高职数学中函数求极限方法总结

开放科学（资源服务）标识码（OSID）：DOI：10.16661/j.cnki.1672-3791.2312-5042-3602

作者简介：马文慧（1993—），女，硕士，研究方向为高等数学、数学建模、图论。

摘  要：极限是高职数学课程中最为基础的学习内容，它既是前面函数这部分内容的加深与延续，又是后续连续、导数、积分等知识的前提与基础。因此，函数极限在整个高职数学中的重要性不言而喻，而求函数极限的方法种类繁多、灵活多变，对此高职学生不易熟练掌握，往往感到束手无策。笔者总结出一些高职学生能理解的求函数极限的常用方法，并结合例题解析每种方法的适用极限类型和注意事项，旨在帮助高职学生能更好地理解与解决函数求极限的问题。

关键词：高职数学  函数极限  方法总结  洛必达法则

中图分类号：O174

极限是高职数学中最重要的概念之一，它不仅是研究微积分学的重要工具，而且还是许多重要概念——微分、导数、定积分等的定义基础。因此，掌握求函数极限的方法是学好高职数学课程的关键。本文根据高职学生的数学思维习惯，按照由易到难、学习的先后顺序总结出几种常用的求函数极限的方法，同时给出每类方法的注意事项以及优缺点，使得高职学生对函数极限有全面深入的理解，从而达到快速求解、简化计算的目的。

1  定义法

一般情况下，为了高职学生能够更好地理解函数极限的概念，教师在授课时往往为学生讲解函数极限的描述性定义，而不是本科学生接触的函数极限的严格定义——“”定义。函数极限的描述性定义[1]，其核心思想就是当自变量存在以下6种变化过程中的任何一个时（、、、、、），函数无限地接近于一个确定的常数，这即为函数的极限。定义法又名观察法，顾名思义就是利用一些数学软件如GeoGebra、Mathfuns等描绘出函数的图像并观察，然后再结合函数极限的描述性定义、函数的性质、特征等，得出函数极限的一种方法。

例1  求极限

解析：是的反函数，学生在学习函数极限之前，已经了解了其大致图像和性质。因此，通过数学软件GeoGebra或者利用反函数的性质可得到的图像，如图1所示，通过观察图像，该函数的极限一目了然。

解：由函数的图像及特点，可知当时，无限地接近于，故由极限的描述性定义知：。

上述例子使用的定义法，是高职学生接触的第一个求函数极限的方法，它不仅可以很好地帮助高职学生理解函数极限的内在涵义，还可在无形之中锻炼学生动手操作数学软件画图的能力，更能为后续学习函数的水平渐近线打下基础。但定义法也有局限之处，就是它依赖于用数学软件来描绘函数图像，所以学生仅能在平时练习时使用，无法在考试中通过观察函数图像获取函数极限。所以这也是此种方法的缺点——高度依赖数学软件，但它可以在很大程度上帮助学生理解函数的极限。

2 代入法

在函数的连续性这部分内容中，有如下定义[1]：如果函数在某点的邻域内有定义，且有该点的极限值等于其函数值，即，则称函数在该点处是连续的。代入法又称利用函数连续性求极限，根据此定义，只要能够判定函数是连续的，就可以把求函数极限的问题转化为计算函数值的问题。

对复合函数，若，且函数在点处连续，则函数符号可以和极限符号交换次序，即。据此，可以简化求函数极限的过程。

例2  求极限

解析：因为是复合函数，且是连续的，所以其在处的极限值等于函数在处的函数值。

解：。

在使用代入法求函数极限时，要特别注意以下几点。（1）只有连续函数的极限值才等于其函数值。例如：当分段函数在分点处不连续时，其在分点处的极限就需要求在该点的左右极限，而不是令极限值直接等于其在分点处的函数值。（2）只有复合函数的外层函数在内层函数的极限处是连续的，函数运算才可以和极限运算交换顺序。代入法虽然降低了计算难度，但它只能解决连续函数求自变量趋于有限值时的极限，适用范围较窄。

3 无穷小的运算性质

关于无穷小的运算性质，有如下定理[1]：无穷小与有界量的乘积是无穷小。根据这一定理，可以求一些符合定理条件的两个函数乘积的极限。

例3  求极限

解析：函数可以看成两个函数与的乘积，其中时，是无穷小，是有界量，根据定理，它们的乘积仍为无穷小。

解：时，是无穷小，是有界量，故。

一般情况下，高职学生能够比较容易地判断出函数在的某一个变化过程中是否为无穷小，但对于有界量的判定不是很熟练。这就要求高职学生要熟记一些常见的有界量，如、、、、、等。

4 无穷小与无穷大的关系

由无穷小与无穷大的定义[1]，可知如下定理：在自变量的同一个变化过程中，无穷大的倒数是无穷小，恒不为零的无穷小的倒数为无穷大。由此定理可知，如果所求函数其倒数的极限为无穷小，那么原函数的极限就为无穷大。

例4  求极限

解析：当把2带入所求极限的函数后，发现分子极限为8，分母极限为0，因此属于“”型极限。根据上述定理，可以考虑先求原函数倒数的极限，再利用无穷大与无穷小的关系，便可得出原函数的极限。

解：因为，所以是时的无穷小，所以其倒数是时的无穷大，即，极限不存在。

像这样，分子极限为常数，分母极限为0的极限类型可记为“”型极限，这里1是泛指分子极限为常数而不仅仅是1，利用无穷小与无穷大的关系，该类型的极限结果均为。

5 极限的四则运算法则

在自变量的同一个变化过程中，若两个函数都有极限，则其和差的极限等于极限的和差，乘积的极限等于极限的乘积，商的极限等于极限的商，其中分母的极限不为零。能直接利用法则的情况与代入法类似，比较简单。但大部分都需要经过约分（十字相乘法，平方差、立方差公式）、有理化、通分、三角函数恒等式[2]等恒等变形后，才能使用法则。

例5  求极限

解析：该极限为“”型极限，观察发现分子、分母可以用“十字相乘法”进行因式分解，约去极限为0的因式后，便可使用法则求极限。

解：

例6  求极限

解析：该极限为“”型极限，观察发现分母可通过有理化去掉根号，进而约去极限为0的因式，可直接使用法则求极限。

解：

例7  求极限

解析：时，括号内两式的极限均为，即不存在，故此极限为“”型极限。观察发现可以先通分合二为一，转化成“”型的极限，再利用法则。

解：

如果所求极限类型为“”“”型，无法直接使用极限的四则运算法则，必须先对原式进行适当的恒等变形，约去极限为0的因式后，才可使用法则求极限。

6 有理分式函数

当时，“”型的有理分式函数极限有如下结论：

，其处理方法就是分子、分母同时除以的最高次幂[3]。

例8

该方法的结论可在解决客观题时提高解题效率。

7 两类重要极限

第一类重要极限的特点为：（1）该极限是“”型的极限；（2）该极限所有的位置都可被替换；（3）分式的分子中包含。

第二类重要极限的特点为：（1）该极限类型为型极限；（2）括号内两式子之间为“+”；（3）该极限所有的位置都可被替换；（4）括号内除1外的式子和指数位置的式子互为倒数[4]。

例9  求极限

解析：该极限满足第一类重要极限的前2个特点，故只需要利用三角恒等变形，让分子上出现即可。

解：

例10  求极限

解析：该极限符合第二类重要极限的前2个特征，只需要把指数位置的式子改造成括号内除1外式子的倒数，然后前后维持恒等即可。

解：

8 等价无穷小的代换

在计算两个无穷小比值的极限时，有如下定理：如果，，且存在或为，则有。这里要注意等价代换具有整体性，要么替换整个分子或整个分母，要么替换分子、分母的因式。简单来说就是等价无穷小的代换只能发生在“×、÷”之间，不能发生在“+、-”之间。

例11  求极限

解析：虽然时，有、，但不能直接代换，因为、不是分子的因式，且其前面的符号为“+、-”。观察发现分子可通过提取公因式后，利用、进行代换。

解：

等价无穷小的代换极大地简化了一些极限的求解[5]，高职学生需要牢记一些常用的等价无穷小的代换公式[6]：即时，有，，。

9 洛必达法则

洛必达法则是在满足一定条件下，把两个函数商的极限转化为其对应导数商的极限，从而解决“”或者“”型函数求极限的问题。其他类型的极限需要先做恒等变形，转化极限类型后，再使用洛必达法则，如“”“”“”[7]。

例12  求极限

解析：该极限类型为“”，分子、分母及其导数都可求导，且它们的导数都有极限，直接使用三次洛必达法则即可求出极限。

解：

例13  求极限

解析：该极限类型为“”，不符合洛必达法则的条件，但可以通过恒等变形，转化极限类型为“”，再使用洛必达法则。

解：

例14  求极限

解析：这是“”型的极限，不能直接应用洛必达法则，但可通过适当变形，先通分，把极限转化为“”型，再使用洛必达法则。

解：

在使用洛必达法则解决“”型极限前，要先借助对数函数的性质，把其转化为型函数，再利用“”型极限的解法继续求极限，如，其他“”型类似。

10 结语

求函数极限的题目种类繁多，涉及到高职数学中的许多知识点，这就意味着学生要掌握的知识从函数极限一直延伸到导数、定积分等，因此高职学生熟练掌握起来有一定困难。本文按照由易到难的顺序阐述了上述几个理解和计算函数极限的方法，并给出了分析过程。综合来看，没有一种求函数极限的方法是万能的，能够解决所有题目；一个题目或许需要几种方法才能求出极限。因此，高职学生在面对求函数极限的题目时，要根据其极限类型灵活地选用方法，从而达到简化计算、快速求解的目的。

参考文献

[1] 侯风波.高等数学[M].6版.北京：高等教育出版社，2021.

[2] 白梅.几类特殊形式的极限求法探讨[J].大学教育，2019（11）：100-101，123.

[3] 孔敏，王娟，梁登星.分式型函数求极限的方法总结[J].黑龙江科学，2021，12（7）：128-129.

[4] 韦慧，倪晋波.高等数学中函数极限计算的几种方法[J].安阳工学院学报，2023，22（2）：93-96.

[5] 周燕，林丽琼，任立英.关于求解极限的若干思考[J].大学数学，2021，37（2）：108-113.

[6] 武彩霞.不定式极限的几种计算方法研究[J].河北建筑工程学院学报，2021，39（4）：175-180.

[7] 王丽丽.洛必达法则在解析求极限类问题中的应用[J].河南工程学院学报（自然科学版），2022，34（1）：76-80.