一次函数与反比例函数综合题型解法初探

孟凡波

近年来，把一次函数与反比例函数结合起来考查的综合题型越来越多地出现在各地的中考试卷中，已成为中考的必考内容与热点题型，值得我们高度重视.现以黑龙江省2022年部分地市的中考真题为例，对常见的一次函数与反比例函数综合类题型的解法作初步探讨，供大家参考.

1 与函数的图象、性质有关的低档题型

这种题型侧重于考查对函数的定义、图象、性质、解析式等基础知识的理解与运用，多为选择题、填空题，分值在3～5分之间，难度较小.

例1（2022年大庆市中考试题）写出一个过点D（0，1）且y随x增大而减小的一次函数关系式.

解析：因为函数值y随自变量x的增大而减小，所以可设一次函数的关系式为y=-x+b.

把点（0，1）代入关系式得，b=1.

所以，一次函数关系式为y=-x+1.

故答案为：y=-x+1（答案不唯一）.

思路与方法：本题主要考查考生对一次函数性质的理解与运用能力.理解了一次函数的性质（对于直线y=kx+b，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小），只需把已知点的坐标代入函数关系式即可求出b的值，进而写出函数关系式.

思路与方法：本题侧重考查考生对反比例函数性质的理解与灵活运用能力.解法1利用了反比例函数的性质，运用这种方法时要注意给出的图象上的点是否在双曲线的同一分支上，还要考虑到k值的符号、双曲线的位置、函数值的增减性三者之间的相互依存关系.解法2采用了特殊值法，相比较而言，显得非常简捷.

2 与函数解析式有关的中档题型

这种题型常以选择题、填空题的形式出现，分值虽然在5～10分之间，但难度明显增加，属于中档题型.

例3（2022年齐齐哈尔市中考试题）如图1，A是反比例函数y=kx（x<0）图象上一点，过点A作AB垂直y轴于点D，且D为线段AB的中点.若C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4，则k=.

解析：设点Aa，ka，

a＜0，因为D为线段AB的中点，AB垂直于y轴，

所以AB=2AD=-2a.

又因为S△ABC=12×（-2a）×ka=4，所以k=-4.

故答案为：-4.

思路与方法：本题主要考查利用面积求反比例函数中k的值，解题的关键是能否灵活运用S△ABC=12×（-2a）×ka=4这个关系式.

例4（2022年哈尔滨市中考试题）已知反比例函数y=-6x的图象经过点（4，a），则a的值为.

解析：把点（4，a）代入y=-6x，得a=-64=-32.

故答案为：-32.

思路与方法：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，明确函数图象若经过一个点，则这个点的坐标就符合函数解析式是解题的关键.只要把点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出a的值.

3 一次函数与反比例函数综合类高档题型

这种综合类题型，涉及的知识点多，覆盖面广，常以压轴题的形式出现，分值在10～15分之间，侧重于考查考生的思维方式、创新能力和灵活运用所学知识的能力，综合性较强，难度较大，属于高档题型.

例5（2022年绥化市中考试题）如图2，在平面直角坐标系中，已知一次函数y1=k1x+b与坐标轴分别交于A（5，0），B0，52两点，且与反比例函数y2=k2x的图象在第一象限内交于P，K两点，连接OP，△OAP的面积为54.

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）当y2>y1时，求x的取值范围；

（3）若C为线段OA上的一个动点，当PC+KC最小时，求△PKC的面积.

解析：（1）因为一次函数y1=k1x+b与坐标轴分别交于A（5，0），B0，52两点，所以把A（5，0），B0，52两点分别代入y1=k1x+b，可得5k1+b=0，b=52，解得k1=-12，b=52.所以一次函数的解析式为y1=-12x+52.

如图3，过点P作PH垂直x轴于点H，因为A（5，0），

所以OA=5.又因为S△PAO=54，所以12×5×PH=54，解得PH=12.由-12x+52=12，可得x=4，

所以P4，12.

因为点P4，12在双曲线上，所以k2=4×12=2.

故反比例函数的解析式为y2=2x.

（2）根据题意，联立方程组得y=-12x+52，y=2x.

解得x1=1，y1=2，x2=4，y2=12.所以点K的坐标为（1，2）.

根据函数图象可知，反比例函数图象在直线上方时，有04，所以当y2>y1时，x的取值范围为04.

（3）如图3，作出点K关于x轴的对称点K′，连接KK′交x轴于点M，则K′（1，-2），OM=1，再

连接PK′交x轴于点C，连接KC，则PC+KC的值最小.

设直线PK′的解析式为y=mx+n，

把P4，12，K′（1，-2）代入，得m+n=-2，4m+n=12，

解得m=56，n=-176.

所以直线PK′的解析式为y=56x-176.

当y=0时，x=175，

所以C175，0，则OC=175.

所以MC=OC-OM=175-1=125，

AC=OA-OC=5-175=85，

AM=OA-OM=5-1=4.

因此S△PKC=S△AKM-SKMC-S△PAC=12×4×2-12×125×2-12×85×12=4-125-25=65.

思路与方法：本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，正确作出辅助线是解答本题的关键.

第（1）小题先运用待定系数法求出一次函数的解析式，再根据△OAP的面积为54和直线AB的解析式求出点P的坐标，进而可求出反比例函数解析式.

第（2）小题根据已知条件列出方程组并求解即可得到点K的坐标，然后再结合函数的图象便可得出x的取值范围.

第（3）小题先作出点K关于x轴的对称点K′，然后连接KK′，使PK′交x轴于点C，再连接KC，则PC+KC的值最小，可求出点C的坐标，最后根据S△PKC=S△AKM-SKMC-S△PAC的关系即可求出△PKC的面积.

例6（2022年大庆市中考试题）已知反比例函数y=kx和一次函数y=x-1，其中一次函数图象过（3a，b），（3a+1，b+k3）两点.

（1）求反比例函数的关系式；

（2）如图4，函数y=13x，y=3x的图象分别与函数y=kx（x>0）图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得△ABP周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由.

解析：（1）把点（3a，b），3a+1，b+k3代入y=x-1，得b=3a-1，b+k3=3a+1-1，解得k=3.所以反比例函数解析式是y=3x.

（2）存在点P使△ABP周长最小.理由如下：

解y=13x，y=3x和y=3x，y=3x，得

x=3，y=1和x=1，y=3.所以A（3，1），B（1，3）.

如图5，作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′，交y轴于点P，当点A，P，B′在一条直线上时，线段AB′的长度最短，所以存在点P使△ABP周长最小，此时△ABP的周长为AB+BP+AP=AB+PB′+AP=AB+B′A=（3-1）2+（1-3）2+（3+1）2+（1-3）2=25+22.

思路与方法：本题主要考查函数的综合运用能力，会利用待定系数法求函数解析式，利用轴对称求出点P的位置是解题关键.第（1）小题较简单，用待定系数法求出函数解析式即可；第（2）小题是具有探索性的问题，只要能够作出点B关于y轴的对称点B′，连接AB′，交y轴于点P，即可解决三角形周长最小的问题.

综上所述，一次函数与反比例函数综合类题型考查的知识点多，范围广，涵盖了各种题型，因其难易程度不同，分值也不相同，解题的思路与方法也不尽相同.但是不管哪种题型，解题的关键都是要在数形结合思想的指导下，在理解函数的性质、看懂函数图象的基础上，敏锐地从中捕捉到所需要的信息，利用好交点的坐标等已知条件，准确地把握和运用其中的数量关系，综合运用函数、方程、不等式等相关知识和方法加以解答.