初中数学中数形结合思想的应用

陈磊

摘要：数形结合思想是中学数学的重要思想，能够帮助学生有效提高学习数学的能力，发展思维能力，培养学习数学的兴趣，本文中以数形结合思维为基础，分析数形结合思想在初中数学解题中的作用，探讨数形结合思想在初中数学解题中的应用，以提升初中数学的教学质量和效率.

关键词：初中数学；数形结合；运用举例

1 利用数轴解决相关问题

利用数轴可以解决不等式问题、中位数和众数问题等.解不等式是初中数学中一类典型的数形结合问题，不等式是初中数学的一个重要内容，而数轴对解答不等式问题具有重要作用，不仅要求学生可以解出一元一次不等式，还要求学生能用数轴标出不等式的解集，此内容在中考数学中出现的概率很大.利用数轴可以清晰直观地表示数，降低问题难度，有助于解题.值得注意的是，解一元一次不等式中的过程中要关注是否变号（当未知数的系数为负数时，系数化1后不等式的不等号要改变方向，例如“<”要变为“>”）、数轴上的实心圆和空心圆是否正确（“≤，≥”对应实心圆，而“<，>”对应空心圆）.

例1不等式组x≥-2，x<1的解集在数轴上表示为（）.

思考：解答不等式的解集问题时，为了将不等式的解集在数轴上清晰地表示出来，重点要表示出界点，关注界点是否实心，以及解集对应的开口方向是否正确.本题涉及界点，则重点在于判断界点是否实心及解集对应的开口方向.

解：x≥-2是从-2出发向右画出的线，且-2处是实心点.

而x<1从1出发向左画出的线，且1处是空心点.

故正确答案选：A.

拓展训练1今年6月11日，某省份的九个地区最高气温和最低气温如图1所示，则这九个地区该天最高气温的众数为（）.

A.27℃

B.29℃

C.30℃

D.31℃

分析：本题考查了众数的意义，注意众数可以不止一个.可以在数轴上分别表示出九个地区的温度，数据每出现一次就标记一次，出现最多的温度就是众数.

解：根据众数的概念，如图2所示，标记最多的是31℃.

故正确答案选：D.

2 利用直角坐标系解决函数问题

函数问题在初中数学中占有半壁江山，常见的函数类型包括反比例函数、一次函数以及二次函数等，而解答函数问题往往对学生的逻辑能力有较高要求，因此根据数形结合的特点，数形结合思想成为求解函数问题的有效工具.解答函数问题时，为了让复杂的函数形象化，一般需要画出函数的图象，把握函数关系式中参数的作用.特别注意的是，学生要熟练掌握函数关系的类型.

例2如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=13x2于B，C两点，则BC的长为.

分析：解答二次函数相关问题时，要注意函数图象的四个重点，即开口方向、对称轴、顶点坐标和特殊点，特别是与x轴或y轴的交点.

解：由题意得，点A的坐标为（0，3）.

所以过点A与x轴平行的直线的方程为y=3.

将y=3代入y=13x2，得3=13x2.

解得x=±3.

故BC的长为6.

拓展训练2如图4，已知二次函数的图象经过A（2，0），C（0，12）两点，且对称轴为直线x=4，设顶点为P，与x轴的另一交点为B，求二次函数的表达式及顶点的坐标.

分析：本题可以先设出二次函数的表达式，再将图象的已知信息代入解析式中，计算得到参数即可得二次函数表达式和顶点坐标.

解：设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c（a≠0）.

由题意，可得-b2a=4，c=12，4a+2b+c=0.

解得a=1，b=-8，c=12.

所以二次函数的表达式为y=x2-8x+12.

故点P的坐标为（4，-4）.

3 利用图形解决实际问题

利用图形还可以解答以生活实际为背景的问题，例如概率问题和三角函数问题等.对于简单的概率问题，可以利用树形图表示出关系，使得题目更加简单化、直观化.解决实际问题一般需要根据题意画出图形，并利用图形中得到的几何关系求解，

“如教师在对三角函数进行讲解时，教师可以引申到解析三角形的应用上面来”.

一般出现在选择题或解答题中，难度不高，但较为繁琐，画出图形有助于找出其中隐藏的关系.

例3有A，B两个黑色的盒子，A盒中有3张纸条，分别标有数字0，2，5，B盒中也有3张纸条，分别标有数字0，1，4，则6张纸条除了数字不同以外没有任何不同，从A，B中各自随机拿出一张纸条，用树状图的方法，求拿出的两张纸条上数字之和等于6的概率.

分析：概率问题含有较强的逻辑性，若只在脑海中思考则解题有较大的难度，而利用数形结合更容易得到答案.本题主要考查计算随机事件概率的方法，由树状图求得所有等可能的结果与“摸出的两个球上数字之和是6”的情况，利用概率公式即可求解.

解：如图5所示，

故“两张纸条上数字之和等于6”的概率P=29.

拓展训练3如图6所示，有一个晾衣支架放置在水平地面上，已知支架的两条边OA，OB的长108 cm，OA与水平方向OC的夹角为59°，求点A，B之间的距离（精确到0.1 cm）.

分析：本题需要利用数形结合求解，根据题意画出等腰三角形OAB，过点O向AB作高，交点为D，则OD为△OAB的中线，将问题转化到直角三角形OAD中求解即可.

解：根据题意可得图7，过点O作OD⊥AB于点D.

在Rt△AOD中，则有

∠OAD=∠AOC=59°.

又cos∠OAD=ADOA，OA=108，所以

AD=108cos 59°.

所以AB=2AD=2×108×0.52≈112.3（cm）.

答：点A，B之间的距离约为112.3 cm.

从上述内容可以看出，数形结合对解答教材中数学问题具有不可或缺的作用，在数学教学活动中正确运用数形结合思想.

数与形的关系是初中数学教学的重要内容，熟练掌握运用数轴、图形和直角坐标系等解答相关问题的思路，为后续的学习打下坚实基础.

参考文献：

王美玲.初中数学课程教学中数形结合思想的运用探讨.数学学习与研究，2015（16）：132，134.

腾敏.初中数学教学中数形结合思想的运用研究.求知导刊，2015（24）：132.