以学生为中心的概率论与数理统计教学创新和实践

孙鸿雁　赵明　王翠香

摘  要：该文通过分析概率论与数理统计教学中的问题，结合新时代人才需求，探索教学改革的有效途径。打造以学生为主体，能力评价为指引，思政元素融入教学全过程的新型教学模式。以前沿性、科学性、生活化的应用背景为载体，借助爱课程精品课程、雨课堂、超星平台和大数易作业系统等智慧教学平台，实现学生自主学习，小组协作，同伴学习，培养学生的创新意识、团队合作意识。从概率统计思想中发现思政元素，将课程思政渗透到教学中，树立学生的社会主义核心价值观；同时，提升教师综合素养，践行立德树人的教育根本。

关键词：案例；课程思政；雨课堂；教学模式；教学创新

中图分类号：G642        文献标志码：A          文章编号：2096-000X（2024）16-0107-04

Abstract： By analyzing the problems in the teaching of Probability Theory and Mathematical Statistics and combining with the needs of talents in the new era， this paper explores the effective ways of teaching reform， andcreates a new teaching mode that takesstudents as the main body， ability evaluation as the guide， and ideological and political elements are integrated into the whole teaching process. Based on the previous application background of conformity， scientificalness and life orientation， with the help of such intelligent teaching platforms as the quality courses of Love Course， Rain Class， Superstar Platform， and Dashuyi Operation System， students can learn independently， cooperate in groups， and learn with peers， so as to cultivate their innovation awareness and team cooperation awareness. It discovers the ideological and political elements from the thought of probability and statistics， infiltrates the curriculum into teaching， and establishes students' socialist core values; At the same time， we should improve the comprehensive quality of teachers and implement the educational basic task of establishing morality and cultivating people.

Keywords： case; curriculum ideology and politics; Rain classroom; teaching mode; teaching innovation

数据爆发增长、海量集聚的特点，对经济发展、社会治理、国家管理、人民生活都产生了重大影响。习近平总书记在中共中央政治局第二次集体学习实施国家大数据战略时强调“审时度势、精心谋划、超前布局、力争主动……推动实施国家大数据战略……加快建设数字中国”。概率论与数理统计是学习使用统计方法数据处理的基础，在大数据背景下，概率论与数理统计变得尤为重要，其中的理论与方法已被广泛应用于工业、农业、军事和科学技术中，比如预测和滤波被应用于空间技术和自动控制，时间序列分析被应用于石油勘测和经济管理，马尔科夫过程与点过程统计分析被应用于地震预测等方面，并向基础学科、工科学科渗透[1]。传统教学中，以教师讲授为主，学生被动学习，学习效果不理想，主要存在以下几个问题。

1）概率论与数理统计课程内容多而庞杂，抽象且较为难懂，加之课时少，单靠课上老师讲解的方式，学生容易缺乏学习兴趣和积极性，从而缺乏学习的动力，内驱力不足。同时，部分同学由于数学基础不牢固，做不到课前预习与自主学习，自学能力欠缺。

2）考核方式主要是期末闭卷考试+平时作业+期中考试，考试内容重基本概念、公式的记忆和使用，导致学生缺乏学习力，学习不深入，浮于浅层次学习，知其然，不知其所以然。甚至所学内容考完试就忘了，只留下了概率论与数理统计课程难的印象。无法为后续学科提供支撑，也未达到培养创新型人才的需求。

3）课程教学中重知识和方法的传授，家国情怀教育元素延伸不够，思政元素融入不足，思政育人力度不够。

为了顺应新时代战略需求和国务院“三全育人”的要求，完成立德树人的根本任务，培养新时代应对新经济挑战的创新型人才，概率论与数理统计课程教学改革创新势在必行。针对教学痛点问题，我们以概率统计思想方法为主线，建立以学生为中心，以培养学生的创新能力和科学素养为导向，思政元素融入教学全过程的新型教学模式。

一  重整教学理念和教学目标

改变过去“满堂灌”的情形，围绕以学生为中心的理念，重整课堂，充分调动学生的学习积极性，发挥主动性，让学生成为知识、信息加工的主体，成为知识意义的主动建构者。教师结合现代化技术手段，成为学生主动意义构建的帮助者、促进者，实现学生自主学习的局面，从而达成以下三个教学目标。

知识目标：通过直观、生动的实际问题理解概率统计中的概念和定理，以及计算公式，建构概率论与数理统计课程的知识体系。

能力目标：以知识发现者的身份，探索知识，培养学生的数学思维、逻辑思维和批判性思维。以科研问题和实际问题为指引，培养学生解决问题的能力和创新意识。培养善于发现问题、建立模型、优化模型的意识，用概率统计的知识解决简单的实际应用问题，为决策提供一定的指导。

素质目标：通过概率统计的发展史和著名概率统计学家孜孜不倦追求真理的事迹，以及概率统计前沿问题的探索，培养学生追求卓越、科学报国的情怀。融入思政元素[2]，培养学生的家国情怀、社会责任感，以及社会主义核心价值观。

二  教学创新与实践

为实现以上三个教学目标，我们创新教学过程和方法以及课程评价方式。主要有以下三个方面的改革和创新。

（一）  创新点一：以学生为主体，使用PBL教学方法

PBL是以问题为基础的学习或基于项目的学习Problem Based Learning的缩写，于1969年由美国神经病学教授Borrows在加拿大麦克马斯特大学首创[3]。PBL教学法以问题为导向，在教师的引导下，“以学生为中心，以问题为基础”，通过采用小组讨论的形式，学生围绕问题独立收集资料，发现问题、解决问题，培养学生自主学习能力和创新能力的教学模式。

1  构建概率统计应用案例库，开展线上线下混合式教学模式

传统教学以教师为中心，学生参与度不高，自学能力弱。针对这一问题，我们将课堂活动分为课前、课中和课后三个阶段。取材于科学问题和实际问题，简化模型，课前通过超星学习通发布课前作业，用案例引导学生梳理已学知识，并探索新知。针对学生自主预习难的问题，一方面，课题组分工合作，录制短视频，通过学习通发布给学生；录制的视频每节课在20分钟左右，视频中引入本节课的主要定义和定理，让学生通过观看视频进行课程预习，降低自学难度，学生在课前对本节课的内容有初步的了解之后，课上能跟上老师的节奏，积极参与课堂互动， 课堂听讲效率有所提高；另一方面，精选网络优质资源，筛选与我们教学进度吻合的名师讲课视频，分享给学生，供时间比较充裕的学生进一步自学使用。

设置课前任务，根据学生掌握的情况，调整课上解决难点问题的方案。比如，学完矩估计法之后，布置给学生一个案例作业：如何估计五道口地铁周边“青桔”单车的故障率？这里假设五道口附近每辆“青桔”单车的故障率相等，通过该问题，学生总结所学参数估计的方法；同时提出问题：“还有没有其他的估计法？会不会得到不同的估计呢？”学生产生兴趣后想要探究还有没有其他估计法，通过发布的教学资源实现自主预习。学生预习后，自行完成课前任务，教师课前统计学生课前任务完成情况，根据学生答题情况，有针对性地调整课堂设计，解决学习的难点和重点问题。

课中通过雨课堂实时与学生互动，随堂测试新学的知识点，发现学生掌握不扎实的问题，重点讲解。以科学问题和实际问题为依托，以小组为单位，分工合作自主讨论，而后教师总结分析，引导学生总结概率的理论和方法。比如，在介绍最大似然估计的泛函不变性时，教师先发布一个简单的案例：已知一小时内到达西二旗地铁站西直门方向的人数服从泊松分布，用最大似然估计法估计一小时内去地铁站的人数。由于泊松分布的参数？姿为总体的均值，所以问题转化为估计参数？姿，得到的最大似然估计为，那么若要用最大似然估计法估计a小时内到达西二旗地铁站西直门方向的等车人数，还需要重新建立似然函数求解吗？已有的结果能不能用？问题引导学生思考：参数函数的最大似然估计和参数的最大似然估计的关系。学生对该问题有了一定理解后，再提出最大似然估计的泛函不变性，学生会印象更加深刻，并且易于接受。

课后如果只发布检验知识点的作业会导致学生的课后复习流于表面，最后只会做几道概率统计题，对概率统计思想理解不透彻。适当加入实践教学环节，以应用为导向引导学生对课程内容进行复习、强化和应用，通过实例分析、设计实验题目等让学生自主实现，提高学生处理实际问题的能力，培养学生的数学素质。同时注重各部分知识的联系和扩展，进行归纳对比，分析关键知识点之间的相同点与不同点，使学生深入理解，达到举一反三的目的[4]。所以，课后除检验知识点的作业外，还外加应用案例题，学生通过团队协作，提出方案，建立模型，解决问题，最后形成报告上传到作业系统中。通过生生互评的方式，评价其他小组的方案，同伴相互学习，拓展思维，激发创造力。教师通过作业批改，进行教学反馈，总结不足加以改进，重新调整教案。比如，在最大似然估计一节，布置开放性问题，请同学自行寻找参数估计实际应用问题，用最大似然估计法求估计。

教学过程中，逐步建立课前课中课后使用的应用案例库，不断更新，实时加入趣味性和前沿性问题，更新迭代，推陈出新，以顺应培养新时代新型人才的需求。

2  合理设置任务，引导学生自主发现概率统计的概念和方法

在教学过程中，面对抽象难懂的概念，我们采取将问题拆解，设置学生能解决问题的方式，让学生自己得出新的概念或定理。在学习数学期望时，学生可以很容易地理解离散型随机变量期望的定义，而连续性随机变量期望的定义很抽象，这时，我们先不提连续性随机变量期望的定义。引导学生将连续性随机变量离散化，用离散型随机变量的期望去近似连续性随机变量期望，此时学生意识到为了得到期望的精确值，只需对近似值取极限。整个过程下来，我们做了一套分割、求和、求极限的处理，这正是高等数学中积分的定义。经过这个过程，学生自己得出连续型随机变量期望的定义。既帮助学生理解了抽象定义，又增强了学生的自信心。

3  调整教学内容，修订执行大纲

概率论与数理统计课程是理工科专业的重要课程，在后续研究中需要用到概率统计的方法处理数据，但本科阶段48学时的内容往往不足以支撑后续使用，并且有些学院后续也不再开设相关课程，学生若要使用，需自学。为了与后续研究更好地衔接，我们调研，根据不同学院的需求，调整教学大纲，增加一些他们常用的统计方法的学习。比如，计算机科学及应用专业在做研究时，老师要求学生会用线性回归和方差分析的方法，而本部分内容在教学大纲中没有安排。我们在执行大纲中作调整，由于概率论基本概念中部分内容学生在中学时已学过，随机变量数字特征部分基本概念简单，计算部分主要使用高等数学积分计算的技巧，对学生来说相对熟悉，所以我们适当压缩概率论基本概念和随机变量数字特征部分的课时，匀出四课时用以介绍线性回归和方差分析初步，引导学生对这两类方法有一个直观和初步的认识，了解它们处理的问题类型，为后续学习使用打下基础。具体地，课程调整方案见表1。

4  借助数学软件实现可视化

概率论与数理统计课程有着很强的应用背景，探索利用通过多种数学软件，可以最大程度扩展学生的知识面，使学生学到在传统课堂教学中无法获取的实用知识[5]，同时让学生对抽象的知识有更加直观的认识，加深对知识的理解。比如正态分布是一种常见的分布，在生活中很容易找到服从正态分布的随机变量。在教学中，发布任务，让学生在街头收集男生/女生的身高，利用所得数据，做直方图，将顶端用光滑曲线连接，观察曲线与正态分布密度函数图像的关系。再比如，学习大数定律时，让学生借助于软件产生足够多的来自同一分布（比如指数分布）的随机数，计算其平均，并与指数分布的均值进行比较；多做几组，同学们会有什么发现。数据模拟可以将抽象的定理具象化，学生自然就理解了。

（二）  创新点二：建立以能力为导向的多维度课程评价体系

学习一门课程，习得多少知识不是最重要的，掌握学习的能力是根本。将课前自主学习效果纳入考核范畴，通过该方式督促学生自学，锻炼学生自主学习的能力，提升学习力。课后的实际应用问题可以用以检验学生学以致用的能力，将该部分纳入评价范畴，有评价有比较，学生更有动力去思考、观察、搜索和讨论，从而达到深层次学习。

课外通过学习通以及QQ群随时和学生交流互动，及时解决学生学习上遇到的问题。通过大数易系统发布作业，应用该APP的分析功能了解学生的错题情况和掌握情况，及时反馈。

（三）  创新点三：以核心价值观为引领，加强思政内涵建设

1  专业知识和育人巧妙结合，落实三全育人

从关系国计民生的问题中抽象出概率统计的问题纳入课堂，通过具体案例让学生认识到“我也可以为身边事出谋划策”，激发学生的社会责任感。通过概率统计发展史中科学家的小故事，激发学生科技报国的崇高理想。

从概率统计的思想和理论延伸到哲学原理或者社会主义核心价值观上，将自然科学理论升华。比如全概率公式就是化整为零的思想，正如我们面对困难时的处事方式，不畏难，将大问题拆解成多个小问题，各个击破，最终攻克难题。讲到小概率事件总有一天会发生时，鼓励学生遇到困难时坚持一下，总有一天会成功的；谈到几何分布的无记忆性时，又看到在寻求成功的过程中，独立重复的试验导致前面的失败次数并未缩短后续成功的时间，究其原因是：未从失败中吸取经验，单纯的重复并没有越来越接近成功。所以，失败不可怕，总结经验，加以改进，就会离成功越来越近。频率和概率体现了现象和本质的关系，要抓住事物的本质，需得做大量的调查研究；同时也体现了偶然性和必然性的关系，看似偶然的现象，背后其实有必然的规律做指引。讲到抽签的公平性时，先设计投票让学生选择先抽还是后抽中签的概率大，在这一过程中学生结合自己的经历做出选择。通过计算发现抽签中签概率与顺序无关，从而引发学生思考，谦让是美德，有时谦让别人自己也并未损失，让人也是助己。在学习贝叶斯公式时，引导学生解读《狼来了》等经典故事，根据谎言前后可信度数值上的对比说明诚信的重要性[6]，等等。

2  身教胜于言教，努力做好榜样

不断学习了解科研前沿问题，恰当融入课堂，用热爱科学、投入科学的实际行动感染学生。关爱学生的学习和生活，以饱满的热情投入课堂，感染带动学生。以认真严谨的态度，包容宽容耐心和爱心感化学生。润物无声，践行立德树人的教育根本。

三  结束语

通过教学模式和教学内容的改变，教学取得初步成果，期末成绩整体有所提高，教学的效果在整个教学过程的各个环节都有所体现。关于使用雨课堂的问卷调查（图1）显示，雨课堂上随堂测试和点评提高了学生参与课堂的热情，学生支持使用雨课堂。智慧教学平台的加入使得课堂气氛活跃，抬头率大大提高。关于课前预习进行情况的问卷调查（图2）发现自制的课前小视频和明确的课前任务将课堂主要内容明确并简化，能更好地帮助学生课前完成课前自主预习，自制视频提高了学生的预习效率。课后的小组作业，激发了学生巩固新知的动力，在问题的带动下，学生积极探索用概率统计知识解决实际问题，做到学以致用。课堂上各小组轮流上台报告小组调查的结果，学生展开讨论，相互学习。课堂上穿插的名人事迹和价值观引导有效调节课堂节奏，张弛有度，潜移默化地影响学生。

教学改革和教学创新不是一蹴而就的，我们将继续探索，为培养新工科背景下，具备数学思维、数学素养和社会主义核心价值观的新时代人才而努力！

参考文献：

[1] 宁桂英.线上线下混合教学模式在概率论与数理统计课程中的应用[J].大学教育，2022（3）：129-131.

[2] 马昕.《概率论与数理统计》课程思政教学改革的实践与探索[J].高教学刊，2021（3）：135-138.

[3] 何勇.奥尔堡大学PBL教学法在《概率统计》课程中的应用和实现[J].考试周刊，2018（21）：1-2.

[4] 王慧丽.以应用为导向的概率统计教学改革与创新实践探索[J].教育现代化，2019（26）：43-44，51.

[5] 王林，许峰.初探数学软件辅助概率统计教学的改革探索[J].教育教学论坛，2016（31）：83-83.

[6] 孙立伟，庄桂敏，张玲，等.课程思政背景下“概率论与数理统计”教学创新的研究与实践[J].科教文汇，2022（9）：85-88.

基金项目：国家自然科学基金项目“几类分枝随机游动的极限性质”（11601494）；北京市高教学会数学研究分会/北京交叉科学学会教育教改项目“《概率论与数理统计》教学中的科研训练探索”（SXJC-2022-010）；中国地质大学（北京）2021年度本科教育质量提升计划建设项目线上线下混合式课程建设项目“概率论”（HHSKE202108）；中国地质大学（北京）2021年度本科教育质量提升计划建设项目教学研究与改革项目“线性代数的线上线下混合教学模式研究”（JG202144）

第一作者简介：孙鸿雁（1985-），女，汉族，山东日照人，博士，副教授，硕士研究生导师。研究方向为概率论与数理统计。