基于数学概念学习理论优化高中概念教学

龙雯婷

一、教材分析

在函数性质的单元教学中，重点要学习函数的单调性和奇偶性。单调性是函数基本性质中的重要概念，它描述了函数值如何随着自变量的变化而变化。函数的奇偶性是另一个基本的函数性质，与单调性不同，它不涉及函数的局部变化，而是关注函数的对称性。函数的奇偶性可以通过数学符号和函数图象来描述，它决定了函数图象的对称特征，并且在解决特定问题时非常有用。总的来说，单调性和奇偶性是函数的两个基本性质，它不仅联系着初高中数学的知识点，而且对培养学生的数学思维和核心素养至关重要。

二、学情分析

在中学阶段，学生已通过解析式、列表和绘图等方法研究了函数性质，但没有用符号语言进行规范描述。学生还需持续学习归纳函数的基本属性，从宏观角度对函数性质形成全面的认知。

三、教学目标

1.学会如何用数学语言表示函数的单调性；知道函数定义域内的特点区间是函数单调性成立的必备条件；掌握推导函数单调区间的具体方法，准确辨别增函数与减函数之间的区别。

2.把握单调性的含义，并运用逻辑性的符号来进行函数单调性的论证；总结并熟练掌握证明函数单调性的流程。

3.采用数形结合的方法，让学生掌握用符号来定量描述函数奇偶性，并理解这是对函数定义域整体性质的描述；综合考查函数图象的整体形态。

4.明确偶函数、奇函数、既奇又偶函数以及非奇非偶函数之间的区别。

5.构建涵盖函数奇偶性的知识体系，让学生明确本阶段教学的重要性，从而产生学习的内生动力。

6.创设数学情境，用引导教学法教学生解决实际问题，以增强学生整体的数学素养。

四、教学重难点

1.函数单调性

教学重点：掌握函数单调性的具体内容，能证明函数具有单调性。

教学难点：用符号逻辑深入解释函数单调性的概念，并用此概念进行逻辑推理，证明函数的单调性。

2.函数奇偶性

教学重点：掌握函数奇偶性的具体内容；学会证明函数奇偶性。

教学难点：利用符号逻辑深入解释函数奇偶性的概念，并用此概念进行逻辑推理，证明函数的奇偶性。

五、教学课时

两课时

六、教学过程

第一课时 函数的单调性

（一）情境导入

我们之前探讨过函数的基本概念及其表达方式，现在我们将一同研究函数的特性，首先我们绘制三个函数的图象：f（x）=x，g（x）=，h（x）=x2。

师：观察函数图象，你发现了哪些特点？

生1：函数f（x）是一条上升的直线，而函数g（x）是一条下降的直线，函数h（x）则先是下降后上升。

师：在初中阶段，对于上升和下降的趋势，我们该如何表述呢？

生2：当y随着x的增加而增加时，我们称之为上升；而当y随着x的增加而减少时，我们称之为下降。

师：那么，如何描述函数f（x）中x的增加呢？

生3：x的数值变大就是增加，x的数值变小就是减小。

师：那么这个x数值增加到超过f（x）的定义域也可以吗？没有对比值也能比较出大小吗？

生4：不行，超出定义域范围都不行。还需要一个对比值。

师：所以谁来总结一下？

生5：在函数f（x）的定义域内，对于任意的x1和x2，如果x1＜x2，那么f（x1）＜f（x2）。

师：对于函数g（x）=的图象，y是否随着x的增加而减小，在不同区间上的单调性呢？

生6：因为函数g（x）=的定义域是x≠0，图象可以分为两部分。在（-∞，0）上，y随着x的增加而减小；在（0，+∞）上，y同样随着x的增加而减小。

师：对于函数h（x），如何在区间（0，+∞）上描述y随着x的增加而增加呢？

生7：取任意的x1和x2属于（0，+∞），我们有h（x1）=x12和h（x2）=x22。当x1＜x2时，我们可以看到h（x1）＜h（x2）。

（设计意图：首先通过直观的几何图象让学生感受函数的动态变化，然后用文字语言阐释这些变化，最后再引入符号语言，让学生在多种表达方式中深刻理解函数的本质，深化对函数单调性的理解，促进学生数学抽象思维的形成。最终，全面提升学生的数学核心素养。）

（二）抽象构建

师：请用符号语言定义单调增函数。

生8：如果函数f（x）的定义域为1，x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称函数f（x）为单调增函数，区间D为函数f（x）的单调增区间。

教师追问：任何区间内都是这样吗？这样说准确吗？

学生补充：如果函数f（x）的定义域为1，且在区间D？哿1上，对于任意x1，x2∈D，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称函数f（x）为单调增函数，区间D为函数f（x）的单调增区间。

师：请用符号语言定义单调减函数。

生9：如果函数f（x）的定义域为I，且在区间D？哿1上，对于任意x1，x2∈D，且x1＞x2，都有f（x1）＞f（x2）则称函数f（x）在区间D上为单调减函数，区间D为函数（f）x的单调减区间。

师：函数g（x）=1的减区间（-∞，0）∪（0，+∞），那么g（x）=1在（-∞，0）∪（0，+∞）上是否为减函数？

生10：不正确。因为g（x）=1是一个常数函数，它在任何区间上的导数都为0，所以它既不是单调增函数，也不是单调减函数。它在整个定义域上都是常数函数，不具有单调性。

（设计意图：让学生在抽象与具体的交界处，把握函数单调性的精髓。通过引导他们用符号语言表达这一概念，激发学生从个别到一般、从具体到抽象的思考模式。）

（三）随堂小测

师：请利用定义证明函数f（x）=的单调性，并指出它的单调区间。

（设计意图：运用“定义法”清晰展示了学生的逻辑思维过程，让学生进一步感受数学学科的严谨性。）

（四）总结分享

师：通过学习，同学们有什么收获？在今天的学术探索中，你汲取了哪些智慧的甘露？请慷慨地分享你的见解与领悟。

第二课时 函数的奇偶性

（一）情境重构

师：下列各图形（见图1）展现了哪些独特的美？

生1：轴对称的美。

师：回顾你所学的函数图象，哪些是轴对称的？

生2：如f（x）=x2，g（x）=x2+1，h（x）=x等的函数图象。

（设计意图：借助轴对称图形这种导入方式，自然地过渡到偶函数图象的讨论。这既符合学生的认知规律，又能有效地激发他们对函数图象性质的探究兴趣。）

（二）分析与构建

师：深入观察函数f（x）=x2和g（x）=x的图象，它们之间有什么共性？

生3：这些图象都展现出了关于y轴的对称性。

师：比较f（1）和f（-1），以及f（2）和f（-2），还有f（3）和f（-3）的数值，它们之间有何联系？

生4：无论自变量是正数还是其相反数，对应的函数值是相等的。

师：思考上述观察是否具有普遍性，即f（-x）是否总是等于f（x）。

生5：通过分析，我们发现对于所有x值，f（-x）总是等于f（x），这表明函数f（x）是一个偶函数。

师：基于以上发现，我们能否推断出一般性的结论：即对于任意函数y=f（x），如果它的图象关于y轴对称，那么f（-x）必然等于f（x）吗？

生6：我觉得可以。

教师小结：偶函数图象的特性体现在它们关于y轴镜像对称。这种对称性意味着图象上的每个点都有一个在y轴另一侧的对称点。基于这样的图象特征，我们可以正式提出偶函数的概念。考虑一个定义在集合I上的函数f（x），我们称f（x）为偶函数，当且仅当对于I中任意一个元素x，其相反数-x也属于I，并且f（-x）的值等于f（x）的值。

师：通过观察函数f（x）=x和g（x）=的图象，我们可以识别它们共享的显著特征。它们分别具有哪些独特的图形属性？

（明确：这两个函数的图象都展现了关于原点的对称性。）

师：参照偶函数的研究方法，我们来计算f（1）和f（-1）、以及f（2）和f（-2）、还有f（3）和f（-3）的函数值，并探讨它们之间的关系。

（明确：当自变量互为相反数时，因变量的符号也会互为相反数。）

师：现在我们来分析这些问题是否具有普遍性， f（-x）=-f（x）是否总是成立？

生7：通过验证，得出结论：f（-x）=-x确实等于

-f（x），这一等式普遍成立。

师：基于以上发现，我们能否推广出一般性的结论，即对于任意函数y=f（x），如果它的图象关于原点对称，那么f（-x）必然等于-f（x）？

生8：是的。对于任何关于原点对称的函数图象，都满足f（-x）=-f（x）的性质，这也是奇函数的一个重要特征。

（设计意图：通过研究具体的函数和它们的图象，识别并总结偶函数的一般特点。这个过程不仅巩固了研究函数性质的方法，而且展现了从特殊到一般的数学思想。随后，采用类比教学加深了学生对函数奇偶性的理解，培养学生解决问题的能力及运用已有的知识去发现新知识的能力。）

（三）深化理解

师：深入理解偶函数和奇函数的概念，涉及函数f（x）的定义域I。在这个定义域中，对于任意的x值，都必须满足-x也属于I，这一条件说明了偶函数和奇函数的定义域具有什么共同特征。

师：在函数单调性的学习中，我们了解到单调性关注的是函数的局部变化趋势，那么，函数的奇偶性是否也属于研究函数的局部性质呢？

（设计意图：以上两个问题，旨在深化学生对函数奇偶性概念的理解。通过探讨定义域的对称性，学生能够认识到函数的点对称性内涵，同时使这一概念在数学的图象中得到直观展现。这不仅塑造了定义域的结构，还深刻地揭示了函数的本质特性。通过探究以上两个问题，架起培养学生数学推理能力的桥梁，加强学生对数学概念的深度理解。）

（作者单位：陕西省安康市汉滨区汉滨高级中学）

编辑：蔚慧敏