关联变换·理解本质·萌生方法

李昌 朱松

摘  要：为发挥向量数乘运算的教学功能，设计了类比实数乘法关联几何变换的概念建构路径和揭示运算律的几何意义，运用数乘证明平行关系和显现单位向量的符号和功能的概念理解路径，反思了向量数乘运算教学应该促进向量概念的理解、促使向量方法的萌生.

关键词：向量的数乘运算；向量方法；单位向量

中图分类号：G633.6     文献标识码：A     文章编号：1673-8284（2024）03-0033-04

引用格式：李昌，朱松. 关联变换·理解本质·萌生方法：向量数乘运算的教学与思考［J］. 中国数学教育（高中版），2024（3）：33-36.

一、问题提出

由于向量数乘运算的教学内容本身不难，再加之学生具有实数乘法的认知基础和向量加法的学习经验. 因此，一些教师快速完成了向量数乘运算的概念建构，并把较多时间用于例题讲解和技能训练. 这样教学，看似有较好的即时效果，但由于没有经历完整的概念建构过程，学生无法体会到向量数乘运算中的数形结合思想，实则没有发挥出此部分内容应有的教学功能.

向量数乘运算的教学功能主要体现在两个方面. 一是促进对向量概念的理解. 在学习向量数乘运算之前，向量必须依托有向线段进行直观表达，向量加法（减法）也只能借助对有向线段的作图来直观地描述和向量（差向量）的长度和方向. 可见，学生此时对向量的理解只是几何直观层面上的感性认知. 而向量的数乘是不必借助具体图形、只需依据数字和符号就能直接进行的运算，这使得对向量概念的理解上升到形式化和符号化的层面. 二是促使向量方法的萌生. 向量数乘运算的学习使得判断和证明平行关系的推理方式发生了根本性改变，由综合几何的逻辑推理转化为向量几何的运算推理，首次实现了用定量的代数运算来刻画定性的平行关系，这种用运算研究几何的思维方式体现了创生向量理论的价值旨趣，这种思维方式中的数形结合思想体现了向量方法的内核. 可见，向量方法萌生于运用数乘运算的过程中.

为了发挥向量数乘运算的教学功能，笔者基于学生的认知基础和人教A版《普通高中教科书·数学》必修第二册（以下统称“教材”）的内容，进行了类比实数乘法建构概念、运用几何变换理解运算本质的教学设计，敬请大家批评指正.

二、教学设计思路

1. 类比引入关联变换形成概念

问题1：根据向量加法的三角形法则，若干个相同向量相加的和向量（如[a+a+a]）的模和方向分别是什么？用什么符号来简记[a+a+a]？用此符号简记的依据是什么？

追问1：若把数字3一般化为正整数[n]，则[na]的意义是什么？

追问2：若把正整数[n]换成正分数、正无理数，如[13a]， [2a]，它们还是向量吗？若是，它们的长度和方向与向量[a]有什么联系？还能从向量加法的角度来理解吗？如何理解它们的意义？

追问3：如果将正整数[n]依次变成负整数、负分数、负无理数，如[-3a]，[-12a]，[-3a]等，又如何理解它们的意义？

追问4：能从变换的角度来理解[0a]和[λ0]（[λ]为任意实数）的意义吗？

【设计意图】乘法源于加法的简便运算是学生熟知的一般观念. 因此，先以向量加法为基础，以和向量的模和方向为观察点，类比实数乘法自然地建构正整数[n]与向量[a]的乘法运算，建立[na]的符号表示. 然后，遵循实数的扩充路径，以问题链的形式依次提出四个追问，依据[λa]与[a]模长的关系，引导学生通过伸长或缩短表示[a]的有向线段来理解[λa]的意义，建构正实数与向量的乘法. 再以此为基础，以中心对称和伸缩变换为路径，建构负实数与向量的乘法. 最后，根据运算的完备性要求和一致性原则，给出[0a=0]和[λ0=0]的规定，完成实数[λ]与向量数乘运算的意义建构. 这种建构和理解向量数乘运算的路径，符合学生的认知基础，契合知识的逻辑发展顺序，自然地建立了与几何变换之间的关联，无形中渗透了数形结合的思想，顺利地搭建了理解数乘运算本质的支架.

2. 建构运算律揭示几何意义

问题2：能否用文字或图形说明等式[23a=32a=]

[6a]，[2+3a=2a+3a]，[2a+b=2a+2b]的意义？

追问1：将上述等式中的数字2，3一般化为任意实数[λ，μ]，等式还成立吗？

追问2：回顾实数乘法的运算律，可以发现，实数乘法有交换律、分配律. 对比向量的数乘与实数的乘法，两者的运算对象和规则完全不同，但它们却遵循了相同的运算律. 这一现象对于学习和理解数学运算有什么启发？

【设计意图】先在问题2中以具体数字为情境，以伸缩变换为路径引导学生理解向量等式的几何意义，再给出追问1，把数字一般化，抽象建构向量数乘的交换律和分配律. 特别地，对于[2a+b=2a+2b]，先引导学生运用伸缩变化和向量加法的三角形法则建立如图1所示的相似形，再指导学生观察图形，对比向量等式，发现向量数乘运算的分配律与相似形具有一致的内涵. 以此揭示向量运算对几何与代数的沟通机制，获得向量的运算承载了数形结合的认知. 最后给出追问2，让学生发现实数乘法和向量数乘虽然是不同的运算但却遵循相同的运算律，从而认识到不能仅从运算符号去理解运算性质，而应该从运算规则去理解运算的内涵和运算对象的特征，以此促进学生理性思维的发展.

3. 运用数乘运算证明平行关系

问题3：记非零向量[a]和实数[λ]的数乘[λa]为[b]，即[b=λa]，那么[b]与[a]有什么关系？

追问：[λ]数值上的变化能否改变[b]与[a]的这种关系？[λ]数值上的变化能改变什么？

例  已知不共线的非零向量[a，b]，设[AB=a+b]，[BC=2a+8b]，[CD=3a-3b]，求证：[A，B，D]三点共线.

【设计意图】问题3及追问旨在让学生发现向量的数乘不仅刻画了[λa]与[a]之间的共线关系，还由[λ]的数值区分了与[a]共线的所有向量彼此间的差异. 当学生有了这样的感性认知后，教师强调，用代数运算定量刻画平行关系是向量在方法论上的价值体现，为例题的解决埋下伏笔. 学生之前都是用综合几何的逻辑推理来证明平行关系，而例题呈现的问题，即便学生画出了向量几何意义下的有向线段，也难以运用几何关系进行推理证明，这就使学生陷入“愤”“悱”状态. 因此，他们必须转换思维方式，寻找向量之间的数乘关系来证明平行关系. 这为学生运用数乘运算解决问题、体验向量方法中的数形结合思想创造了契机.

4. 理解单位向量的度量生成功能

问题4：如图2，把问题3中的非零向量[a]特殊化为单位向量[e]，并用数轴上的有向线段[OE]来表示. 那么，由数轴上的任一点[A]确定的向量[OA]、点[A]的坐标[x0]和[e]三者之间有什么数量关系？反之，由任意实数[x0]与[e]数乘[x0e]确定的向量[OA]是否都在数轴上？

追问1：用与非零向量[a]同向的单位向量[e]度量[a]得到的度量值是什么？如何用[a]的数乘来表示度量它的单位向量？

追问2：由同一单位向量生成的向量，彼此之间有什么关系？由不同单位向量（方向不同也不相反）生成的向量，彼此之间有什么关系？

【设计意图】单位向量是向量空间中的重要概念，教材中只定义了单位向量而没有进行深入的探讨. 给出的问题4是让学生理解单位向量具有与实数单位1相同的度量功能和生成功能，即单位向量能度量所有与之共线的向量，与某一单位向量共线的所有向量也都能由此单位向量的数乘运算来生成. 追问1是根据单位向量的度量功能来理解向量的模，即[a=ae]的数乘关系，进而引导学生用[a]的数乘表示单位向量，获得单位向量的符号表达，即[e=1aa]. 追问2是由单位向量的生成功能引出由同一单位向量生成的向量彼此之间的关系问题，以及由不同单位向量生成的向量之间的关系问题，建立向量空间中线性相关、线性无关和线性运算等概念之间的关联.

三、教学思考

对运算的教学不是直接告知运算规则，而需要情境的激发和问题的引领，需要学生自主地建构和积极地体验，才能理解运算的本质. 因此，从促进概念理解、萌生向量方法、明确数形结合的机制、揭示单位向量的功能等方面反思向量数乘运算的教学.

1. 向量运算的教学应该促进对向量概念的理解

向量的概念是向量理论的核心，具有深刻的内涵. 教材对“平面向量的概念”教学虽然只安排了一个课时，学生也容易记住向量概念的形式化定义，但对向量概念内涵的理解绝不是一节课就能实现的事情. 数学发展史实表明，向量概念内涵有一个从具体到一般、由非形式到形式化的发展和深化过程，即从有向线段表示的直观描述到能够进行运算的代数对象，以及从具有几何特征的有序数对到形成线性空间的基本元素的过程. 因此，对向量概念内涵的理解应该是一个全面的、逐步抽象的，要在物理、代数、几何三种视角之间反复切换的过程.

向量的运算是向量本质特征的直接体现，向量运算体系是向量理论的重要内容. 单从对向量内涵的理解上看，引入运算之前的向量是依附于几何直观的向量，学生只能借助物理背景和有向线段来直观地描述向量的长度和方向. 而随着向量运算的引入，向量上升为代数运算的对象，成为描述几何图形的工具和刻画几何关系的载体. 例如，学生通过平行四边形法则可以看出，向量的加法不是简单的大小累计，向量因此不是实数的推广，而是一个全新的量；通过向量的数乘运算，可以建立向量与几何变换的关联，能用向量的数乘刻画平行关系；通过向量数量积的学习，可以实现对长度、角度和垂直关系的定量刻画.

2. 数乘运算的教学应该促使向量方法的萌生

“平面向量及其应用”的教学既是向量知识的教学，也是向量方法的教学. 学生要达到《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）中提出的“能用向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题”的要求，需要理解向量的本质，才能萌生向量的方法，进而才能掌握运用向量方法的要领. 数学史实表明，向量是在位置几何学的基础上建立起来的分析理论. 数学家莱布尼茨曾在信中写道：“我对代数（笛卡儿解析几何）感到不满意……我已经发现了一些完全不同的有新特点的元素，即使在没有任何图形的情况下，它也能有利于表达思想、表达事物的本质……我这个新系统能紧跟可见的图形，以一种自然的、分析的方式，通过一个确定的程序同时给出解、构造和几何证明. 它的主要价值存在于可操作的推理中，存在于通过运算能得出的结论中.”这段话既阐释了创立向量理论的初衷，也揭示了向量方法实质上是用代数运算定量地研究几何的性质，正所谓“有了运算，向量的力量无限；没有运算，向量就只是一个路标”.

向量方法是一种策略性知识. 策略性知识的教学不能靠教师的直接告知和单向传输，而需要学生在建构知识体系、形成数学结构的过程中积极探索和主动思考. 学生弄清了创生向量知识体系的原始动因和价值追求，明确了建构向量知识体系的过程与方法，就在认知中播下了向量方法的种子. 本文呈现的运用伸缩变换理解向量数乘运算、运用向量数乘证明平行关系、建立数乘运算律和相似三角形的关联等理解途径，有助于学生理解向量中的数形结合，能够促进向量方法的萌芽生长.

3. 数乘运算的教学应该明确数形结合的机制

要理解《标准》中指出的“向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁”，就要在向量的教学中明确以下问题：代数与几何分别是怎样研究向量的？向量是如何在几何与代数之间搭建桥梁的？往返于这座桥梁上的交通工具是什么？向量对几何与代数的沟通机制是什么？

向量的数乘运算给出了上述问题的答案. 学生通过向量加法和减法的学习获得“方向的变化可以由代数运算产生”的直观感知，而向量数乘的教学则让学生清晰地看到代数运算可以精准地量化几何关系. 例如，本文例题证明[A，B，D]三点共线的过程，显示了向量具有代数和几何的双重属性，体现了向量对几何与代数的沟通形式：先用向量来表达几何元素，然后通过向量的代数运算产生新的向量[BC+CD=BD]，最后通过新的代数运算[BD=5AB]来刻画几何关系（[BD∥AB]，[A，B，D]三点共线）. 这样，用向量表示几何元素，通过向量运算把几何元素转化成代数运算的对象，建立起了沟通代数与几何的桥梁. 由此可见，向量既是代数运算的对象也是表达几何对象的载体；向量的运算是穿梭在桥梁上的交通工具，它既确定数量特征也刻画几何关系，是融合几何直观与代数运算的平台，也为学生提供了“感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性理解”的通道.

4. 数乘运算的教学应该彰显单位向量的功能

教学实践中，单位向量是在“平面向量的概念”中直接给出的派生概念，目的是利用单位向量在大小上的特殊性来理解向量的模. 但是，对单位向量的教学理解绝不能止于这种形式化的层面，而应该在后续的教学中寻找时机揭示单位向量的功能和价值. 向量数乘运算的教学是促进单位向量内涵理解的绝佳时机. 因为历史上是根据向量的数乘关系来定义单位向量的，如果共线的任意向量都可以由某个向量的数乘来表示，那么称这个向量为单位向量. 单位向量的度量功能可以促进对向量共线定理和平面向量基本定理的理解；由单位向量的生成功能可以自然地引出向量空间中线性相关和线性无关的概念；单位向量数量积的坐标表示[e1 ? e2=cosαcosβ+sinαsinβ]给出了三角恒等变换中两角差的余弦公式[cosα-β]；非零向量[a]的单位向量的符号化表达[1aa]是学生的认知难点，本文教学中利用向量数乘运算顺利地突破了这个难点，为学生建立单位菱形对角线的向量表达[1aa+1bb]，[1aa-][1bb]提供了便利. 这促进了对数形结合思想的运用，也为利用向量方法解决平面几何问题奠定了基础.

四、结束语

平面向量数乘运算的知识内容较为简单，但这个简单的内容却孕育了重要的思想与方法. 学生如果不经历建构数乘运算的抽象过程、不理解运算规则的实际意义、不关联到几何中的伸缩变换和相似图形，他们将缺乏深入思考的途径和内容，自然无法领悟到数乘运算背后的思想方法和价值旨趣.

参考文献：

［1］瑞德. 希尔伯特：数学世界的亚历山大［M］. 袁向东，李文林，译. 上海：上海科学技术出版社，2003.

［2］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［3］孙庆华. 向量理论历史研究［D］. 西安：西北大学，2006.