借力不变性寻找统一性

黄东元

摘要：要想做到把所学的数学知识和蕴含的数学思想方法从整体上去进行统一，就必须用更高的观点去审视，从更一般的视角去切入.本文中尝试借助“变化中的不变量和不变性”，透过现象看本质，将各种不同的构造统摄于同一个基本思想之下，进而深刻认识数学的本质.

关键词：统一性；不变量；不变性

1 启示

在数学的发展史上，古埃及几何学的一个重大缺陷就是他们没能将众多的特殊情况纳入更一般的视角，从而无法得出更广泛和更基本的定理.与此相反，笛卡儿用线段的长度来表示所有的连续量，连续量所具有的重要特性就鲜明地表示出来了：首先，不论多少都能分割；其次，这些连续量也能自由地结合在一起；再次，能够很容易地比较它们的大小.例如：形状不同的杯子里的水的体积是不容易比较的，但是如果将体积转换成长度，立刻就可以进行比较，只要把水倒进带刻度的量杯后就可以比较，量杯本来就是把体积转换成长度的工具.类似地，杆秤是把重量转化成长度的工具；时钟是把时间转化成曲线的长度的机械；温度计把温度转化成了长度：等等.这一切都为坐标系的出现做好了准备，为坐标几何的诞生奠定了基础，像这样用一种原理把完全不同的事实统一起来，充分显示了数学的威力.

美国数学家莫里斯5克莱因认为：现代科学最重要的信念是自然界的一致性和不变性.英国数学家阿蒂亚也认为：数学各分支（代数、几何、拓扑、分析等）之间的相互作用绝不仅仅是一种偶然的巧合，实际上它反映了数学的本质，数学的统一性和简单性都是极为重要的.

2 思考

要想把数学进行统一，关键是找到一个合适的突破口.纵观数学的发展史，解析几何之所以能统一代数和几何，是因为几何学拥有一种内蕴的代数结构.1872年，德国数学家克莱因在《爱尔兰根纲领》中将几何变换用于认识欧氏几何，促成了人类对几何本质的深刻认识：几何就是研究在各种变换群下的不变性和不变量，在学生的思维上形成的是用不变的规律解释始终变化的图形特点的认识.笛卡儿在他的《方法论》中论述了自然定律的永恒不变性，在物理学中有动量守恒定律、角动量守恒定律、能量守恒定律等；在数学上则有不变性、不变量、不变型等.受此启发，笔者尝试以能否运用变化中的不变量和不变性为突破口，把数学知识和方法进行统一.下面是笔者在这方面做的一些尝试，不当之处，还请批评指正！

3 变中有不变的典型案例

在千变万化的现象背后，只要抓住不变的规律，就能够透过现象看本质，达到对数学知识的深刻理解.在初中数学知识中，存在着很多变化中有不变的典型案例，举例如下：

（1）任意多边形的内角和随着边数的增加而增大，但是它的外角和永远不变.

（2）在自然数、有理数、实数、复数中，数系的范围在扩大，但其中的运算法则a+b=b+a，ab=ba，（a+b）+c=a+（b+c），（ab）c=a（bc），a（b+c）=ab+ac保持不变.

（3）分解质因数与整式的分解因式在形式上虽然不同，但本质上属于同一种运算结构.

（4）在旋转、平移、轴对称这些刚体运动中，图形的位置虽然发生了变化，但是图形中任意两点间的距离和夹角保持不变.

（5）对于同一个函数来说，它的表达形式可以不同，但是变量间的对应关系是不变的.

（6）对于一元二次方程来说，它的形式虽然千变万化，但是它的根的判别式是一个不变式.

（7）如果让某种随机实验发生（通过计算机模拟），虽然每次出现的结果不尽相同，但是通过大量的实验之后，就会发现它们的平均值是一个稳定的结果，这个结果就是这个随机事件的概率，这就是著名的蒙特卡洛方法.

下面再结合人教版教材，列举在初等数学方法方面利用变化中的不变量和不变性的例子.

案例1利用速度和不变列方程

（人教版数学教材七年级上册第99页第10题）王力骑自行车从A地到B地，陈平骑自行车从B地到A地，两人都沿同一公路匀速前进，已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36 km，到中午12时，两人又相距36 km.求A，B两地间的路程.

分析：本题中有王力和陈平的速度以及A，B两地间的路程三个未知量，难度较大，学生不容易理解，但是考虑到两人都是匀速行驶，因此两人的速度都不变，则两人的速度和就不变，可以把两个人看成“一个人”.

解法1：设“这个人”的速度为x km/h，则8时到10时阶段，A，B两地间的路程可以表示为（2x+36）km;

8时到12时阶段，A，B两地间的路程可以表示为（4x-36）km.

列方程，得2x+36=4x-36，解得x=36，则A，B两地间的路程为108 km.

解法2：设全程为x km，则8时到10时阶段“这个人”的速度为x－362；8时到12时阶段，“这个人”的速度为x+364.根据速度不变列方程x－362=x+364，解得x=108，则A，B两地间的路程为108 km.

案例2利用速度不变列方程

（人教版数学教材七年级上册第99页第11题）一列火车匀速行驶，经过一条长300 m的隧道需要20 s的时间.隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10 s，求这列火车的长度.

分析：本题中有如下两个情境.

（1）火车过隧道（小学里有汽车过桥的问题）.

火车穿隧道的过程是从火车头进隧道开始，到火车尾出隧道结束，由于火车本身有长度，学生理解有困难，因此可以在火车尾处选一个点P，如图1所示.

把火车穿隧道等效为点P穿隧道，学生容易理解，如图2，设火车长为x m，则点P走的路程为（300+x）m，火车的速度=点P的速度=300+x20.

（2）灯照火车.

由于火车本身有长度和速度，不容易理解，可以根据相对运动理论等效处理为：火车不动，灯泡以火车的速度把火车扫描了一遍，如图3，即灯泡在10 s的时间里走了一个车身长x m，灯泡的速度=x10.因此，灯泡不动，火车的速度=x10.

根据火车的速度不变列方程，得300+x20=x10.

案例3利用年龄差不变或时间不变列方程

（七上第112页第8题）父亲和女儿的年龄之和是91，当父亲的年龄是女儿现在年龄的2倍的时候，女儿的年龄是父亲现在年龄的13，求女儿现在的年龄.

解法1：根据年龄差不变列方程.不管过去还是现在，父亲与女儿的年龄差始终不变.

设女儿现在的年龄为x，则父亲现在的年龄是91-x.

若干年之后（或之前），当父亲年龄为2x时，女儿的年龄为91-x3.

根据父亲与女儿的年龄差不变列方程，得

（91-x）-x=2x-91－x3.

解法2：父亲和女儿都经历了同样的时间，根据时间不变列方程，得（91-x）-2x=x-91－x3.

案例4利用积分和不变列方程

（七下习题）在一次国际象棋女子挑战赛上，我国女子国际象棋大师谢军在苦战15盘后，以净胜俄罗斯棋手加利亚莫娃2分的优异成绩，第三次夺得棋后桂冠，比赛的积分规则是胜一局得1分，负一局得0分，和棋各得0.5分，则谢军最后积分多少？

分析：

所以，每一局无论谁胜谁负或者是和，谢军与加利亚莫娃的积分和不变，都等于1分，设谢军的积分为x，加利亚莫娃的积分为y，则x+y=15.又x-y=2，则

x+y=15，

x-y=2.

问题得解.

案例5利用边数比不变列方程

（七下习题）

有种足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的（如图4），黑皮可看作正五边形，白皮可以看作正六边形，设白皮有x块，黑皮有y块，则可以列方程组.

解法1：如图4，站在白皮的角度看，有一半的边对着黑边，设白皮x块，则白边有6x条，黑边有3x条；站在黑皮的角度看，y块黑皮有5y条边.根据黑边条数相等列方程，得3x=5y.

解法2：每一条黑边都对应一条白边，但是，白边只有一半和黑边对应，则

白边数是黑边数的2倍，所以6x=2×5y.

故3x=5y.

解法3：每块白皮外边有三块黑皮，记这个组合为（白，黑），则x块白皮外有3x块黑皮，

就有3x个（白，黑）组合；

每块黑皮外边有五块白皮，记这个组合为（黑，白），则y块黑皮外边有5y块白皮，就有5y个（黑，白）组合.

根据（白，黑）组合与（黑，白）组合个数相同，列出方程

3x=5y.

解法4：均摊法.

如图5，用b表示黑皮，a表示白皮，每块黑皮被5个白皮共用，把白皮平均分摊为5份，白皮的15给了黑皮.

由白皮周围有3个黑皮，可知

每个白皮对应35个黑皮，则

5个白皮对应3个黑皮.

所以白皮∶黑皮=5∶3，即x∶y=5∶3.

例如：每个人分12个馒头，10个人就分5个馒头，人数∶馒头数=2∶1.

自然哲学认为：在千变万化的现象背后，存在着不变的和永恒的东西，只有真正永恒的东西才是有价值的.我们要在个性中寻找共性，在变化中寻找不变，在混沌中寻找秩序，在秩序中寻找永恒，用一般观念来统领全局，建立一个前后一致、逻辑连贯的知识系统.张奠宙先生也认为：“数学中到处都是变与不变的矛盾统一.万变不离其宗，数学研究变化，却以找到其中的不变性作为归宿.”数学思维在运作过程中运用的是一些具有普适性的数学方法，这些数学方法超越了研究对象本身，具有高度的统一性.变中有不变，就能进行统一，将各种不同的构造统摄于同一个基本思想之下，从而达到深刻认识数学的本质的目的.