整体设计：结构化教学的实践与思考

万涛 诸士金

基金项目  江苏省教育科学“十四五”规划专项课题“走向整体设计：初中数学结构化教学的实践研究”（E/2022/05）；江苏省教育科学“十四五”规划重点课题“指向育人方式变革的初中数学体验教学模式建构研究”（B/2021/0202）．

【摘  要】

教学应根据学生已有的知识经验、认知水平和学习要求，整体把握结构化的课程内容，选择能促进学生思考的教学方式．教学要进行整体设计，探索知识结构，建构知识之间的关联，形成结构化教学模式，并进行分步实施，从中发展学生的核心素养，推动育人方式的变革.

【关键词】  整体设计；结构化；教学模式；育人方式

整体设计是基于整体观进行的设想规划和方案拟定，是指实施教学要依据核心素养的内涵和学段的主要表现，是结合具体的教学内容，全面分析主题、单元和课时特征所进行的全面设计．整体设计的教学是基于整体观的教学设计与教学活动，在数学教学的具体反映就是在数学知识系统下进行结构化设计与实施，教师要根据数学知识的基本结构来设计教学，引导学生进行数学学习，对学生的认知结构进行建构．

结构化教学在初中数学教学的具体反映就是教师依据课程标准、以教材为载体，科学整合初中数学知识，使之凸显数学逻辑结构，进而有组织、有系统地进行一节课、一个单元或一个知识模块的教学实施．结构化教学强调依据学生的认知特点，凸显整体性、阶段性和一致性．

章建跃［1］博士在《全面深化数学课改的几个关键》中提出要优化数学课程、教材和教学结构，全面发挥数学的育人功能；鲍红梅和喻平［2］教授在《完善中学生GPFS结构的生长教学策略研究》中提出在数学教学中运用结构化策略进行整体性教学，可以促使学生在头脑中形成层次分明、有活性的知识网络结构；郑毓信［3］教授在《课程内容结构化之深思》中认为课程内容的结构化重点是对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径．

1  研究背景

日常教学中，教师过度关注局部知识和技能的获得，缺乏对数学知识结构的整体认识，忽视数学知识内在的本质联系，造成学生对知识理解的碎片化和浅表化，对知识的发展过程缺乏整体感知和深刻理解．

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在教学建议中指出：“在教学中要重视对教学内容的整体分析，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系．”“引导学生从数学概念、原理及法则之间的联系出发，建立起有意义的知识结构．”［4］因此，整体把握教学内容是结构化教学的基础．结构化教学是深化课堂教学改革的重要方式，开展结构化教学有助于提升学生的知识结构化水平和思维结构化水平，有助于发展学生的核心素养，有助于推动育人方式变革.

2  教学实践

案例  “整式的乘除”起始课.

分析：本节课教学对象是七年级的学生，在学习本课之前，学生已经学习了幂的定义和有理数的乘方．根据学生学习有理数运算的经验，学生在七年级上学期首先学习有理数的概念，接着学习有理数的加减运算后，继而学习有理数的乘除运算和乘方运算，最后学习有理数的混合运算，是按照这样的学习顺序进行的．

对于整式的运算，同样也遵循着这样的学习顺序，首先学习整式的概念，然后学习整式的加减，由于七年级上学期已经学习了整式的加减，接下来很自然地，应该学习整式的乘除和乘方运算，教学内容的知识结构如图1所示．在学习过程中，把有理数的乘方和幂的定义的学习经验进行迁移，不断加深从具体到抽象的研究方法，经历发现规律的过程，逐步发展推理能力，积累数学活动经验．

图1

本节课是起始课，在备课时要整体把握，厘清知识的来龙去脉，从学生原有的认知结构出发，遵循知识发生发展的规律和学生认知发展的规律，结构化地推进教学，引导学生主动构建数学认知结构，完成教学目标任务，发展学生的数学核心素养．

教学过程如下：

活动1：我们已经学习过整式的加减运算，接下来，要研究整式的哪些运算？举例说明．

设计意图  活动1的提出，学生很自然地会回答接下来要学习整式的乘法和除法运算，这其实在有理数的学习中，学生已经具备了这样的学习经验，知道未来学习的方向．通过让学生举例说明，学生可能会出现无章可循的随便举例，例如：学生可能会想到a·a，a·b，（a+1）（b+1）或者2a（a+b）等等，究竟怎么计算，部分学生会说不清楚，这就为活动2做好了铺垫，为了能让学生有目的的举例，特别设计了活动2，启发学生有目的的思考和探索．

活动2：从整式a2，a3，b3，a+b，a-b，a2-b2中，任选两个整式进行乘法、除法运算，并尝试写出运算结果．

设计意图  学生从中任选两个整式进行乘除法运算，会得到a2·a3，a2·b3，a3·b3，a3·（a+b），（a+b）（a-b），a2÷a3等，教师引导学生把运算相同的归为一类，很多学生会进行如下分类，分别是单项式乘以单项式（简记为“单乘单”），单除单，单乘多，单除多，多除单，多乘多，多除多，在教师的启发下，学生的学习有了方向和结构，教学结构如图2所示．

图2

既然整式的乘除有很多类别，那我们从最简单的开始学习，哪一个运算最简单？学生在教师的引导下，先学习单项式乘以单项式，例如a2·a3，a2·b3，a3·b3，我们把这一类单项式的乘法称为幂的乘法．

活动3：幂的乘法怎么运算？

根据乘方的定义，学生发现a2·a3=a·a·a·a·a=a5，所以a2·a3=a5．如果把a2·b3写成a·a·b·b·b，下面如何计算就不清楚了，对于a3·b3，学生也遇到不知如何计算的情况．a2·a3能计算，而a2·b3和a3·b3却不知如何计算，究竟是为什么呢？学生观察发现a2·a3能计算是因为两个幂的底数相同．这就是我们要学习的同底数幂的乘法．

根据同底数幂的乘法的知识，构建学生学习同底数幂乘法的认知结构，如图3所示，进行活动4—11的教学设计．

图3活动4：你能根据乘方的定义计算am·an吗？并说明每一步的依据．（乘方的定义）

活动5：你能用文字语言将结论叙述出来吗？这个等式有什么特点？

活动6：（1）计算：x3·x3，x3+x3.（与整式加法的区别）

（2）填空：x2·（  ）=x6，a5·ax=a15，则x=    .

活动7：对于am·an=am+n，谈谈你对底数a的理解．（a可以为单项式，也可以为多项式）

活动8：计算：x3·（-x）2，（a-b）2·（b-a）2．（不同底数）

活动9：已知am=8，an=2，求am+n的值．（逆向思维）

活动10：你能计算am·an·ap吗？（推广）

活动11：一种计算机每秒可以进行1015次运算，它工作103秒可以进行多少次运算？（运用）

3  教学思考

布鲁纳的学科结构理论认为，不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构．知识是有结构的，教学不是教知识，而是教知识的结构．结构化教学体现了一种教育思想，最本质的特点是突出了“结构”，其中最核心的结构有三个，即知识结构、教学结构和认知结构．结构化教学要解决的关键问题是怎样用“知识结构”合理的构建“教学结构”和发展学生的“认知结构”，实现数学教学的最终目标．

结构化教学需要教师具有较好的整合教材内容的能力，并且能深入解读教材，把一些知识点之间的本质联系起来，形成知识体系，架构知识网络，教师要把握数学知识的整体结构，着眼于数学知识的内在联系，注重结构化思维的教学，通过整体设计，引导学生将零散的知识逐步系统化和结构化，帮助学生建构起整体性的认识，从而提高学生的学习效率，让学生要见树木，还要见森林．

3.1  整体理解教学内容，构建内容结构化

在备课时，教师根据教材的每册之间、单元之间和单元内每个课时之间知识点的联系，灵活进行教学设计，让知识的形成过程和学生能力的发展呈现一条清晰的脉络．

例如：在学习“幂的乘方”和“积的乘方”时，学生把（ab2）3进行计算，得到错误的结果ab6，很多老师会认为学生忘记把a进行3次方，其实并不是，很多学生出错的原因是把（ab2）3看成了幂的乘方，学生对“幂的乘方”和“积的乘方”的理解出现问题时，教师要及时进行纠正和辨析，可以把算式写出来问学生：“（ab2）3和［（ab）2］3有什么不同？”

学生通过对比，发现（ab2）3的小括号内的ab2是积不是幂，所以（ab2）3是积的乘方，结果为a3b6．而对于［（ab）2］3，有两种理解，因为（ab）2是积的乘方，可以写成a2b2，所以［（ab）2］3=［a2b2］3=a6b6；也可以把（ab）看成一个整体，作为（ab）2的底数，先用幂的乘方，再用积的乘方计算得到［（ab）2］3=（ab）6=a6b6．

教师在本单元“幂的乘方”和“积的乘方”两个课时的教学中，要进行知识间的关联，构建内容结构化，让学生充分理解“积”和“幂”．

3.2  拓展数学基础知识，促进思维结构化

学生思维的结构化是一个长期培养的过程，教师通过对内容的整体架构，促使学生获取的知识形成体系，并在对已有知识结构把握的基础上促进学生自主建构学习，这样学生的思维能力才得以提升，学生的认知水平才获得真正的提高．

例如：在学习菱形的面积时，由于菱形是特殊的平行四边形，所以菱形的面积等于底乘高，因为菱形的对角线互相垂直，如图4，S菱形ABCD=S△ACD+S△ACB=12AC·DO+12AC·BO=12AC（DO+BO）=12AC·DB，得出菱形的面积等于对角线乘积的一半．

是不是只有菱形的面积可以用对角线乘积的一半来计算呢？很多学生不太确定，经过探究，学生发现一个四边形只要对角线垂直，面积都可以用对角线乘积的一半来计算，如图5，S四边形=S△EGH+S△EGF=12EG·HM+12EG·FM=12EG（HM+FM）=12EG·HF．

图4          图5

3.3  借助知识类比迁移，形成过程结构化

对教学内容的整体性设计，有助于培养学生的知识迁移能力，在学习过程中，对知识进行类比和迁移的过程很重要．

例如：在学习函数图象的平移时，学生对“上加下减，左加右减”非常熟练，在教学时却没有足够的时间让学生体验和感悟图象平移的规律，学生没有形成过程的结构化．在教学时可以设计这样的活动：

（1）一次函数y=2x+4的图象由正比例函数y=2x的图象如何平移得到？（学生通过“画”“看”“想”“说”，经历完整的学习过程，获得具身体验、思维体验和情感体验，得出可以向上平移4格，也可以向左平移2格，然后进行一般化，函数y=kx+m（k，m为常数，k≠0）的图象由函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象如何平移得到？函数y=k（x+n）（k，n为常数，k≠0）的图象由函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象如何平移得到？

（2）既然一次函数图象的平移具有这样的规律，那么其它函数图象的平移是否也具有这样的规律呢？

教师引导学生在不断的反思中，使学生的数学认知由感性上升到理性，从而提升学生的思维能力．

3.4  设计思维结构图，走向知识结构化

让学生的思维结构化，离不开教师引导学生对所学知识点的整理和归纳，教师通过引导学生绘制知识结构图或者思维导图，使学生掌握知识间的前后联系，把零散的知识串成线、连成片，构建知识板块，有利于学生形成综合的学习能力，发展数学核心素养．利用知识结构图对所学知识进行整理就是通过优化学生的知识结构，提高学习效果，同时用结构图的方式进行整理和思考，更容易从整体上把握数学知识的本质特征，促进学生走向知识的结构化．

思维结构图的呈现是学生对知识整体的展现，它能让学生养成对数学知识整理的习惯，在构建知识结构图的过程中，学生会对知识进行归纳总结，快速理解数学知识之间的联系，通过这样的方式，培养学生构建良好的结构化思维能力，促使学生获得的概念、性质、法则等系统化、层次化和结构化．

教师要熟悉数学知识体系，整体化、结构化地设计教学，使教学内容成为串在一起的知识链．当教师把数学知识整体化，帮助学生在学习过程中边学边串，学生最终得到的不仅是数学知识链，更多的是数学思维能力的结构链.当结构化教学成为一种教学常态时，必然能激发学生的学习动力，发展学生的核心素养，提升学生的逻辑思维，为学生的终身发展奠定坚实的基础．

参考文献

［1］章建跃．全面深化数学课改的几个关键［J］．课程·教材·教法，2015（05）：76-80．

［2］鲍红梅，喻平．完善中学生GPFS结构的生长教学策略研究［J］．数学教育学报，2006（02）：45-49．

［3］郑毓信．课程内容结构化之深思［J］．教育视界，2023（06）：5-10．

［4］中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准：2022年版［M］．北京：北京师范大学出版社，2022：84-85．

作者简介  万涛（1984—），男，安徽临泉人，高级教师，南京市张爱平和赵齐猛初中数学名师工作室成员，南京市鼓楼区初中数学学科教学带头人;多次获得南京市教育案例一等奖和鼓楼区青年教师基本功大赛一等奖;主要从事初中数学体验教学模式研究．

诸士金（1976—），男，南京市鼓楼区教师发展中心初中数学研训员，南京市初中数学学科带头人，苏科版《义务教育教科书·数学》核心作者，南京市中青年优秀人才;主要从事初中数学教育和结构化教学研究工作，主持多项省级规划课题，发表多篇论文．