初中数学教材使用中可融入的数学史

张富平

数学是一门重要的学科，在学习数学的过程中，学生应重视对数学史的了解，因为数学史能够展现数学的发展历程和数学家的思想，可以帮助学生更好地理解数学的概念和方法，培养学生的数学思维和创新能力。本文以北师大版八年级下册为例，研究初中数学教材使用中可融入的数学史的相关内容，目的是进一步丰富课堂内容，激发学生的学习热情，提高课堂效果。

一、等腰三角形的性质证明

在北师大版八年级下册的教材中，有一个单元是关于等腰三角形的，其以七年级下册为基础。在七年级下册中，学生通过折叠和观察来学习等腰三角形的性质，而在八年级下册中，学生需要进一步学习如何证明等腰三角形的性质，包括“等边对等角”和“三线合一”。教材引导学生使用之前学过的基本事实和已有定理来证明等腰三角形的“等边对等角”性质，强调了逻辑证明的过程，使学生从感性认识上升到理性认识等腰三角形的性质。

在八年级下册的“1.1 等腰三角形”单元中，教师可以运用数学史的内容来辅助教学。首先，可以介绍等腰三角形“三线合一”性质的实际应用。其次，可以向学生介绍证明等腰三角形“等边对等角”性质的几种方法。第一种方法是利用“全等三角形”的定理，通过构造等腰三角形的镜像三角形，运用全等三角形的性质来证明。第二种方法是采用“平移”的思路，将等腰三角形的一条腰平移到另一条腰上，根据“平移”的性质得出结论。第三种方法是利用“角的平分线”的性质，通过构造角平分线来证明等腰三角形的“等边对等角”性质。

（一）等腰三角形“三线合一”的性质应用

早在古代时期，等腰三角形的“三线合一”性质就得到了实际应用，如水准仪。古埃及时期就有了水准仪的存在，其形状是一个等腰三角形，水准仪顶点处挂着铅垂线，如果铅垂线过底边中点，则表明该底边水平。在历史上，古埃及人修建庙宇时会进行严格的测量，他们将其视为神圣的工作，很多人会把水准仪的形状制作成护身符。教师在教学过程中，可以采用图文并茂的形式呈现以上内容。

（二）等腰三角形“等边对等角”性质的几种证明

约公元前300年，欧几里得在《几何原本》中展示了如何延长等腰三角形的腰。在公元3世纪末，帕普斯将等腰三角形想象成两个三角形，并运用“边角边”定理证明了△ABC=△ACB，从而得出两底角相等的结论。公元5世纪，普洛克拉斯采用了类似欧几里得的证法，通过在△ABC的腰上分别作E、D两点，使得BE=CD，并运用两次“边角边”定理证明了三角形的全等性，从而证明了底角相等。在18世纪末，勒让德通过作底边上的中线，运用“边边边”定理证明了三角形的全等性，从而得到了两底角相等的结论，这也是北师大版八年级下册中所运用的方法。19世纪，莱斯利作顶角的角平分线，运用“边角边”定理证明了底角相等。

在教学过程中，教师可以引导学生用不同的方法证明等腰三角形的性质，并对学生的多种证法进行点评，接着列出数学家们的几种证明方法，以拓宽学生的思路。教师可以通过欧几里得证法的“复杂性”引发学生思考，将其作为补充知识，给学生简单介绍《几何原本》的公理体系，进一步渗透公理化思想，拓宽学生的视野，使他们明白教材构建的公理体系与《几何原本》的公理体系是不同的。

（三）三角形的中位线定理证明

在八年级下册的数学教材中，三角形的中位线定理是通过沿着中位线裁剪三角形，拼接成与原三角形面积相等的平行四边形的方法来呈现的，学生可以直接了解定理，通过画辅助线构造平行四边形进行证明。这一定理背后也有许多与数学史相关的内容，教师在教学中可以进行有机地融入，让学生了解三角形中位线定理背后的历史和文化，加深学生对该知识的理解和认识，培养学生对数学的兴趣和好奇心。通过了解数学史，学生可以更好地理解数学的发展过程，认识到数学不仅是一种工具，还有其独特的文化背景和价值。

二、因式分解

（一）代数方程的因式分解方法

1591年，法国数学家韦达在《论方程的整理和修改》中首次提出了代数方程的多项式因式分解方法，并证明了在实数范围内，所有三次和三次以上的一元多项式都可以进行因式分解。韦达使用了数学归纳法和递归的思想，将多项式进行分解逐步简化，得到多项式的因式分解形式。其中蕴含的数学推理和证明的思想方法，对数学的发展起到了重要的推动作用。

教师可以在教学中介绍韦达的贡献，让学生了解代数方程因式分解方法的起源和发展过程，从而更深入地理解因式分解的方法和原理。同时，教师也可以引导学生思考，为什么只有三次和三次以上的一元多项式可以进行因式分解。教师还可以引导学生思考代数方程因式分解方法在实际问题中的应用。将实际问题转化为代数方程，利用因式分解的方法求解，帮助学生将数学知识与实际问题结合起来，培养他们的问题解决能力和创新思维。

（二）“>”和“<”符号引入

英国数学家和天文学家哈里奥特在《实用分析术》中使用因式分解方法解决了代数方程，并引入了“>”和“<”数学符号，推动了数学的发展。教师在讲解不等关系时可以说说哈里奥特的贡献，让学生了解数学符号的起源和应用，从而更深入地理解不等关系的概念和应用方法。同时，教师可以引导学生思考，为什么要引入这样的符号，以及这样的符号在数学中的作用和意义，培养学生的数学思维和推理能力。

（三）待定系数法的应用

1637年，法国数学家笛卡尔在《几何学》中首次使用待定系数法将四次方程分解为两个二次方程，并最早给出了因式分解定理。这种方法在因式分解问题上的应用范围非常广泛，特别适合教给初中二年级的学生。教师可以在教学中介绍笛卡尔的贡献，让学生了解待定系数法的原理和应用。教师通过引导学生思考和举例，可以帮助他们理解待定系数法的思想和方法。有的教师还研究了在历史、哲学和数学（HPM）视角下的“十字相乘法”的教学。尽管北师大版教材中没有明确要求教授“十字相乘法”，但在学生的日常练习中经常会用到它，因此教师有必要补充这个知识点。

三、分式方程和增根

（一）分式方程

9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在《代数学》中解决了一些分式方程的问题。13世纪，意大利数学家斐波那契在《计算之书》中提出了许多分式方程求解的问题，其中一些问题来源于花拉子米。同时，同一时期的中国数学家李冶在《测圆海镜》中也运用分式方程解决了一些实际问题。然而，在接下来的5个世纪中，几乎没有人研究分式方程。直到18世纪，英国数学家桑德森成为当时唯一研究分式方程的数学家，他在《代数基础》中提出了分式方程的解法，并提出了一些分式方程的应用题。桑德森在一岁时因染上天花而失明，但他通过听别人读书学习了拉丁语、希腊语、法语和数学，并掌握了希腊版的《几何原本》。1707年，他进入剑桥大学为学生授课，学生都被他的教学技巧折服。教师介绍桑德森的生平，可以让学生感受到他坚韧、顽强的精神，发挥数学史融入教学的“德育之效”，培养学生的毅力和坚持不懈的精神，让他们在学习数学中更加努力和自信。

（二）增根

斐波那契和桑德森等数学家在研究分式方程时没有遇到增根的问题，直到1800年，拉克洛瓦在《代数基础》中考虑了含有字母系数的分式方程，当字母系数使得根的分母为零时，根不存在。由于没有进行验根，所以错过了增根的发现，桑德森同时约去分式方程两边的未知数，导致了“失根”（少了零根）。基于此，介绍拉克洛瓦和桑德森的失误可以让学生意识到验根和考虑零根的重要性，避免重走前人的弯路。

1882年，美国的奥利弗在《代数专论》中分析了分式方程的解法，对增根有了清晰的认识，认为对分式方程两边同乘分母的最小公倍式可以消除增根。1899年，费歇尔和施瓦特纠正了前者的错误，给出了既不会失根也不会有增根的解法。教师在教学中可以介绍这段历史，帮助学生了解增根和失根的由来，意识到前人也犯过与自己一样的错误，经历了相似的困惑，体会费歇尔和施瓦特解分式方程方法的严谨性和优越性，培养学生的批判性思维和解决问题的能力。

四、平行四边形

（一）《几何原本》中平行四边形的判定与性质

在《几何原本》中，欧几里得给出了斜方形的定义，即对角相等且对边亦相等但边不全等且角不是直角的四边形，这实际上就是不包含菱形、矩形和正方形的平行四边形。欧几里得对平行四边形的定义应该是两组对边分别平行的四边形，并通过《几何原本》中的两个命题分别给出了平行四边形的若干性质和判定的证明，即“在同一方向（分别）连接相等且平行的线段（端点），则连接线段相等且平行”，该命题正是平行四边形的判定定理之一，证明过程运用了边角边三角形全等判定定理，与北师大版教材的证法一致；“在平行四边形中，对边相等，对角相等，对角线二等分该图形”这一命题涵盖了平行四边形的两个基本性质。由于公理体系的限制，该命题的证明较为复杂，而教材中直接运用角边角三角形全等判定定理进行证明。与我国现今初中教材相比，《几何原本》并没有涉及两组对边分别相等和对角线互相平分的平行四边形判定定理，以及平行四边形对角线相互平分的性质，以上部分内容可以作为阅读材料供学生了解。例如，在学完平行四边形的判定后，教师可以给学生展示公元前300年的欧几里得对斜方形的定义，让学生判断斜方形是不是平行四边形，利用数学史料来帮助学生巩固知识，加深学生对平行四边形性质的理解，提高学生的学习兴趣和思考能力。

（二）平行四边形的余弦定理

平行四边形的余弦定理具有丰富的数学历史背景，除了在《几何原本》中证明外，我国三国时期的赵爽在《周髀算经·日高图》注中也提到了矩形情况下的余弦定理，即“黄甲与黄乙（面积）其实正等”，该定理在《周髀算经》中用于测太阳高度，在《海岛算经》中用于测算小岛的高度，可见当时古人的智慧之高。在《九章算术注》中也多次应用到了相应的数学思想，即出入相补原理，即一个图形移动到其他位置面积不变，若将图形分割成若干块，各部分面积之和等于原来图形的面积，我们的先辈正是运用该思想得到矩形的余弦定理。此外，平行四边形的面积求解问题可能会涉及余弦定理。因此，在平行四边形的教学中补充余弦定理的历史背景，有利于丰富学生对平行四边形的认识，体会余弦定理宝贵的数学思想，同时也可以提高学生的民族自豪感。通过了解古代数学家在实际问题中如何应用余弦定理，学生可以更深入地理解这一定理的意义和应用，激发对数学的兴趣和探索精神。

综上所述，目前将数学史融入数学教学的教育价值已被广泛认可，关键在于如何有效地将其实践。因此，本文通过文献研究整理出相关的数学史素材，参考了北师大版八年级下册数学知识的相关数学史研究，总结了等腰三角形的性质证明等不同知识点的数学史背景，并给出了一些教学建议。教师引入数学史，可以帮助学生更好地理解数学的发展历程，激发他们对数学的兴趣和学习动力。同时，通过学习数学史，学生还可以了解到数学在实际问题中的应用，培养他们的创新思维和问题解决能力。因此，将数学史融入数学教学是一种有益的教学方法，可以丰富教学内容，提高学生的学习效果。

（作者单位：甘肃省兰州市榆中县和平中学）

编辑：赵文静