育数学课程标准（2022年版）》中明确指出，在初中数学教学中，应努力促使学生“能够探究自然现象或现实情境所蕴含的数学规律，经历数学‘再发现的过程”［1］6.如何让学生经历数学“再发现”？笔者以为渐进式的深度追问，是较为有效的实施途径.

3.2  渐进式深度追问的设计基点

虽然说，课堂的追问是即时生成的，因时而异，因境而异，但这并不代表课堂追问不可进行课前“预设”.因为一般来讲，需要连续追问之处，往往是问题情境较复杂、学生理解较困难之处.而这些地方无一例外地都需要教师引导学生把它们拆解成一个个子问题.正是在教师的渐近式深度追问中逐步解决一个个子问题，从而最终实现对母问题的解决.从这个意义上讲，渐进式深度追问，不仅可以预设，而且应该有所预设，其目的在于使教师的提问（追问）时时处于学生思维的“最近发展区”.渐进式深度追问的展开路径如图6所示.

图6

注  目标隐藏在主题与情境之后，通过序列的渐进性问题引发学生探究与思考，渐进问题的序号数越小，距离目标越远，反之则越近.目标有显性（明确）的，也有隐性（不明确的或即时生成的）的.

渐进式的深度追问，首先应基于数学知识内在的逻辑体系.其次应基于学生的认知基础（最近发展区）及认知规律和思维规律，以“能引发学生思考的教学方式”［1］86为设计方向，以“充分暴露学生的思维过程为指导原则”［2］.

4  深度追问的场域选择

渐进式的深度追问在课堂上起主导和支撑作用，能从整体上促进和引发学生深度思考；这些系列的深度追问又像一个个航标，更像一座座桥梁，导引着学习的路径和进程，促使学生在完成对学习任务深入探究的同时实现相关的知识建构与能力和思想方法的跃升；最终通过渐进的深度追问层层递进地实现问题解决，并能够迁移应用.在此过程中，教学目标逐步达成、学生分析问题解决问题等关键能力得到提升、基于发展思维为核心的数学素养在潜移默化中得到熏陶和发展，如图7.具体地来讲，激进式的深度追问可以发生在以下场域.

图7

4.1  在概念引申及定理拓广处深度追问

数学概念的抽象与概括过程，是一个渐次展开与上升的过程.从概念的形成与归纳概括，到辨析与应用以及深加工的过程等，都应该从学生已有的认知基础出发，利用数学的内在逻辑力量，通过旧知的自然生长或类比、或特殊化、或一般化，对概念要素作具体界定，让学生通过对概念的正例、反例的辨析，更准确地把握概念的内涵与外延.同样，数学原理尤其是几何定理因其推理论证的严密性，历来是培养学生的理性思维和逻辑推理能力的最好载体.杨乐［3］院士曾指出：“平面几何的内容，对培养学生严谨推理的能力，直观想象能力，分析问题的能力，有不可替代的作用……”许多几何概念的深化及原理的揭示与本质挖掘是实施深度追问，让学生经历数学“再发现”的优良素材.

案例2  圆周角概念的引申与定理的拓广.

追问1：如图8，我们已经证明了圆周角∠BAC=m12BC.根据圆周角的定义“顶点在圆上，两边都和圆相交”，大家认为如果顶点不在圆上，会出现怎样的一种角呢？画图试试.

追问2：我们把图9中的∠BAC称为“圆内角”，把图10中的∠BAC称为“圆外角”，它们的度数与其所对的弧的度数有关系吗？会有怎样的关系呢？   图8        图9

追问3：圆内角虽然不再是圆周角，但是既然我们已经知道了圆周角与其所对弧的度数之间的关系，是否可以转化成圆周角与其所对弧之间的关系呢？

追问4：如图11，将圆周角∠BAC的一边AC旋转至切线位置，此时∠BAC的度数与其所夹的BC度数之间有何关系？你是如何思考的？（弦切角是圆周角的极端状态，弦切角定理是圆周角定理的自然延伸和特例）

……

图10        图11

本案例基于研究几何对象的一般观念，将概念按特殊化、一般化的方向使概念自然生长，以引出新的研究对象，同时将新旧对象纳入统一的知识系统中.教师以问题发现开放、路径开放等方式，引导学生调出自身的知识储备与方法经验，向知识的纵深方向进行探寻，发展思维广度，形成和强化了学科素养.

4.2  在疑难点化解与突破处深度追问

难点是学生的认知困惑点、理解障碍点和方法的盲点.面对疑难点，学生往往缺少解决问题的信心，找不到探究的方向.教师精准把握疑难点，以系列的深度追问驱动教学，引导学生从已有的知识基础和经验出发，通过问题驱动学生在联想类比、质疑和讨论中尝试解决问题，逐步完善解题思路，实现难点的化解与突破.

案例3  抛物线上的三角形最大面积的探求［4］.

抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C.在AC上方的抛物线上是否存在点P，使△PAC的面积最大？若存在，求出点P的坐标.

此类问题是学生学习过程中的一个难点.如果教者这样处理：在AC上方的抛物线上取点P，设点P的坐标为（a，-a2-2a+3），把△PAC的面积表示成a的二次函数，利用公式法或配方法求出最大值即可.

这，当然可以作为一种方式！然而这样不仅不利于学生自主探究精神和能力的培养，而且会使解题思考过程变得索然无味！我们可以作以下的渐进式深度追问：

追问1：如图12，在AC上方的抛物线上有无数个点，这些点与A，C构成的无数个三角形的面积都相等吗？

追问2：△PAC的边AC是定值，那么此三角形的面积大小与点P的位置到底是怎样的一种关系？（根据三角形的面积等于“底与高的积的一半”可知与点P到AC的距离大小有关，距离越远，面积越大；反之亦然）

追问3：点P到AC的距离何时最大？你能描述此时点P的位置状态吗？（点P为平行于AC且与AC上方的抛物线段有且仅有一个交点时的那个交点，如图13）图12        图13

追问4：两个函数图象的交点坐标一般怎么求？此处的唯一交点的坐标如何求？

这样的渐进追问，似乎在学生的面前呈现出一幅“一粒种子吸收水分、空气和阳光，逐步茁壮成长”的动态生长过程，使学生的数学学习更具生命色彩.诸如此类的探究过程，利于学生逐步体悟 “知其然” “知其所以然” “何由知其所以然”，提升了分析、解决问题的能力，发展了数学思维.

4.3  在方法总结和思想提炼处深度追问

数学思想是数学学习的灵魂，数学思想指导着数学方法，支配着数学的实践活动. 数学思想方法形成于知识学习的过程之中，如对概念的理解、问题的探究、结论的提炼、规律的发现等.然而，数学思想方法不会自动形成，需要教师适时有效地引导．在适宜的情境中，通过渐进式的深度追问引导学生提炼一些思想方法，是指导学生进行深度学习的重要着力点，是提高学生思维品质，提升分析问题和解决问题能力的重要途径.

案例4  一元二次方程根的分布及字母系数的范围［5］.

已知关于x的方程2x2-（m+1）x-m=0的一个根在1和2之间（不包括1，2）另一根小于1，求m的取值范围．

根据一个根在1和2之间，想到利用求根公式x1，2=m+1±m2+10m+14，依题意有

1＜m+1+m2+10m+14＜2，m+1-m2+10m+14＜1.  （显然，此不等式组解起来十分困难，或许本题的求解将无功而返）

追问1：这个不等式组你愿意解吗？你会解吗？（涉及二次连续不等式，运算极其繁杂，不仅易错而且有超纲之嫌）

追问2：方程2x2-（m+1）x-m=0的左边容易让我们联想到什么？（联想到二次函数）

追问3：由一元二次方程的根可以让我们联想到二次函数的什么内容？（二次函数图象与x轴交点的横坐标）

图14

追问4：一个根在1和2之间（不包括1，2）另一根小于1，从二次函数的角度可以怎样理解？画图象试试.（令f（x）=2x2-（m+1）x-m，画示意图，如图14）

追问5：根据图象，请你判断f（1），f（2）的符号，此刻你又有怎样的想法？

以下学生得出f（1）＜0，f（2）＞0．于是

2×12-（m+1）×1-m＜0，2×22-（m+1）×2-m>0.

解得  m>12，m＜2.  所以12＜m＜2．

通过构造二次函数图象，把一个基本解决不了（甚至是不可能完成）的问题很轻松地解决了，“绝处逢生”“柳暗花明”，时时处处体现了“转化化归”的数学思想方法，尤其数形结合思想的适时运用也令人耳目一新.学生在潜移默化中受到了数学思想方法的滋养，促进了数学思维的发展．

4.4  在思维深化和素养形成处深度追问

数学家华罗庚先生曾说过，读数学要“从薄到厚，再从厚到薄”.教学中，我们应善于引导学生，深入挖掘，实现“从薄到厚”，在概括提炼中实现“从厚到薄”.学生囿于知识水平和学习能力的局限，往往不能从一些表面现象中快速地提取出问题的本质，这就是尚未实现“从厚到薄”的具体表现.此时，教师的适恰引导便显得尤为及时与重要，否则可能会使学生长期处于“黑暗”与“懵懂”之中.这样，学生拥有的知识是零碎的、松散的.长此以往，学生的数学学习效率低，数学素养的提升也无从谈起.

案例5  平行线在等角转换中的深层作用［6］.

教师引导学生探究出了图15中∠1—∠4及∠P这5个角之间的部分数量关系：如∠1+∠3=∠P，∠2+∠4+∠P=360°等等. （具体做法是过点P作直线MN∥a，进而由a∥b得a∥MN∥b，于是角之间的关系明朗化）

图15        图16

追问1：对这类平行线被折线所截的问题，你有何解题经验？（过折点添加平行线）

追问2：“平行线遇折线，则过折点添加平行线”总结得很好，那么大家能否说说这里添加的平行线起到了怎样的作用？（构造出新的“三线八角”）

至此，问题应该可以暂告段落了.因为问题本身既得到了较好的解决，而且也及时地、不失高度地总结了方法，积累了经验.然而，笔者意犹未尽，平地惊雷！

追问3：构造了新的“三线八角”固然对，但它仅仅是我们看到的“表面”，你能说出这里添加了的平行线到底起了怎样的作用吗？（出现了相等的同位角、相等的内错角等等）

追问4：从图16中我们可以看出∠1=∠5，∠3=∠6，所以∠1+∠3=∠5+∠6，相当于将∠1和∠3通过平行线的等角性质“搬到”∠5和∠6的位置，然后再与∠P相比较，那么在“∠2+∠4+∠P=360°”这一关系中是否也具有上述特点？

（∠2=∠7，∠4=∠8，∠2+∠4+∠P实际上就是∠7+∠8+∠5+∠6，形成一个平角，为360°）

追问5：现在你能归纳“平行线遇折线，则过折点添加平行线”这一思路的实质吗？（通过添加平行线，将原先分散的各相关角转移成共顶点的角）

在此基础上，如图17，对于三角形的外角和，可以在三角形所在的平面内任取一点，过该点分别作三边的平行线，图中的两个∠1，各自的两边分别平行（一个交的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，此处为相等），所以这两个∠1相等，∠2，∠3同理.于是三角形的三个外角∠1，∠2，∠3通过添加平行线之后改变位置“拼”成了一个周角，因此三角形外角和等于360°. 如图18，同理可得五边形的外角和为360°，推而广之可知n边形的外角和等于360°.  图17        图18

我们不能仅满足于教会学生解一道题，而更应教给学生能将内隐于数学知识中的数学思想方法予以挖掘和提炼，这才是“授人以渔”之道.课堂教学中，教师的点拨，是为了激发和引导学生积极参与到教学过程中来，开展逻辑思维活动和形成基本技能而进行“搭桥、铺路、导航”.教师要善于在学生的疑难处、困惑处、方向不明处发起追问.通过指向目标的渐次追问能疏通学生的思路，并把学生获取的感性知识升华至理性，促使学生经历数学的“再发现”，使学习走向深入，使学生的认知过程得以升华.

5  结束语

与普通的课堂提问相比，渐进式深度追问的功能在于充分地激发学生的数学思维，其具有鲜明的层次性、引导性、生长性、目的性和针对性.教师基于适宜的情境，以渐进的深度追问让学生在不断发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程中提升“四能”，进而逐步形成和落实“三会”，实现数学的学科育人价值. 就数学教学而言，教师的根本任务在于如何将数学“冰冷美丽”的学术形态转化为具有“火热思考”的教育形态［7］，让学生经历数学“再发现”，像数学家当初创设数学概念、发现数学原理那样进行思考，重演数学概念的形成与建立、数学原理的揭示过程、数学问题的解决过程等，让学生在此过程中经历数学思维方法的熏陶，得益于数学思想方法的启迪，全面发展学生的数学素养.就初中数学教师而言，具有基于“理解教材”“理解学生”“理解数学”的问题设计能力，这是能够在课堂中实施深度追问，促进学生思维发展，落实数学核心素养的重要前提与保证.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2022年版［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］张乃达.充分暴露数学思维过程是数学教学的指导原则［J］.数学通报，1987（03）：6-11.

［3］杨乐.谈谈数学的应用与中学数学教育［J］.课程·教材·教法，2010，30（03）：3-9.

［4］张良江.未成曲调先闻声   一问一答总关情［J］.中学数学教学参考（中旬），2017（07）：20-23.

［5］张良江.一道数学趣题的联想：例谈巧构图形（图像）解代数题［J］.中学数学，2012（03）：82-84.

［6］张良江.适时适境  切情切意：数学课堂中教师的主导作用刍议［J］.数学通报，2023（03）：25-28，封底.

［7］张奠宙.微积分教学：从冰冷的美丽到火热的思考［J］.高等数学研究，2006（02）：2-4.

作者简介

沃忠波（1974—），男，浙江宁波人，中学高级教师，浙江省宁波市学科骨干教师;主要从事初中数学课堂教学研究;发表文章多篇.

张良江（1969—），男，安徽合肥人，中学正高级教师; 指导多名青年教师在地市级、省、国家级优质课评比中获佳绩;主要从事初中数学课堂教学及青年教师素养提升研究;发表论文30余篇.