寻找共同逻辑基础构建相同学习路径

王占军 田晓梅

摘  要：等式与不等式是刻画相等关系与不等关系的重要模型. 等式性质与不等式性质是数量大小关系的本质属性，具有逻辑上的一致性与表达上的相似性，剖析等式性质中蕴含的思想方法，以不等关系自身的特性和运算过程保持的不变性为指导，构建连贯一致的学习路径探究不等式的性质，是落实数学核心素养培养，促进学生学会学习的必然选择.

关键词：等式性质；不等式性质；逻辑基础；学习路径

中图分类号：G633.62     文献标识码：A     文章编号：1673-8284（2024）03-0019-05

引用格式：王占军，田晓梅. 寻找共同逻辑基础  构建相同学习路径：以“等式性质与不等式性质”为例［J］. 中国数学教育（高中版），2024（3）：19-22，45.

一、问题的提出

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：“数学是研究数量关系和空间形式的一门科学.”数学源于对现实世界的抽象，基于抽象结构，通过符号运算、形式推理、模型构建等，理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律. 以上论述高度概括了数学学科研究的对象、方法与价值，指明了抽象、推理、建模是数学的基本思想，具有一般性、严谨性和广泛性，从而使得数学研究对象具有相同的研究路径和研究方法. 深入理解数学研究对象本质，探寻数学知识共同的逻辑基础，构建连贯一致的学习路径，是核心素养导向下课堂教学应有的价值追求. 下面以“等式性质与不等式性质”为例，阐述“寻找共同逻辑基础，构建相同学习路径”的具体思考、设计与实践.

二、等式性质与不等式性质的逻辑基础分析

等式与不等式是刻画客观世界数量关系的重要模型. 数是对数量关系的符号表达，如果把所有数看成一个集合，那么这个集合中的元素具有以下基本的共性特征.

首先，数集中的元素一定满足某种“序”的关系，从而能够清晰地表示数量的大小. 这种“序”的关系包含两层含义，一方面，集合中的元素是唯一确定的，如果出现a等于b，那么b也一定等于a，即每个元素都要与自身相等；另一方面，集合中的元素要与其他元素具有大小的传递关系，这种传递既包括相等关系的传递（如果a = b，b = c，那么a = c），也包括不等关系的传递（如果a > b，b > c，那么a > c）. 由此可见，无论是等式的对称性与传递性，还是不等式的自反性与传递性，都是相等关系与不等关系自身的特性，是数集中元素自身属性的代数表达.

其次，对数集中的元素进行运算构成新的数集，新集合中的元素依然保持“序”的属性，这是由运算的本质特征决定的. 文献［2］中指出，数量的本质是多与少，而多与少的最简单形式是多一个或者少一个. 因此，加法的核心是“+1”. 基于“+1”的经验，对[a，b∈N]规定运算[a+b]表示a的后面增加b个序数，如果称这个数为c，则称c为a与b的和. 这一论述以集合为思想工具，阐明了加法运算的实质. 那么，对于数集中任意两个元素[a，b]，同时加上一个相同的元素，元素“序”的位置和状态均保持不变，这是等式与不等式在加法运算中保持不变性的根本原因. 而四则运算的基础是加法运算，其他运算都是基于加法的. 在相等关系与不等关系下，对数集中的元素进行运算，有可能改变元素“序”的位置，如“当[a>b]，[c<0]时，[ac

综上所述，等式与不等式是对数量关系的数学刻画，它们不仅有着相同的逻辑基础，而且有着相似的逻辑结构. 等式性质与不等式性质都是数集中元素“序”关系属性的代数表达，具有逻辑上的一致性和表达上的相似性.

三、等式性质与不等式性质的学习路径探析

等式是学生已有的认知基础，分析等式的研究过程可以发现，无论是对数的研究还是对式的研究，都遵循“背景—性质—证明—应用”的基本路径展开. 对不等式性质的研究同样遵循这样的路径. 这是知识学习的明线，也是组织教学的主线. 在这一教学路径中，性质是研究的重点. 对此需要进一步梳理等式性质与不等式性质的相似性，探寻不等式性质的研究方法与路径.

如图1，在等式的基本性质中，相等性是元素与自身相等关系的代数表达，传递性是两个元素大小“序”关系的代数表达，这是基于元素自身特性的视角对等式基本性质的初步认知. 在相等条件下，对等式两边进行四则运算，等式依然成立，这是基于等式在运算中保持不变性的视角对等式基本性质的进一步理解.

不等式是等式的一般化. 如图2，在不等式的基本性质中，自反性和传递性分别是对两个元素、三个元素大小“序”关系的代数刻画. 在不等关系条件下，对集合中任意两个元素进行加法运算，元素“序”的关系保持不变（保序性）；进行乘法运算，虽然集合中元素“序”的位置发生了变化，但是集合元素依然满足“序”的状态，这是对不等式在加法、乘法运算中保持不变性的本质刻画. 通过对上述基本性质进一步推理（一般化或特殊化），可以获得其他不等式的常用性质.

由此可见，不等关系自身的特性与运算中保持不变性是发现不等式性质的思想隐线. 以两个实数大小关系的基本事实为逻辑起点，以“背景—性质—证明—应用”为学习明线，以不等关系自身特征与运算中的不变性为思想隐线，通过类比等式性质的学习路径构建不等式的学习路径，是探究不等式基本性质的必由之路.

四、等式性质与不等式性质的教学设计

1. 梳理等式性质，孕育新知

问题1：回忆初中所学知识，你能想起等式的哪些性质？

师生活动：教师引导学生回答问题，其他学生补充. 如果有遗漏，教师进一步补充，并板书等式的5个性质.

性质1：如果[a=b]，那么[b=a].

性质2：如果[a=b]，[b=c]，那么[a=c].

性质3：如果[a=b]，那么[a+c=b+c].

性质4：如果[a=b]，那么[ac=bc].

性质5：如果[a=b]，[c≠0]，那么[ac=bc].

问题2：如果让你给这5个性质分类，你会怎样分呢？为什么？

师生活动：学生尝试分类并说明理由，教师点拨. 性质1和性质2是从相等关系自身特性的角度提出的，性质3、性质4和性质5是从等式在运算中保持不变性的角度提出的. 为探索不等式的性质提供了类比的方法和路径.

以此为探索不等式的性质提供了类比的方法和路径.

2. 类比等式性质，获得新知

环节1：探究不等式性质1 ～ 性质4.

问题3：类比等式基本性质的发现过程，你能猜想不等式的基本性质并加以证明吗？

追问1：类比等式的性质1和性质2，猜想不等式会有怎样的性质？如何证明呢？

师生活动：学生先在小组内进行讨论，然后集中交流，教师鼓励学生敢于表达自己的想法，在倾听过程中整理板书. 学生通过交流、讨论获得以下猜想.

猜想1：如果a > b，那么b < a.

猜想2：如果a > b，b > c，那么a > c.

追问2：如何证明猜想1呢？

师生活动：学生尝试证明，展示证明过程，教师引导学生交流并板书.

性质1：如果a > b，那么b < a，如果b < a，那么a > b.

【设计意图】通过类比等式的基本性质获得不等式的性质，让学生经历“类比—猜想—证明”的学习过程. 猜想1的提出和证明很关键，起着示范引领的重要作用. 在证明猜想1的过程中，要避免学生出现循环证明，如[a-b>0?-a+b<0]，其依据是“正数的相反数是负数”，而不是“不等式两边同时乘以一个负数，不等号的方向改变”.

追问3：类比猜想1的证明过程，你能证明猜想2吗？

师生活动：学生尝试证明，教师巡视点拨，然后讨论、交流，获得不等式基本性质2，教师板书.

性质2：如果a > b，b > c，那么a > c.

【设计意图】引导学生类比等式的基本性质研究不等式的性质，不仅类比性质的表达形式，而且类比性质的发现过程和证明过程，不断积累解决问题的经验与方法.

问题4：我们通过类比相等关系自身的特性得到了不等式的性质1和性质2，类比等式运算中的不变性，你能获得哪些不等式的性质呢？你能证明它们吗？

师生活动：学生分组讨论，教师指明小组代表发言. 从学生已有的认知来看，学生比较容易依据加、减、乘、除四种运算的顺序，获得以下猜想.

猜想3：如果[a>b]，那么[a+c>b+c].

猜想4：如果[a>b]，那么[a-c>b-c].

猜想5：如果[a>b]，那么[ac>bc].

猜想6：如果[a>b]，那么[ac>bc].

追问1：从运算的角度出发，猜想3和猜想4可以进一步统一吗？

追问2：你能从不同角度证明或解释猜想吗？

师生活动：引导学生理解猜想4和猜想3本质上是一致的，可以将猜想4并入猜想3，学生尝试证明.

方法1：作差法.

因为[a+c-b+c=a+c-b-c=a-b]，[a>b]，

所以[a-b>0]，即[a+c>b+c].

方法2：图形法.

如图3，点A，B分别对应数轴上的a，b，由数轴上的点的几何意义知[a>b]，当点A，B同时向右（或左）移动相同个单位长度c时，点A，B的位置关系不变，即恒有

师生活动：教师鼓励学生采用不同的方法思考问题，获得结论，教师板书.

性质3：如果[a>b]，那么[a+c>b+c].

问题5：从运算的角度出发，猜想5和猜想6可以进一步统一吗？

师生活动：借助性质3的学习过程，引导学生理解猜想5和猜想6本质上也是一致的.

追问1：猜想一定正确吗？你是怎样验证的？需要满足怎样的条件才能保证猜想是正确的？

师生活动：学生交流，感悟“证明一个错误的猜想，只需要举出反例；证明一个正确的猜想，需要严谨的数学证明”. 在学生交流的基础上，获得不等式的基本性质.

性质4：如果[a>b，c>0，] 那么[ac>bc;] 如果[a>b，] [c<0，] 那么[ac

【设计意图】在学生已有猜想的基础上，验证猜想的正确性，经历证明错误命题与正确命题的学习过程，积累解决不等式乘法运算的活动经验，为后续定理的研究奠定基础.

环节2：探究不等式性质5 ～ 性质7.

问题6：性质3和性质4都是通过在不等式“[a>b]”两边对同一个数（或式）进行运算发现的. 如果在不等式两边对不同的数（或式）进行运算（假设两个数分别为c，d），又能获得怎样的猜想呢？

追问1：当“[a>b，c>d]”时，你能提出哪些猜想？试加以证明.

师生活动：学生有可能会想到减法和除法，教师引导学生学会运用转化思想，避免复杂的分类. 在师生讨论交流后，教师板书以下猜想.

猜想7：如果[a>b]，[c>d]，那么[a+c>b+d].

猜想8：如果[a>b]，[c>d]，那么[ac>bd].

追问2：你能够运用不等式的基本性质证明猜想7吗？

师生活动：学生证明，教师巡视，随后集体订正，获得性质，教师板书.

性质5：如果[a>b]，[c>d]，那么[a+c>b+d].

【设计意图】分析前面性质的共同特征，由“在不等式两边对不同的数（或式）进行运算”为思考问题的方向，引导学生探究不等式的常用性质.

追问3：猜想8一定正确吗？回顾不等式的性质4的发现过程，你积累了怎样的经验？由此对猜想应该做怎样的修改？

师生活动：教师引导学生交流讨论，获得性质，进行板书.

性质6：如果[a>b>0]，[c>d>0]，那么[ac>bd].

【设计意图】强化学生“在处理不等式乘法运算时，首先要确定数（式）的正负”的思维习惯，进一步探究不等式的常用性质，使学生经历“提出猜想—验证猜想—修正猜想—证明猜想”的完整的命题学习过程.

问题7：有了不等式乘法运算的性质，就可以研究乘方及开方的运算了，结合不等式的性质6，你能获得不等式在其他运算中保持不变的性质吗？

师生活动：教师启发学生思考，研究不等式乘法类的运算，需要考虑符号问题，故进一步明确条件“[a>b>0]”，然后引导学生获得以下猜想.

猜想9：如果[a>b>0]，那么[an>bn n∈N，n≥2].

学生自主证明后，教师板书.

性质7：如果[a>b>0]，那么[an>bn n∈N，n≥2].

【设计意图】对不等式两边分别进行加法和乘法运算，获得了不等式的基本性质. 教师启发学生思考，进行乘方和开方运算会获得怎样的性质呢？这是一个自然的思考问题，体现了数学知识的整体性与思维方法的一致性.

3. 例题分析演练，应用新知

例  已知[a>b>0]，[c<0，] 求证[ca>cb].

师生活动：教师先与学生交流证明思路，要证明[ca>cb]，因为[c<0]，所以可以先证明[1a<1b]，简化问题，然后由学生尝试证明，集体修正.

【设计意图】教师先给出分析思路，明确证明方向，再让学生尝试证明，渗透“分析法探路，综合法表达”的代数证明方法.

4. 反思学习过程，内化新知

问题8：回顾不等式性质的学习过程，就以下两个问题谈一谈你的认识与想法.

（1）等式性质与不等式性质之间有着怎样的联系与区别？

（2）你是如何从等式性质中归纳方法，发现不等式的性质的？

【设计意图】问题8（1）引导学生通过分析等式性质与不等式性质的异同，厘清等式与不等式性质的相同点与不同点，深化学生对代数性质本质的理解；问题8（2）引导学生回顾不等式性质的发现和证明过程，帮助学生掌握两者蕴涵的思想方法，为后续学习积累活动经验.

5. 布置课外作业，巩固新知

五、结束语

等式与不等式具有相同的背景起源与逻辑基础，等式与不等式性质中蕴含着丰富的育人价值. 在实际教学中，教师需要整体认识与把握性质的内涵，不仅关注性质是什么、如何用，更要关注性质是如何发现、证明、想到的等问题. 通过梳理等式基本性质中蕴涵的数学思想方法，为探究不等式的基本性质提供类比对象与思想方法，促使学生不仅理解不等式的基本性质及其应用，还要经历“提出猜想—验证猜想—修正猜想—证明猜想”的性质研究过程，感悟运算过程中的不变性，学会一般化、特殊化的数学方法，引导学生学会有逻辑地思考、有条理地表达，不断提升数学核心素养，夯实“四基”，培养“四能”.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史宁中. 数学思想概论：数学中的演绎推理（第3辑）［M］. 长春：东北师范大学出版社，2015.