基于“运算素养”的单元教学重构与实践

潘丽丽

培养学生的核心素养是学科育人理念的具体实现方式.《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，运算能力是初中阶段核心素养的主要表现之一，其内涵指向为：能明晰运算的对象和意义，能理解算法和算理的关系，能选择合理的运算策略，能用运算促进数学推理能力的发展.故运算教学不仅是提升学生计算能力，更重要的是构建推理过程，形成数学化思考的方式，养成严谨的学科学习态度.

“二次根式”是初中代数中“数与式”教学内容的最后一章，在经历了有理数、实数、整式和分式的学习后，学生在理解运算对象、研究运算方法等方面的能力逐步形成.教师有必要把“二次根式”的教学设计置于数式整体发展中重构，发展学生的类比学习和自主探究能力，真正提升运算素养.

1 单元重构之需求

1.1 学生层面的问题解析

二次根式学习过程中，学生往往会出现以下典型问题：32÷18=62÷88=62÷228=62×822=26×22×2=23.主要表现为学生死搬硬套公式，未能优化计算.产生这些表面现象的本质原因何在？笔者认为是忽视了性质产生的必要性，导致不理解计算本质、不能选择合适的运算顺序.

基于已有的整式、分式的经验，学生能类比得到二次根式的研究套路是“概念—性质—运算—应用”.学习性质后，学生先入为主，认为对形如ab的算式都要转化为ab的形式，使后续计算过程迂回曲折、繁琐易错，未能理解算理和算法，从而失去了优算的先机.

这就需要教师不仅从单元整体视角，还要从主题单元之间的联系去寻求教学策略.故知识生长逻辑链的发展需要进行单元教学重构.

1.2 主题单元的结构联系

数学的核心概念是数学学科的主干知识，在学生的认知结构中，“具有重要的、不可或缺的基础地位”；在研究方法上，“具有逻辑的连贯性和一致性”.整式这个核心概念是研究其余代数式的基础，其研究的路径和方法对研究其他代数式起到了不可替代的借鉴作用.图1表明，二次根式是数与式这个核心知识体系中概念发展的必经阶段.

本章教学不该只是类比整式、分式的研究套路“穿新鞋，走老路”，应当基于前面的探究挖掘更多的价值，进一步厘清运算规则的内涵，使教学策略不仅基于经验，又要重在创新.故单元整体教学的创新性促进单元重构的必要性.

1.3 思维层级的进阶需求

在整个学习中，学生的思维进阶是教学的根本落脚点.学生在学习整式、分式后，逐渐积累认识事物的方式.（1）初步形成研究新的“式”的思维方式，即通过“实际情境—抽象研究对象—下定义—概念辨析—概念精致—概念应用”对新主题展开探究；（2）能通过特殊到一般、一般到特殊的方法归纳性质.但性质如何产生是学生思维进阶时的障碍点，突破障碍是本章学习的思维进阶点.单元整体教学时，要注重如何承袭“旧”，突出“新”，如何设计学习活动才能发现问题、推理并解决问题.故单元整体教学的“四能”培育触发了单元整体重构的必然性.

2 单元教学重构之路径

2.1 厘清核心问题和单元主线

2.1.1 挖掘前结构的价值

运算中的规律或不变性就是代数的性质，继而通过代数运算系统解决各类问题.随着数的范围扩大，已学的运算规则在新数域中仍成立；数式发展中，由于字母表示数，运算规则在式的领域中仍成立.基于此，运算法则既符合实际又满足理论的相容性，从而明确数与式发展中的通性以及代数运算规则的沿袭性.

2.1.2 厘清现结构的主线

本单元的核心问题是：①如何理解二次根式的性质；②如何化简二次根式；③如何优化二次根式的计算.也就是说，本单元要解决“性质怎么来”“怎么用”的问题.需要达成的教学功能，一是让学生立足基础感受性质产生的必要性；二是体会性质是二次根式化简的依据，同时也是优化计算的依据.研究的主线是学生在“尝试计算”二次根式加减乘除的过程中，试一试、究一究，自主确定运算对象，明晰计算需要依据一定的规则，体会性质是解决二次根式运算问题的核心.把“算算看”作为研究性质的基本方法，“从运算开始”成了教学设计的必然.

2.2 单元课时的重组

基于上述分析，本文中对浙教版教材二次根式性质和计算部分进行课时重组（见表1），体现知识基础的价值理解和运算的需要，体现性质学习的“知识背景—知识形成—揭示联系”的过程.具体表现为在“二次根式”概念之后增加一个课时，设计“尝试运算”的学习活动，自主发现和提出问题，并能初步猜想和验证规律，从而更有逻辑地连结单元内容.

2.3 单元—课时教学目标的确定

根据已有知识基础、认知水平及学习要求，系统规划了单元教学目标，对重组后的课时目标作更细化安排和精准描述（见表2），使教学目标和设计更易操作和可检测.把握知识图谱，体现单元之间的关联以及单元内部的关联，是一览众山小的高瞻远瞩，是整体到局部的了然于心；从单元目标到课时的具体目标有利于局部到微观的靶向施策.

课时1：二次根式的性质1+乘除法运算法则经历二次根式的四则混合运算的尝试计算，发现和归纳性质，体会到性质是根据运算的需要而产生的；能用代入的方法验证运算规律，并能规定字母的范围水平三

课时2：二次根式的性质2+二次根式化简与计算优化

能通过性质的产生过程发现应用性质的时机；会用性质化简二次根式；通过比较二次根式乘除法的运算方法，进一步明确算理算法，达到优化计算的目的水平三

课时3：二次根式的四则混合运算习题课类比整式的运算规律，熟练掌握二次根式的四则混合运算水平二

课时4：拓展资源：灵活运用整式变形化简二次根式深化整式计算和二次根式计算的联系，提升二次根式计算的熟练程度，整体建构体系水平二

2.4 核心素养的渗透

重构的单元教学更充分体现了数学知识的内在逻辑关系，更密切展现了学习内容和核心素养之间的关联.通过课时重组，单元相关核心素养（见表3）目标找到了借力点和生长点，揭示其融入学习活动的具体方式和载体.整体教学使核心素养在单元中完整呈现，课时教学使核心素养培育在课时中充分彰显.

3 单元重构之实施

限于篇幅，现主要对性质教学的实施过程的主要片段作如下阐述.

3.1 整体规划，建设研究路径——构建主线

问题1 前面已经学习了二次根式的概念（回顾复习），后面将要学习什么？

追问1：学习运算性质的作用是什么？

追问2：一些运算规律在新的式子中延续相同的运算规律，我们是否可以从“算算看”开始研究？

设计意图：明确二次根式“概念—性质—运算—应用”的学习过程，但又异于该过程，引发挑战欲望.

3.2 创设情境，明确运算对象——提出问题

真实情境包括实际生活情境、科学情境，或者已有的数学经验等.教学实施中，基于数式的运算经验创设如下问题情境.

问题2 你能尝试计算下列算式吗？

（1）25+5－2；

（2）（3－2）2；

（3）6－26；

（4）27－313+148.

追问1：说说你这样算的想法？有什么依据吗？

追问2：碰到了哪些新运算？你能归归类吗？

追问3：对于这些新运算？你会作怎样的猜想？

设计意图：通过“算算看”，体验计算规则的顺承性，同时整理和归纳新运算（表4），聚焦研究对象，并做大胆的猜想归纳，激发学生自主思考.

运算类别二次根式加法二次根式平方一个平方数的算术平方根二次根式乘法二次根式除法能作为最后结果吗

3.3 类比经验，归纳运算规律——分析问题

问题3 你能将猜想的结论一般化吗？

追问：这样的猜想合理吗？理由是什么？

设计意图：此环节意在体现两个伏笔.一是学生的猜想源自特例，不够严谨，为性质修正埋下伏笔；二是调动学生的认知经验，提取学过的计算方法，理解转化计算的思想，为优化计算埋下伏笔.

学生猜想：（a）2=a，a2=a，a·b=ab，ab=ab.上述追问触发学生的认知经验，有互逆运算思想、有理数运算中先定号再算绝对值的转化思想、异分母分数（式）相加减转化为同分母分数（式）相加减的化归思想等.值得关注的是，基于顺势而为的研究，二次根式乘除法则的产生先于性质2.

3.4 寻求方法，验证运算规律——解决问题

问题4 你们会如何验证这些运算规律呢？

追问：什么时候用呢？

设计意图：让学生经历研究代数规律的基本方法，也可进行逻辑推理论证，让不同的学生在思维上得到不同的发展.追问的目的是明确二次根式运算特征，确定“何时用”，知道“怎么用”.

学生赋值验证（a）2=a时，需从a取正数、零、负数三个角度选取，体现完整性；修正后得到（a）2=a（a≥0）时追问——能用几何图形作出直观解释吗，体现数形结合思想的直观力；进一步引发其余三个猜想的字母取值，再次修正得到a2=|a|，体现思考的改进力；得到a·b=ab（a≥0，b≥0），ab=ab（a≥0，b＞0），体现了法则先于性质而出的合理性.

3.5 深化关联，优化运算策略——建立体系

问题5 能否把13，8作为最后的运算结果？

追问1：你能化简以下二次根式吗？（书本练习）

追问2：联系比较法则a·b=ab（a≥0，b≥0），ab=ab（a≥0，b＞0）和ab=a·b（a≥0，b≥0），ab=ab（a≥0，b＞0），分别在什么条件下使用？

追问3：由此，如何探究二次根式的相关性质？

设计意图：能逆用法则得到性质2.追问1的目的是通过练习，了解性质2的使用条件，体会二者的不同作用，感受性质产生的先机.

该问题继续激发学生的复杂思维，“能化简”的合理性基于分数、整式、分式计算中都有化简情形，故新“式”亦可化简；“怎么化简”的关联性推理基于a2=|a|，发现8=4×2，联想逆用法则实现化简，从而理解二次根式化简的依据，以及该依据产生的先机；“什么时候化简”的特征性总结基于一组小练习之后的归纳提炼.基于算理的理解，大部分同学作如下计算：32÷18=32÷18=12=23.对比文中一开始的过程，优化计算的价值不言而喻.

从“算算看”开始，到熟练利用法则系统解决二次根式运算，教师还要有意识地引导学生总结性质的使用步骤，提供操作流程，渗透程序意识达成计算程序化、系统化和自动化，真正把握算理，掌握算法，形成算力，综合提升运算素养.

4 单元重构之价值

单元整体重构教学通过关联主题单元之间的价值继承，创设了素养培育的平台；基于数学化情境的自主探究活动，搭建了素养培育的载体；通过整体教学优化单元知识结构，促进从基础学习到系统思维的迈进，推进了深度学习，落实了核心素养培育.

4.1 关联性的单元价值是实施素养培育的平台

了解数学知识的产生和来源以及知识之间的关联价值，对新知学习具有支撑性意义，是落实核心素养培育的契机.本文中深度挖掘相关主题单元的联系，明确代数运算规则的承袭性，通过尝试计算，基于分配律的沿袭，打通了二次根式混合运算的第一步，而后产生解决新问题的必然性，在教学重构时带领学生深度体验性质和法则是计算发展的内部需要，从而明确性质和法则的使用情境，理解运算方法和运算律的关系，体会学科本体的本质.

4.2 创生性的教学活动是实现素养培育的载体

核心素养是在长期的教学活动过程中逐步形成的.教师要能够对学生的思维作细致研究，注重打通思维障碍点、发展思考力、激发创造力，以针对性的教学活动为载体实现深度学习，落实核心素养培育.

基于二次根式的章节研究老套路，设计让学生“算一算”的活动走新路.整理遇到的新运算时，学生进行了头脑风暴：有的发现二次根式运算可类比整式，有的猜想形如（3）2，32的运算结果，有的猜想3×2，26的运算规则，有的类比旧数（式）的化简判断8，13可化简，有的推理论证自己的猜想，等等.面对新运算，学生思维经历观察和猜想、思考和表达、归纳和推理，凸显了对问题的分析能力和解决能力，有助于形成规范化思考问题的品质.

4.3 结构化的整体教学是落实核心素养的通道

二次根式的单元整体教学重构注重在原有基础上予以丰富和整合，教学设计时注重一般观念的提炼和迁移，刻画思维时注重从碎片知识到框架模型的转变，促进深度学习，是实现素养培育的重要导向.学生基于计算需要，首先需要解决（a）2，a2，a·b，ab的化简问题；基于结果的化简需要解决ab，ab的变形问题.基于整体设计，在尝试计算中感受性质的产生，在性质探究中了解运算本质，在感悟运算时确定运算顺序，优化算法，运用了联系的思维，呈现了发展的观点，优化了整体的知识结构，从而在融合直观与逻辑的活动中，发展学生的智慧，深度学习目标得以落地生根，真正提升学生的抽象能力、运算能力和推理能力.