一例一课：动态几何中自然打开新函数的教学尝试

李洪兵 杜雯欣

基金项目  重庆市教育科学“十四五”规划2022年度立项课题“初中数学教师教学述评的探索与研究”（K22YG120574）.

【摘  要】  从“三会”视角深度研读课标附录案例，赋予课标案例真实情境，并将情境一“境”到底，运动视角寻找关联，精致每一个细节.通过教学实践，提出课标附录案例教学要落实“三会”素养，需在“三个自然”上进行整体谋划：素材分析要自然，让课标意图跃然而出；情境创设要自然，让课标知识应然而生；素养培养要自然，让课标理念悄然而至.

【关键词】  研读课标；案例实践；动态几何

近日，重庆市璧山区组织了以“研读课标：落实核心素养，打造卓越课堂”为主题的第五届初中数学青年教师优质课竞赛活动，课题为《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标（2022年版）》）附录例69“得到函数表达式”（第146—147页），学生为八年级学生（函数概念已学）.本次活动目的是促进参赛选手及学校备课组认真研读《课标（2022年版）》同时运用新理念执教课标案例，但是选手们接到任务后普遍感觉不好上：平时赛课都是教材新授课，网上到处都有资源可以借鉴，而这个题目就是一个全新的课标例题式呈现，各种期刊或网上查无踪迹.最后赛场上意外连连，部分选手课堂上出现三个不“自然”：一是教学组织不自然，进入常规解题课套路；二是教学情境不自然，情境与知识严重剥离；三是素养落实不自然，总结提升明显贴标签.《课标（2022年版）》强调强化情境设计与问题提出，使学生在教学活动中逐步发展核心素养.下面笔者以《课标（2022年版）》附录例69“得到函数表达式”为例，用《课标（2022年版）》理念进行创新实践后提出一些思考.

1  案例分析

1.1  课标分析

本案例虽然出自附录例69（第146—147页），但它真正的位置是在《课标（2022年版）》正文第57页课程内容第四学段（7—9年级）第3个内容“函数”下“（1）函数的概念”第④款“能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义”后的括号内.同时《课标（2022年版）》第62页关于“函数”的教学提示为：函数的教法，要通过对现实问题中变量的分析，建立两个变量之间变化的依赖关系，让学生理解用函数表达变化关系的实际意义.此案例69内容适合什么时候教学呢？笔者想，学了一次函数、二次函数再来教此内容，没什么问题.但它是案例69，显然列在初中板块靠前位置.因此应该是知道了函数的定义后，就适时把它引入教学，肯定别有韵味.

1.2  原题呈现

如图1，正三角形ABC的边长为1，D是BC边上的一点，过D作AB边的垂线，交AB于G，用x表示线段AG的长度.显然，Rt△GBD的面积y是线段长度x的函数，试给出这个函数的表达式.

图1

说明  这是一个典型的用代数式表达几何结论的问题，有利于培养学生的几何直观和推理能力.首先确定自变量x的取值范围.由于△ABC是正三角形，容易得到这个取值范围可以表示为12＜x＜1.其次，在Rt△GBD中，GB的长度为（1-x），斜边DB的长度为2（1-x），根据勾股定理，可以得到DG的长度为3（1-x）.所以，所求面积函数的表达式为y=32（1-x）2.

1.3  案例解读

《课标（2022年版）》明确提出义务教育阶段数学课程要培养的学生核心素养是“三会”——会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界（以下简称“三会”）.要培养学生的“三会”素养，首先要求我们教师必须要有“三会”素养，因此笔者就从“三会”视角去尝试解读本案例：

1.3.1  用数学的眼光看：我们看到了什么

第一层：看到了点D，看到了点G；

第二层：看到了某个时刻，他们运动的位置；

第三层：看到了某个时段，他们各自运动的轨迹（距离）；

第四层：看到某个时段他们运动之间的相互关系.

1.3.2  用数学的思维想：我们想到了什么

第一层：想到了AG的距离在增加，GB的距离在减少；

第二层：想到了GB的距离随着AG的增加而减少；

第三层：想到AG增加，DG减少；

第四层：可以用AG表示DG，BD，GB.

1.3.3  用数学的语言说：我们将要说什么

第一层：BG=1-x；

第二层：DG=F（x）；

第三层：分类讨论表示DG；

第四层：写出所有函数表达式；

图2第五层：x随着AG的长度的变化而变化，只要AG确定，x唯一确定；

第六层：x随着AG的长度变化而变化，AG与GB值在变化，而关系不变；DG随着AG的值的变化而变化，关系是阶段性变化的.

基于以上“三会”视角素材审读分析最后形成动态几何中得到函数表达式的一般套路（如图2）.

1.4  目标设置

（1）通过观察生活实例，会寻找常量与变量，能列出变量之间的函数表达式，理解函数值的意义，培养学生的抽象能力及模型观念；

（2）在动态几何的情境下，从线段到面积随着点运动不同位置与自变量关系，分析行程与高之间的关系，形成行程与面积关系成果，培养几何直观与推理能力（呼应案例69后【说明】）.

达成目标（1）的标志：列出变化线段之间的函数表达式，正确写出函数取值范围；

达成目标（2）的标志：能列出三角形边长与面积之间的函数表达式.

本节课的教学重点为：求函数表达式.

本节课的教学难点为：如何得到函数表达式.

2  教学设计

《课标（2022年版）》强调“强化情境设计与问题提出，使学生在教学活动中逐步发展核心素养”.笔者基于此既结合八年级学生年龄特征，又结合案例几何图形中一维直线到二维等边三角形特征，特别是点D、点G两个动点和点B一个静点，同时联系自己长期研究的数学文化迅速锁定了一条富有文化味情境探究暗线——螳螂捕蝉黄雀在后（赋予点B生命为蝉，赋予点G生命为螳螂，赋予点D生命为黄雀）.鉴于学生第一次接触函数，才学习了函数的概念，对函数的概念理解得不透彻，不能准确的在变化过程中找准自变量和函数，也很难找到两个变量之间的关系，列出函数表达式，笔者将通过四个场景，由简到难，通过“在捕食的过程中，哪些是变量？哪个变量因另一个变量变化而变化？”等问题逐步引导和突破.

2.1  会用数学的眼光观察世界，指向抽象能力

情境导入（场景一）  播放螳螂捕蝉的视频（2分钟）.

图3

视频中螳螂捕蝉我们可以抽象到线段上观察：如图3，螳螂G从点A出发，捕食位于正前方1m处点B一只蝉.

问题1  在这个过程中，哪个是常量？哪些是变量？哪个变量随另一个变量的变化而变化？

问题2  请你用字母表示自变量和因变量，并用式子表示它们之间的关系？

设计意图  引导学生感悟生活中的变化（一维线段），由形到式（数），再到函数，理解函数和函数表达式，强化实际问题中自变量取值范围.具体就是剔除物理属性，最终抽象成线段，培养抽象素养，在数学图形线段上随动点移动观察得到的变量，厘清哪个是自变量，哪个是因变量，并寻找它们之间的数量关系，然后引导学生设未知数，用式子表示自变量和因变量之间关系，并写出自变量取值范围.

2.2  会用数学的思维思考世界，指向推理能力

场景二  如图4，黄雀D沿AC方向从A到点C，再沿CB方向到达点B，已知正三角形ABC的边长为1m，DG⊥AB.

场景三  如图5，黄雀D沿CB方向从点C到点B，已知正三角形ABC的边长为1m，DG⊥AB.

图4

图5

问题3  在这个过程中，哪些是变量？哪个变量随另一个变量的变化而变化？

问题4  请你用字母表示自变量和因变量，并用式子表示它们之间的关系？

问题5  在这个过程中，哪些是变量？哪个变量随另一个变量的变化而变化？

问题6  设AG=x，DG=y，BD=w，请你写出y，w关于x的函数表达式？

设计意图  本环节让情境从一维直线转场到二维三角形内，结合新情境再次观察变量，确定自变量、因变量、关系式，结合式子总结，提出本节课的课题——函数的表达式.已经有了函数表达式的定义后，应用函数表达式表示x，y，z之间的关系.通过学习，会写函数的表达式.点D在右侧的情况交给学生自主解决.然后总结求函数表达式的步骤：确定自变量和因变量，设未知数，找到数量关系，得到函数表达式.

2.3  会用数学的语言表达世界，指向模型观念

图6

场景四

如图6，黄雀D从点A—C—B过程中，黄雀D的视线始终看着螳螂G和蝉B，用S表示△BDG的面积，x表示AG的长度.

问题7  请写出S关于x的函数表达式及自变量x取值范围.

追问  在整个过程中，你还能发现哪些函数关系？

设计意图  回到本节课的目标上——课标案例69，用函数表达式表示△GBD的面积.小组探究，分两种情况，利用之前求得的线段表达式表示三角形的面积.基于场景二和三的经验，通过点D运动位置的变式（边AC及CB），培养学生举一反三的能力.同时完整呈现前面两个情景，结合场景四及变式，渗透分段函数、分类思想方法.

问题8  在场景二、三的条件之下，你还能在形成的图形中发现哪些几何量是AG的函数，并尝试把它们的表达式写出来，并写出自变量x的取值范围.

预设生成1：列出四边形ACDG（点D在BC边上）或BCDG（点D在AC边上）的面积与AC之间的函数表达式.

预设生成2：列出△BDG以及四边形ACDG（点D在BC边上）或BCDG（点D在AC边上）的周长与AC之间的函数表达式.

设计意图  设置开放性问题，引导学生将研究视角从三角形拓展到四边形，将几何量从面积拓展到周长等，关注学生的发散性思维培养学生的创新意识和应用意识，注重学生的兴趣和体验，让学生以生活经验为基础自己去编题，更利于激发学生的创造性思维.教学活动过程中渗透数学建模思想，培养学生的“数学建模”能力，学生经历了发现问题、提出问题、分析问题、解决问题及问题反思，使学生的“四能”得到充分的展现.

2.4  总结提升：素养与思政在展望未来中比翼齐飞

问题9  这节课通过什么方式学习了什么新知，你还想研究函数的什么内容？

追问1  函数在生活中无处不在，是刻画什么的数学工具？

追问2  你对“螳螂捕蝉黄雀在后”有了什么新的认识？

设计意图  通过归纳小结，引导学生梳理本课所学内容，知识结构化，体会思想，形成研究动态几何中自然形成函数的一般套路.抓住“螳螂捕蝉黄雀在后”新认识升华到孩子们的安全意识，数学协同育人自然达成，同时情境首尾呼应，真正实现了情境的一“境”到底.

3  教学反思

《课标（2022年版）》颁布已两年，新教材即将与师生见面，新的教学方式改革势在必行.笔者通过本次附录例69“得到函数表达式”的创新教学尝试发现通过一例一课落实新课标培养核心素养必须追求道法自然，牢牢抓实三个“自然”.

3.1  一例一课：素材分析要自然，让课标意图跃然而出

在现行教材上，常常会说“确定函数表达式”“求出函数表达式”“写出函数表达式”，为什么《课标（2022年版）》附录课例编者偏偏要叫“得到”？笔者冒昧揣测，是不是编者很想我们注重“得到”的这个过程呀？那么如何“得到”？笔者认为，我们可以从以下一些方向去做：得到数量；得到变量；得到自变量，因变量；得到变化；得到函数；得到数量中的函数表达式；得到图形中的函数表达式；得到简单的函数表达式；得到复杂的函数表达式；得到取值范围；得到分段函数的表达式；得到分段函数的取值范围；得到得到函数表达式的方法；得到函数表达式的用途；得到函数表达式的未来前景……得到，就是为了得到教学设计之道.基于以上思考笔者在课前内容分析时创新采用教师“三会”视角审读分析案例图形和内容，这种逆向研读案例的好处必然在课堂教学中形成高思维含量的问题链促使每个学生深度思考，真正做到了教学评的一致性.

3.2  一例一课：情境创设要自然，让课标知识应然而生

新课标下的课堂应该落实思维教学，让知识关联生长，在课堂中充分展示知识情感能力形成和思维生长过程［1］.所以素材（情境）选取要贴近学生的现实，为学生铺设合乎逻辑的思维阶梯，而且将这个情境一以贯之.在赛场上，大部分选手都对本案例赋予了情境：如上春山看花、王者荣耀路线、上学等现实情境，但感觉情境与知识严重剥离，特别是从线段表示过渡到△GBD面积表示时，许多选手直接就是“接着我们来研究三角形的面积”明显很生硬.而笔者在这个环节充分抓住“螳螂、蝉、黄雀”三个小生命个体的适时关系变化及心理活动，用“黄雀D从A到B的移动过程中，对即将到手的两个猎物垂涎三尺，因此眼光随时都盯着螳螂G和蝉B，那么他的视野面积（△GBD）会怎么变化呢”这样精致的语言实现平滑转场.特别值得一提的是，在总结提升后根据“黄雀”“螳螂”“蝉”三者食物链的关系自然关联到孩子们的自我保护意识和安全意识，让数学课程思政在跨学科融合下润物细无声.

3.3  一例一课：素养培养要自然，让课标理念悄然而至

函数观点是把不同对象联系起来的一个好观点，因此教学设计必须站在这个课标高度整体思考本案例教学设计.由于考虑到孩子们刚刚才学习了函数概念一节课，所以笔者就设计了自然的情境导入环节——螳螂捕蝉（两点一线成线段），适时复习了变量、函数相关知识，培养了抽象素养.接着在第二个环节增加了第三者“黄雀”制造更深的矛盾冲突让知识探究螺旋上升——从一维直线到二维等边三角形，同时探讨三角形面积表达式时让分类讨论思想在孩子们小组探究中水落石出，让推理素养在小组自信的展示中铿锵有声.本案例从“定”与“变”的视角看问题，借助图形变换揭示问题内部的结构和体系，从而感悟问题内每个元素之间的联系.在这样的研究方式下，题目将从一题走向无限，从封闭走向开放，充满着灵气和生命力［2］.一例一课的教学立意就是要思考同一例子下诸多知识、方法之间的“亲缘关系”，进一步由简单出发、依次展开、变式拓展，预设开放式教学环节问题，追求简约而深邃的课堂教学.

本节课突破了解题教学的“刷题”套路，创新情境教学让学生重新认识“螳螂捕蝉，黄雀在后”，除了习得数学知识外，实现了数学与生物及生命健康等跨学科融合，孩子们在好奇心驱使下的体验探究促进了思维的发展.一例一课的教学立意就是站在课标视角，让课标理念、数学知识随着赋予的情境都真实而立起来，这样的一例一课让课堂教学起于真实情境和课标素材，终于课标理念和“三会”素养的螺旋上升落地有范.

参考文献

［1］何楠，李洪兵.基于生长式的多概念教学实践与反思：以人教版八年级上册11.1.2三角形的高、中线与角平分线为例［J］.中学数学杂志，2023（02）：32-35.

［2］郭源源，缪娟.运动视角寻关联  定形变换显路径：从一道几何题的解法谈起［J］.中学教研（数学），2024（03）：18-22.

作者简介

李洪兵（1973—），男，重庆璧山人，中学正高级教师，重庆市特级教师，重庆市学科带头人，重庆市学科名师；主要从事初中数学教育教学研究.

杜雯欣（1982—），女，重庆璧山人，中学高级教师，重庆市初中数学骨干教师；主要从事初中数学课堂教学研究.