《数学分析》课程教学创新探索与实践

王海燕 王林 刘颖

摘  要：学生创新精神和创断能力的培养是实施素质教育的核心，在教学实践中探索培养学生创断能力是教师的任务。《数学分析》课程教学以“学生为中心”，采用BOPPPS教学模式，全面开展翻转课堂、案例式教学。在培养学生创新能力方面做了有益的尝试，着重培养学生的观察能力、抽象能力、应用能力、猜想能力，以及数学应用能力，收到了良好的效果。同时注重现代教育技术在数学专业课的融入，也为其他理科课程的教学创新提供了示范。

关键词：BOPPPS；创新；以学生为中心；案例式教学；线上线下混合式教学

创新是推动民族进步的关键因素。如果缺乏创新，民族就难以取得进步，更难以在世界民族之林中立足。创新以教育为基础，并依赖于杰出的人才。因此，无论是基础教育还是高等教育，都承载着培养创新型人才的重要使命。数学是科学理论的基本沟通工具，也是人们认识世界和改造世界的基本工具之一。数学教育在整个教育过程中占有特殊的地位。《数学分析》作为数学专业的重要基础课程，在学生大学的知识体系中占据了相当大的比例[1-2]。《数学分析》的核心内容是微积分，这门课程的发展大致经历了三个阶段。在继承前辈科学家们的成果的基础上，十七世纪的科学家牛顿和莱布尼兹逐渐将微积分发展成为一门系统的学科[3]。

当前，受到课时影响，许多老师在《数学分析》授课时基本都是满堂灌，课堂效果差，甚至出现教师在台上讲课，有的学生在下面玩手机游戏，有的学生睡着了等场景。课程团队进行深入分析，发现这种现象存在主要有以下两个方面：

（一）学生对学习内容缺乏兴趣、学习深度不够

通过开展问卷调查，学生遇到的困难和问题主要是课程内容多、定理多、概念抽象，不会应用（具体数据见图1）。这导致学生的学习兴趣不高，学习深度不够。

（二）教学方式、方法落后，不能把知识做到深入浅出教给学生

《数学分析》课程教师主要还在采用“黑板+PPT”的传统教学手段，这种直接、单一的教学模式，没有任何形式和内容的创新，很难调动学生积极性、吸引学生注意力，使本来难学的《数学分析》课程显得更加枯燥。

《数学分析》既是初高中数学的升华，又是数学类专业后续课程学习的基础。因此，在《数学分析》课程的教学过程中，教师注重培养学生的创新能力，这对于培养创新性人才具有至关重要的作用。值得思考的是，教师怎么开展创新教育呢？在《数学分析》课程的教学过程中，团队教师积极尝试了多种方法来培养学生的创新能力，并且取得了良好的效果。

一、创新能力的培养

（一）培养学生的观察能力、抽象能力

观察能力对于学生而言，是不可缺少的能力。敏锐的观察力不是天生的，而是经过后天的训练、培养逐步形成的。因此，在数学分析课堂教学中，团队通过大面积开设案例式教学，让学生进行数学观察能力的培养，参与全课程的学习、讲授，这种锻炼能大大提升的学生独立思考能力、观察能力、抽象思维能力。

（二）培养学生的猜想能力

爱因斯坦曾经说过：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要。因为解决问题仅仅是一个数学上或实验上的技能而已。而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题，却需要有创造思维能力，而且标志着科学的进步。” 这里所说的提出问题，实际上就是提出猜想。严格来说，数学事实首先就是被猜想，接着才是被证明。当面临新的科学情况时，人们先从某个猜想开始：第一个猜想可能会失败，会离目标很远，但是不断修正……在观察的推动下，最终可以得到一个较满意的猜想。美国著名数学家、教育家G. 波利亚曾指出：必须不仅教学生“证明”，而且教学生“猜想”，而在教科书中，“猜想”过程却是缺少的，这就使教“猜想”在教学过程中显得更为重要[4]。

（三）突出数学思想，培养学生的创新精神

经常听学生提到，某些数学知识在他今后的生活、工作中用不上，所以学习没有动力。是不是这些数学知识就不用学习了呢？答案是否定的。学习数学思想和方法的价值高于单纯学习数学知识。数学思想不仅培养了学生的思维能力，还塑造了他们的文化素养，这种影响将是终身的。数学思想具有独特的逻辑性和创造性，每一次数学思想的形成都是对历史的继承和突破。这里面蕴含的一丝不苟的严谨态度和奋斗精神，将会激发学生的科学热情，鼓舞着他们永葆创新去生活、去工作，这也是我们开展课程思政的原因。因此，在《数学分析》的教学中，强调数学思想方法的教育不仅可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，还能有效培养学生的创新思维和创新能力。通过这样的培养，学生能够逐渐形成创新意识和创新精神，具备独立思考、解决问题的能力，为未来的学术研究和工作实践打下坚实的基础。

（四）培养学生的应用能力

《数学分析》的主要内容是微积分知识，它的形成和发展得益于物理学、天文学、力学、几何学等领域的突破。例如，开普勒的行星三大定律和牛顿的万有引力理论都运用了微积分的方法进行导出。这些理论所涉及的宇宙速度和火箭运动方程也都充满了深刻的数学思想和突出的数学应用。这些理论所涉及的数学模型成为了数学分析中的重要素材。

此外，微积分知识的应用通过对物理学、生物学、医学、经济学与自然现象中数量变化关系的分析，可以建立各种实用的模型。例如，我们可以利用微积分知识来建立行星运动模型、引力场模型、人口模型、传染病模型、经济问题模型和生态模型等。这些模型的建立既丰富了《数学分析》的教学内容，也增强了学生对实际问题的建模和处理能力。通过这些实际问题的分析和解决，学生们可以更好地理解和掌握微积分知识，并且提高他们的应用能力和创新思维。

二、教学模式、方法的创新

教师在日常的教学工作中，必须转变观念，以人为本，以学生为中心，改革课堂教学模式。同时，创新教学方法，积极探索合作交流的新型的课堂教学结构模式，从而培养出更多的适应新时代发展的创新型人才，要实现这一点应该从以下几方面进行：

（一）教学模式的创新

在教学模式上，采用了BOPPPS模式。BOPPPS教学模式起源于加拿大教师培训体系的教学模式[5]。BOPPPS教学模式的理论基础包括建构主义和交际法。该模式以有效教学设计著称，是一个强调学生参与和反馈的闭环教学过程模型。BOPPPS模型将课堂教学过程分为6个阶段：导入（Bridge-in）、目标（Objective）、预评价（Pre-assessment）、参与式学习（Participatory Learning）、后评价（Post-assessment）、总结（Summary/Closure）。这些阶段相互衔接，形成一个闭环，旨在确保学生在学习过程中的积极参与和反馈，从而提高教学效果[6]。

同时辅助了其他四种类型的教学模式：

（1）信息加工教学模式（教学内容针对专业特点调整）；

（2）人格（人性）发展教学模式（课程思政）；

（3）社会交往教学模式（小组讨论）；

（4）行为修正教学模式。

同时，团队大力推进智慧课堂建设，构建以“以学生为主体、教师为主导”的线上线下混合式教学模式。

这种以智能化、个性化为特点的教学方式可以使教学多个环节得到有效改进。通过课前、课中、课后这三个环节开展授课，将实现从知识内化到高阶能力提升的两次飞跃，彰显《数学分析》课程的挑战度。

（二）教学内容的重构

在教学内容上，团队探索介于传统《数学分析》与《高等数学》之间的难度的授课内容，使课程内容更加贴合金融数学等专业。通过对教学内容的优化与整合，使学生在解决问题的过程中探索、发现、学习数学规律，感受数学解决现实世界问题的威力，进而激发学生的学习兴趣。

特别是将数学史融入《数学分析》课程内容教学中。在《数学分析》课程的教学内容中，介绍数学史不仅可以帮助学生掌握数学发展的基本规律和基本思想，还可以让他们深刻体会到数学发展之路的曲折与艰辛。比如：在讲解阿贝尔定理时，补充讲述挪威伟大的数学家阿贝尔的故事：阿贝尔生前穷困潦倒，26岁就因为饥寒交迫去世。但在这样的情况下，他却取得了辉煌的成绩。他最早得出高于四次方程无整数解的证明，以及关于代数方程的研究，他比伽罗华更早得出群论的雏形，并更早得出交换群的结构；另外他关于椭圆函数、阿贝尔函数的工作，成为整个现代数学的基础，某种意义上说，阿贝尔才是现代数学真正的始祖，他比伽罗华更聪慧，比黎曼更深刻！即使他仅仅26岁的生命，也已经在数学史上留下巨大的功勋！

通过阿贝尔的故事，让学生树立坚韧的意志与远大的理想，艰难困苦，玉汝于成，从而激发学生对《数学分析》课程的兴趣和热情，鼓励他们积极探索和追求科学创新与进步，还可以进一步塑造完善的人格。

（三）教学方法的创新

《数学分析》教学的基本组织形式是全班上课，同时兼顾小组合作教学，此外，每周针对学生的问题，来开展个别教学。同时，我们采用了如下的教学方法：

1. 学生分组式讨论式教学

由学生自由组合，根据事先选择的教学专题和辅助参考资料，上台讲解对该专题的理解并回答其他同学的提问。这种教学方法可以充分激发学生的参与热情和创造性思维，同时提高学生的表达能力和自信心。参与学生人数一般控制在5-6人，学生的表现记入学生期末成绩。同时，组与组之间PK，提升竞争意识。

知识的运用尤其应该以学生为主，让学生在教学活动活动中建构自己的知识框架，形成自己的知识体系。通过雨课堂分组功能将班级分为几个小组，小组间竞赛，部分较简单的内容采用翻转课堂（比如“定积分的定义”，内容相对于简单，我们开展了翻转课堂，效果对比前几届传统教学方式，有明显提升，学生参与度高，知识消化接受效果更好）。

2. 发现问题式教学

每一次上课前，推荐学生阅读下次课的参考资料；课上，让学生自己提出问题，教师解答。通过学生提问，教师回答的方式，有针对性的解决学生知识上的疑难问题，有侧重的组织教学。

3. 直观演示教学

在课堂上通过展示各种实物数学教具或进行示范性实验，让学生通过观察获得感性认识的教学方法。

4. 案例式教学

根据构建的《数学分析》课程思政案例，开展课程思政教学。在完成专业知识讲授的同时，融入对学生世界观、人生观等教育，实现“专业课教学”与“思想政治教育”同向同行。

三、总结

经过几年的建设，《数学分析》课程建设已经取得了显著的成绩。《数学分析》课程获评云南省省级一流课程，团队教师主持了《数学分析》校级精品课程建设，《数学分析》课程思政示范课程建设，以及云南省省级教育教学改革项目两项，发表了多篇教学论文，并获得了多项国家级、省级教学奖励。此外，团队教师始终坚持成果导向教育理念（Outcomes-Based Education，OBE），简称OBE理念，强调以学生为中心，以学生发展为目的，重视学生的学习成果[7]。基于上述教学创新实践，我校人才培养质量显著提高。学生专业基础扎实，综合素质高，毕业生受社会欢迎。学生实践创新能力和创业能力强，近五年，学生获得省部级以上数学建模大赛奖励、大学生创新创业项目等近百项，成果显著。

教学的深层次目标在于激发学生的创新意识和培养他们的创新能力，这一目标无法一蹴而就，而需要一个持续的过程。为此，团队教师将会持续不断地探索和实践，尝试更多新的教学方法和手段，以便更好地激发学生的潜力和创造力。力争培养出一批批具备创新思维和创新能力的学生，为社会发展做出更大的贡献！

参考文献：

[1] 华东师范大学数学系编. 数学分析（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2019.

[2] 刘玉琏，傅沛仁，刘伟，等. 数学分析讲义（第六版）[M]. 北京：高等教育出版社，2019.

[3] 蔡天新. 数学简史［M］. 北京：中信出版社，2017：143-164.

[4]林文贤. 数学分析教学与创新思维[J]. 考试周刊2013（28）： 75-76.

[5] 何 光. BOPPPS模式下高等数学线上线下混合教学的探索与实践[J]. 科技风， 2023 （20）： 107-109.

[6] 王雅平. 以学生为中心的《商品学》信息化课程改革与实践[J]. 办公自动化， 2023（2）： 25-27.

[7] 闫志忠. 基于OBE理念的“数学分析”课程项目制教学模式研究[J]. 教育教学论坛， 2023（28）： 135-138.

基金项目：云南省2023年本科教育教学改革研究项目“AI赋能新形态资源——大学数学课程知识图谱建设与应用”（JG2023199）；云南财经大学课程思政示范课程项目：《概率论与数理统计》、《数学分析》；2023年云南财经大学第二批虚拟仿真实验教学一流课程培育项目

*通讯作者：王海燕（1983—  ），女，汉族，河北人，博士，副教授，主要从事组合最优化、数学分析研究。

作者简介：王林（1964—  ），男，汉族，云南人，二级教授，主要从事非线性泛函分析、数学分析研究；刘颖（1988- ），女，汉族，云南人，讲师，研究方向：思政教育。