建构问题解决培养核心素养

张天富

《义务教育数学课程标准（2022年版）》教学建议中，强化情境设计与问题提出，注重发挥情境设计与问题提出对学生主动参与教学活动的促进作用，使学生在活动中逐步发展核心素养.2023年秋季学期我县在“中小学数学三年提质行动”一系列活动中，主要开展了“新授”课型的研究.其中，初中学段一节研究课对人教版八年级上册“完全平方公式”进行研讨.为了让活动起到更好的辐射作用，笔者组织了县域八年级数学教师参与课堂教学设计的集体备课和课堂展示教研活动，研讨后达成共识：在进行初中数学教学时，充分挖掘教材中隐含的数学问题，建构学生熟知的数学问题情境，激发学生学习动机，进一步培养数学核心素养.现将建构问题解决、培养学生核心素养的课堂实录分享如下，供参考.

1 教学目标

（1）理解完全平方公式的本质以及推导过程，并会运用公式进行简单的计算，了解完全平方公式的几何背景.

（2）经历观察、发现、归纳、概括、猜想等探究过程，培养创新能力，理解算理，发展符号意识和数感，学会用数学的眼光观察现实世界；培养逻辑推理能力和有条理的思考和表达能力，学会用数学的思维和语言思考、表达现实世界，培养数形结合意识.

（3）通过学习，体会探究的乐趣，增强合作意识，培养学习数学的信心，感受数学的内在美；体验数学活动的探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验与喜悦，树立学习自信心；培养敢于挑战、勇于探索的精神和善于观察、大胆创新的思维品质.

2 教学片段及分析

2.1 解决问题需要，自然生长课题

教师：同学们！一些特殊的整式乘法可以用什么公式？用这个公式需要满足什么特点？

学生1：使用平方差公式，需满足两数（式）和与这两数（式）差的乘积的特点.

教师：同学们！你能用平方差公式计算1022，982的值吗？你发现了什么？

学生2：计算这两个数不能用平方差公式，因为它们不能分成两个数的和与这两个数差的乘积形式，只能分成两个数的和或差的平方，说明还有一类特殊的整式乘法不是平方差公式.

教师：那你认为今天应该研究什么？

学生3：研究两个数的和与两个数的差的平方分别等于什么.

教师：很好！说明在整式乘法中还有一类特殊的式子，我们今天就要研究这个公式——“完全平方公式”（教师板书课题）.

教学说明：通过提出需要利用公式解决的问题，学生能够产生求知欲望，体会存在数学问题需要新知来解决，激发学习兴趣和学习动机，使得课堂气氛宽松活泼.通过引导学生思考解决问题的简便方法，引出课题——完全平方公式.

2.2 旧知形成思维，归纳数学公式

教师：如何探索、归纳这一类特殊的整式乘法呢？

学生4：类比平方差公式的探索方法就可以归纳出公式.

教师：请同学们翻开教材第109页，完成思考题并计算如下4个多项式的积.

观察上述四个式子，你能类比平方差公式发现四个式子的特点吗？

学生5：通过计算可以发现，前两个式子的左边是两数和的平方，右边是这两数的平方和加它们积的2倍；后两个式子的左边是两数差的平方，右边是这两数的平方和减去它们积的2倍.

教师：你能类比平方差公式的表示方法，用符号语言描述它们的规律吗？

教师：这两个式子有何相同点与不同点？

学生7：相同点——左边都是括号的平方，右边都是两数的平方和，都有它们积的2倍.不同点——前者左边是两数和的平方，右边是两数的平方和加上这两个数积的2倍；后者左边是两个数差的平方，右边是两数的平方和减去这两个数积的2倍.

教师：你们能用语言文字描述这一规律吗？

学生8：第一个是两数和的平方等于这两个数的平方和加上它们积的2倍；第二个是两数差的平方等于这两个数的平方和减去它们积的2倍.

教师：你们能用一句话描述这一规律吗？

学生9：两数（式）的和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数（式）的积的2倍.

教师：很好，这个规律就是我们今天要学习的完全平方公式.但仅通过这四个特殊式子得出的结论缺乏一般性，要让它们具有一般性应该怎么办？

学生10：要把公式从特殊推广到一般，就要对公式加以证明.

教师：选用什么样的证明方法？

学生11：类比平方差公式的推理方法，一是用代数方法计算证明，二是用几何图形面积方法证明.

教师：如何用乘法法则来验证说明它们是成立的？

学生12：用多项式乘以多项式的方法

教学说明：按照学生认知水平运用“多项式乘以多项式”的运算法则启发学生解决问题，通过观察、分析式子的结构特征，发现共同点与不同点，类比平方差公式的学习观察发现式子特征，根据认知能力，归纳形成完全平方公式，体现了从特殊到一般的数学思想.为了让学生在课堂上积极表达，引导学生用数学符号语言和文字语言描述公式，让学生会用数学的语言表达现实世界，促进学生思维能力的发展.

2.3 类比推理方法，深度理解公式

教师：很好，这是用代数方法来计算证明的，还可以用几何图形的面积来说明.下面先看我们生活中这类需要解决的问题：

问题1某学校原有一块边长为a m的正方形操场，在推进优质均衡教育的过程中，需要增加学生平均占地面积，将其边长增加b m扩大操场，如图1.

图1中①②③④各部分的面积如何表示？整个大正方形操场的面积呢？

学生13：①②③④各部分的面积分别为a2，ab，b2，ab；扩大后整个大正方形操场的面积是（a+b）2.

教师：为此可以得到一个什么样的式子？

学生14：（a+b）2=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.

教师：通过探索你发现（a+b）2的结果是什么了吧？

学生15：这样就能证明两数和的平方——完全平方和公式

教师：很好！这是两数和的完全平方公式.两数差呢？

问题2某学校原有一块边长为a m的正方形操场，在推进均衡教育的过程中，需要在原操场上划出图2中②③④三块矩形作为其他用途，将其边长减少b m后缩小了操场，如图2所示.

图2中①②③④各部分的面积如何表示？原来大正方形操场面积呢？

学生16：①②③④各部分操场的面积分别为

教师：若以缩小后操场的面积建立等式，可以得到什么式子？

学生17：（a-b）2+（a-b）b+b2+（a-b）b=a2，即（a-b）2=a2-2ab+b2.

教师：通过探索你发现（a-b）2的结果了吧？

学生18：这样就能证明两数差的平方——完全平方差公式

教学说明：学生对完全平方公式已经有直观认识，要求学生从代数角度推导公式，同时让学生辨别公式的易错点“（a+b）2=a2+b2，（a-b）2=a2-b2”，学习应用中应注意纠错，引导学生订正时可以说明原因.细化生活中的操场问题，让新知与学生生活中的问题相联系，帮助学生再认识完全平方公式，理解完全平方公式的几何意义.问题设计层层递进，多数学生能够参与并自主探究出公式.

2.4 公式解决问题，内化数学抽象

教师：你能用完全平方公式计算下列式子吗？

（1）（5+3m）2；（2）23x-1.5y2.

学生19：（1）中只要把5看成公式中的a，3m看成公式中的一个整体b，就能应用完全平方和公式，即（5+3m）2=52+2×5×3m+（3m）2=9m2+30m+25.

学生20：（2）中要把23x，1.5y分别看成公式中的a，b，由完全平方差公式，得23x-1.5y2=23x2-2×23x×1.5y+（1.5y）2=49x2-2xy+94y2.

教师：你能总结利用完全平方公式计算的步骤吗？

学生21：首先观察多项式是否为两数（式）的和（差）的平方；若是，就等于前后两项的平方和与两数（式）积的2倍的和（差）.

教学说明：直接运用完全平方公式解决问题，让学生进一步体会公式中a，b的含义及书写格式的规范要求.

2.5 回首情境问题，实现承前启后

教师：刚才我们用完全平方公式解决了特殊多项式的乘法，现在你能简便计算1022，982的值吗？

学生22：把底数102与98分别用两个方便计算的数表示成两数和或差的形式就能够运用完全平方公式来解决，达到简化计算的效果.

教师：你的想法不错，这两个数选什么更好呢？

学生23：应该选100与2，因为计算方便.

教学说明：解决了导入新课的情境问题，让学生深刻理解完全平方公式，达到承前启后的目的.感受数学来源生活，应用于生活，使课堂教学前后呼应.

2.6 运用核心素养，拓展认知思维

问题1如果x2+（m+1）xy+25y2是一个完全平方式，求m的值.

问题2已知（x+y）2=18，（x-y）2=6，求x2+y2和xy的值.

问题3分别计算：（a+b）2与（-a-b）2，（a-b）2与（b-a）2，（a-b）2与a2-b2.每组式子是否相等？通过这几组式子的计算，你有什么体会？是否还有新的发现？

问题4（1）（a+b+c）2=;

你能设计几何图形解释问题4中的两个式子吗？

教学说明：根据教材的题型、题目难度，以及学情分析情况，设计新知应用题目，由对公式的基本应用到灵活应用，由单纯数学练习到建立数学模型解决实际问题，这样由浅入深的拓展，既能加深对新知的理解与运用，又为学生完成课后作业起很好的引导作用，培养学生的数学核心素养.

3 教学思考

3.1 立足教材精选学材，创设问题解决情境

数学课堂教学有数学味，能培养学生核心素养，我们创设的问题情境没有远离数学本质，教师在教学设计时对所学数学知识有深度思考，理解教材编者意图，结合学生学情、立足教材构建学材.

3.2 深刻理解数学知识，关注思维自然生长

教学从“用教材教”转向“用教材学”.通过问题情境引出需要简便的算法，激起学生的学习欲望；利用教材中探究环节的四个乘法式子，引导学生发现其特点，学生类比平方差公式的探究过程，总结归纳出完全平方公式；得到公式后，从代数视角推理了公式，再结合生活问题的细化，从几何角度证明公式.学生运用获得的素养，实现问题的解决.

3.3 精心建构问题解决，培养学生核心素养

本节课对学生提出的问题都来自于教材，教师通过细化问题，让学生在真正理解问题本质的基础上发展的数学素养.在几何证明时根据学生的生活经验，将问题细化为学生原有认知的问题，通过推理、演算、逐步形成公式的学习经验，培养和发展学生解决问题的能力.问题的设置有心而无痕，这就需要教师在课前精心设计，这也是教学艺术的较高追求吧.

3.4 聚焦数学“三会”内涵，发展创新应用意识

从整体入手优化整个教学过程，从数学的文字语言和符号语言入手，探究平方差公式与完全平方公式之间的逻辑与关联性.教师准确把握教学内容，将这些关系梳理清楚，引导学生建立起系统的知识体系与结构.本节课通过数学的眼光观察，从现实世界的客观现象中发现数量关系，抽象出数学的研究对象及其属性，形成完全平方公式；理解正方形操场改建面积背后的数学原理，感悟数学的审美价值;思考揭示客观事物的本质属性，建立完全平方公式与现实世界之间的逻辑联系；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养科学态度与理性精神.语言为人们提供了一种描述与交流现实世界的表达方式，它可以简约、精确地描述自然现象、科学情境和日常生活中的数量关系与空间形式.