站在核心素养的高度解读教材

殷文涛 朱晓明

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标（2022年版）》）提出“核心素养是在数学学习过程中逐渐形成和发展的，不同学段发展水平不同，是制定课程目标的基本依据”.根据《课标（2022年版）》修订的教材出版发行前，教师使用的教材是依据《课标（2011年版）》的课程目标、课程理念编写的.在这个“过渡期”内，教师也应站在核心素养的高度去研读现行教材、设计教学方案、实施教学方案、评估学生的学业质量，从而实现数学教育教学的“三会”目标.我们站在培养“核心素养”的高度对青岛版教材“解直角三角形的应用”一节进行解读.

1 解读教材的核心内容

《课标（2011年版）》提出，教材编写“应当体现整体性，注重突出核心内容，注重内容之间的相互联系，注重体现学生学习的整体性”，《课标（2022年版）》指出“教材内容结构要着重关注核心素养的整体性”.数学教材是教师教学的主要依据，教师只有反复研读才能充分理解教材的编写意图，明确主要内容，确定教学目标，找出教学重难点，设计教学方案.

我们经过反复研读“解直角三角形的应用”一节的教材内容，认为本节内容主要是以模型思想作为“统领”.模型思想是《课标（2011年版）》提出的“十大”核心词之一.在《课标（2022年版）》提出了核心素养的概念后，模型观念成为初中阶段“九大”核心素养的组成之一，在解读“解直角三角形的应用”内容时，应围绕培养学生的“模型观念”的高度，去理解、把握教材，这样才能实现培养与发展学生数学核心素养的目的.

初中阶段用以培养学生模型观念的主要内容有方程（组）、不等式、函数三大块.每种具体模型观念都是在经历图１所示的学习过程逐渐形成和发展起来的.

本节共分3课时，是在学生会“解直角三角形”的基础上，通过精心选择了来自于生活和生产中的一些具体实例，围绕“建立直角三角形模型—求解直角三角形模型—应用直角三角形模型”的“主线”展开的.通过本节课的学习，学生能以“直角三角形模型”为例，进一步认识、理解、感悟图1所示的数学建模过程.

（1）第1课时

教科书先设计了测量“上海东方明珠塔高度”的问题情境.通过阅读发现，根据测量得到的数据，计算塔高的关键是把问题转化为解直角三角形的问题，从而抽象出对应的“几何基本模型”（图2）.这是解决这一类测量问题的“通用模型”，建立起这个模型后就是纯粹的数学计算问题，运用前面刚学习的解直角三角形的知识就很容易解决了.这种设计体现了“问题情境—建立模型—求解验证”的过程，有助于学生感悟模型思想、形成模型观念.

教科书随后又设计了两个背景和计算都比较简单的例题：例1可直接由背景材料转化为已知两边解直角三角形的问题；例2对应的数学模型是一个等腰三角形，通过作等腰三角形的高，利用等腰三角形的性质，可以把等腰三角形转化为直角三角形，进而问题得到解决.

（2）第2课时

第2课时安排了例3，本例取材于学生熟悉的生活实际，是以“住宅楼采光”为背景的实际问题，解决的关键在于把实际问题转化为解直角三角形问题.本例有两问，第一问的转化过程是通过把示意图3抽象为几何图形（图4）来解决问题，第二问是通过添加辅助线把问题转化为能利用图4所示的基本模型解决的问题.

学生通过学习本例题，能够进一步感受到借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明形象，有助于探索解决问题的思路.

教科书在例3之后对利用解直角三角形解决实际问题的基本思路进行了概括，并把图１中右上角的“数学模型”具体为“解直角三角形问题”，把右下角的“数学模型的解”具体为“求出有关的边或角”.

这样图1所呈现的解题过程实质上是数学建模的过程，即从实际生活（或具体情境）中抽象出数学问题，用数学符号表示出数学问题中的数量关系，求出结果，并回到实际问题中去检验.这与建立方程（组）模型、不等式模型、函数模型的过程是一致的.

教材这样设计的目的是为了让学生再一次具体感悟模型思想，体会到数学思想和方法的一致性，有助于培养学生的抽象能力、模型观念、应用意识和创新意识等核心素养.

（3）第3课时

为了让学生进一步熟悉建立图1所示的解题程序，本课时设计了例4和例5两个例题，前者是水利工程中的筑坝计算问题，后者是根据测量数据计算铁塔的高度问题.进一步落实第2课时的素养目标.

2 解读核心素养

初中阶段的九大核心素养分为四大类：

一个直观（几何素养）：几何直观；

两个意识（意识素养）：应用意识，创新意识；

三大能力（能力素养）：抽象能力，运算能力，推理能力；

三大观念（观念素养）：空间观念，数据观念，模型观念.

下面就“解直角三角形的应用”一节所能培养的数学核心素养分析如下.

2.1 运算能力素养

运算能力是《课标（2011年版）》提出的“十大”核心概念之一，是《课标（2022年版）》界定的核心素养之一.“运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力.能够明晰运算的对象和意义，理解算法与算理之间的关系；能够理解运算的问题，选择合理简洁的运算策略解决问题；能够通过运算促进数学推理能力的发展.运算能力有助于形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学态度.”运算能力是在不断地运用数学概念（定理、运算法则、运算律、运算公式等），进行一定数量练习的过程中逐步形成和发展起来的.

本节内容共涉及具体题目23个（其中5个例题、6道练习题和12道习题），这些问题都需要经过数学运算才能解决，可以说本课的所有素材都是培养学生数学运算能力的载体.

2.2 抽象能力素养

《课标（2022年版）》指出“抽象能力主要是指通过对现实世界中数量关系与空间形式的抽象，得到数学的研究对象，形成数学概念、性质、法则和方法的能力”.本课中所有问题的解决都需要建立几何模型，建立模型的过程是数学抽象的过程，这个过程可逐步培养、提升学生的数学抽象能力.

例如，本节课测量“上海东方明珠塔高度”问题得到的几何模型2是经过数学抽象的结果，学生每经过一次数学抽象活动，其抽象能力就会有相应的提高.

2.3 模型观念素养

《课标（2022年版）》提出“模型观念主要是指对运用数学模型解决实际问题有清晰的认识”.这种观念是面对生产、生活实际问题时，学生通过数学思考建立数学模型，并利用数学知识解决模型，从而解决实际问题的过程中逐渐形成和发展起来的.

本节的23个具体题目都是通过建立相应的几何模型得以解决的，有助于培养学生的模型观念.

2.4 应用意识素养

《课标（2022年版）》指出“应用意识主要是指有意识地利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象与规律，解决现实世界中的问题”.

本节课中的23个问题涉及我们生活中的方方面面：测量建筑物高度问题、飞机飞行问题、长江大桥问题、拦河大坝问题、楼梯安全问题、钓鱼问题等.学生通过思考、分析，抽象出三角形模型.直角三角形模型，可以利用解直角三角形的知识直接解决；非直角三角形模型，可以通过添加辅助线转化为直角三角形模型.

在解决这些问题的过程中，学生进一步感悟到现实生活中蕴含着大量与数量和图形有关的问题，可以用解直角三角形的方法予以解决，感悟到数学的应用已经渗透到现代社会的各个方面，体会到“数学来源于生活”“数学服务于生活”，不断增强应用意识.同时在解决问题的过程中，有可能产生创新的火花，有助于学生创新意识的形成.

另外，学生在解决这些问题的过程中，还能体会到知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，不断提高“发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力”（即平常说的“四能”），这些都是重要的数学素养.

3 解读数学思想方法

《课标（2022年版）》在“总目标”的第一条中，要求学生掌握“四基”，其中之一就是数学基本思想.基本数学思想是具有本质性特征和基本重要性的一些思想，处于较高的层次.史宁中教授认为，“数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型.通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算发展，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系”.其他的数学思想都可以由这些“数学的基本思想”演变而来的.

数学思想方法是数学教材构成体系的灵魂.在解读教材时，要把学生学习教材内容时能感悟到的数学思想找出来，这样便于在具体教学时做到有意识地引导学生去感悟.学生通过学习本节课内容可以感悟到下面两种重要的数学思想.

3.1 转化思想

解题就是把所要解决的问题转化为已经熟悉的问题的过程，通过对条件、结论的转化，使问题化难为易，化生为熟，化未知为已知，最终求得问题的解答.这个过程体现了转化的思想方法.本节教材内容中，学生在学习、解答具体问题时，可以进一步感悟到转化的数学思想.

案例1拦水坝问题（教材例4）

某地计划在河流的上游修建一条拦水大坝.

大坝的横断面ABCD是梯形（图5），坝顶宽

BC=6 m，坝高25 m，迎水坡AB的坡度i=1∶3，

背水坡CD的坡度i=1∶2.5.

（1）求斜坡AB和CD的长（精确到0.01 m）；

（2）求拦水大坝的底面AD的宽.

设计意图：为了让学生了解坡度的意义及其数学表示，知道现实生活中斜坡倾斜程度的意义，并且进一步熟悉通过建立直角三角形模型解决生产中实际问题的步骤，体会数学与生产生活的密切关系，教科书以“拦河坝”为背景设计了例4.

通过阅读教材，首先要明确问题的意义：如图5，ABCD是梯形，BC表示坝顶的宽，AD表示坝底的宽.找出解决问题的关键——作辅助线BE⊥AD，CF⊥AD，构造Rt△AEB和Rt△DFC，这样就将求斜坡AB和CD长的问题转化为解直角三角形的问题.教学时特别提醒学生∠A，∠D的正切可分别由i=tan A=１３，i=tan D=１２.５得出.

3.2 方程思想

方程思想就是指把所研究数学问题中的已知量与未知量之间的等量关系，转化为方程（组），从而达到解决数学问题的一种思维方法.方程思想在初中数学学习中经常用到.初中阶段体现方程思想的数学问题主要有两类：一是列方程（组）解决生活或生产中的实际问题；二是列方程（组）解其他的代数问题或几何问题.

案例２计算铁塔的高度问题（教材例5）

如图6所示，要测量铁塔的高AB，在地面上选取一点C，在A，C两点间选取一点D，测得CD=14 m，在C，D两点处分别用测角仪测得铁塔顶端B的仰角为α=30°和β=45°.测角仪支架的高为1.2 m，求铁塔的高（精确到0.1 m）.

设计意图：为了让学生利用方程的知识解决有关解直角三角形的问题，设计了这个测量铁塔高度的计算问题.教学时，引导学生思考如何将问题转化为解直角三角形的问题.

学生通过观察图6可得C1C=D1D=A1A=1.2 m，铁塔的高AB可表示为（A1A+A1B），只要求出A1B的长，就能得到塔的高度AB.

进一步发现，A1B是Rt△BA1D1与Rt△BA1C1的公共边，设A1B=x，把两直角三角形的其他边分别用含x的式子表示出来，找出其中的等量关系，列出关于x的方程，解含有x的方程即可.

解答例5的关键是利用两个直角三角形，通过设辅助量列方程.学生通过解答本题，能进一步体会用代数的方法解几何题的过程，感悟方程思想.

本节内容主要是通过建立直角三角形模型解决实际问题，其本质是图形的计算问题.图形的计算问题最终都可归结为求线段的长度或角的大小，建立方程是求线段的长度或角的大小的常用方法，建立三角形模型解决实际问题时往往需要通过建立方程来完成.

学生通过学习本课的内容，能进一步加深对用解直角三角形的有关知识解决某些简单实际问题的理解，认识到数学与生产、生活的联系.在学习过程中，学生能感悟到抽象、转化和数形结合等数学思想方法，不断增强应用意识、逐步形成模型观念，提高自己的数学核心素养.

教师通过研读教材，在设计教学方案以及课堂教学中，就能始终把图1所示的“程序”放在心中，把实际问题抽象成三角形模型，通过解直角三角形模型达到解决实际问题的目的.